Формулы Пуассона и Йенсена

Пусть функция $f(z)$ регулярна в открытом круге $\left|z\right|<1$, ограничена в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant 1$ и, за исключением, быть может, конечного числа точек, непрерывна. Тогда

(Обобщение теоремы 118.)

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$. Тогда имеет место формула Пуассона

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$. Тогда при $x>0$

Пусть функция $f(z)$, мероморфная в круге $\left|z\right| \leqslant 1$, регулярна и отлична от нуля в центре и на окружности этого круга. Пусть, далее, она имеет в этом круге нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ и полюсы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ (где нуль или полюс $r$-й кратности выписан $r$ раз). Тогда имеет место формула Иенсена

Пусть функция $f(z)$, мероморфная в круге $\left|z\right| \leqslant R$, регулярна и отлична от нуля на его границе, а внутри него имеет нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ и полюсы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ (где нуль или полюс $r$-й кратности выписан $r$ раз). Показать, что если точка $z=r e^{i \vartheta }$, $r<R$, не является ни нулем, ни полюсом функции $f(z)$, то

Пусть функция $f(z)$ мероморфна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$, на границе ее регулярна и отлична от нуля, а внутри имеет нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ и полюсы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ (где нуль или полюс $r$-й кратности выписан $r$ раз). Показать, что если $f(z)$ регулярна в бесконечности и, кроме того, регулярна и отлична от нуля в точке $z=x+i y$, $x>0$, то тогда

Указанная формула справедлива и при менее сильных предположениях о поведении $f(z)$ в бесконечности.

Пусть функция $f(z)$ в области

$\mathfrak {B}$:

регулярна, на границе отлична от нуля, а внутри области имеет нули

Положим $\ln \left|f\left(\rho e^{i \vartheta }\right)\right|=U(\rho , \vartheta )$. Показать, что

здесь функция $\chi (R)$ при $R \rightarrow \infty$ остается ограниченной, $r$ и $f(z)$ мыслятся постоянными.