Банк задач по математике

Задача 1.156

Пусть $\varphi (x)$ определена для положительных значений $x$ , причем при достаточно больших $x$ может быть представлена рядом

\varphi (x)=a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\frac{a_{2}}{x^{2}}+\ldots +\frac{a_{n}}{x^{n}}+\ldots ,

где $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ вещественны. Бесконечный ряд

\varphi (1)+\varphi (2)+\ldots +\varphi (n)+\ldots

тогда и только тогда будет сходящимся, когда $a_{0}=0, a_{1}=0$ .

?

Задача 1.157

(Продолжение.) Пусть $\varphi (n) \neq 0(n=1,2, \ldots )$ . Бесконечное произведение

\varphi (1) \varphi (2) \ldots \varphi (n) \ldots

тогда и только тогда будет сходящимся, когда

a_{0}=1, \quad a_{1}=0 .

?

Задача 1.158

(Продолжение.) В каких случаях сходится бесконечный ряд

\varphi (1)+\varphi (1) \varphi (2)+\varphi (1) \varphi (2) \varphi (3)+\ldots +\varphi (1) \varphi (2) \ldots \varphi (n)+\ldots ?

?

Задача 1.159

Для каких положительных значений $\alpha$ сходится ряд

\sum _{n=1}^{\infty }\left(2-e^{\alpha }\right)\left(2-e^{\frac{\alpha }{2}}\right) \ldots \left(2-e^{\frac{\alpha }{n}}\right) ?

?

Задача 1.160

Доказать тождество

\int _{0}^{1} x^{-x} d x=\sum _{n=1}^{\infty } n^{-n} .

?

Задача 1.161

Доказать равенство

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots }}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }} .

?

Задача 1.162

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ — положительные числа и

t_{n}=\sqrt{a_{1}+\sqrt{a_{2}+\ldots +\sqrt{a_{n}}}} .

Сходимость последовательности

t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}, \ldots \tag {t}

определяется числом

\limsup _{n \rightarrow \infty } \frac{\ln \ln a_{n}}{n}=\alpha

следующим образом:

\begin{aligned} & \text{ если } \alpha <\ln 2 \text{, то (t) сходится, } \\ & \text{ если } \alpha >\ln 2 \text{, то (t) расходится. } \end{aligned}

?

Примечание.

?

G. Pólya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 84, 1916. Решение — G. Szegö, там же, серия 3, т. 25, стр. 88--89, 1917.

Задача 1.163

(Продолжение.) Последовательность $(t)$ во всяком случае сходится, если сходится ряд

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{2^{n} \sqrt{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}} .

?

Задача 1.164

При $0<q<1$ имеет место равенство

\frac{1-q}{1+q}\left(\frac{1-q^{2}}{1+q^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1-q^{4}}{1+q^{4}}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{1-q^{8}}{1+q^{8}}\right)^{\frac{1}{8}} \ldots =(1-q)^{2} .

?

Примечание.

?

Jacobi, l. c. 53, § 52; Corollarium; Werke, т. 1, стр. 200--201.

Задача 1.165

Пусть бесконечный в обоих направлениях ряд

\ldots +f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)+f(x)+\int _{0}^{x} f(x) d x+\int _{0}^{x} d x \int _{0}^{x} f(x) d x+\ldots

равномерно сходится. Какую функцию он представляет?

?

Задача 1.166

Пусть $\varphi_{n}(x)$ и $\psi_{n}(x)$ — полиномы $n$ -й степени $(n=0,1,2, \ldots )$ , определяемые формулами

\begin{array}{ccc} \varphi _{0}(x)=1, & \varphi _{n}^{\prime }(x)=\varphi _{n-1}(x), & \varphi _{n}(0)=0, \\ \psi _{0}(x)=1, & \psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x), & \psi _{n}(0)=0 \\ & (n=1,2, \ldots ) . & \end{array}

Просуммировать ряды

\begin{aligned} & \varphi (x)=\varphi _{0}(x)+\varphi _{1}(x)+\ldots +\varphi _{n}(x)+\ldots , \\ & \psi (x)=\psi _{0}(x)+\psi _{1}(x)+\ldots +\psi _{n}(x)+\ldots \end{aligned}

?

Задача 1.167

Положим

x_{n}=y_{n} e^{-\frac{1}{12 n}}, \quad y_{n}=n! n^{-n-\frac{1}{2}} e^{n} .

Показать, что интервалы $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right), \ldots$ вложены один в другой, т. е. каждый из них содержит последующий как свою часть.

?

Задача 1.168

Последовательность

a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+p} \quad (n=1,2,3, \ldots )

тогда и только тогда монотонно убывает, когда $p \geqslant \frac{1}{2}$ .

?

Примечание.

?

I. Schur.

Задача 1.169

Последовательность

a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right) \quad (n=1,2,3, \ldots )

тогда и только тогда монотонно убывает, когда $x \geqslant \frac{1}{2}$ .

?

Задача 1.170

Показать, что при целом положительном $n$

\frac{e}{2 n+2}<e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{e}{2 n+1} .

?

Примечание.

?

См. задачу № 1098 в Nouv. Ann., серия 2, т. 11, стр. 480, 1872. Решение — C. Moreau, там же, серия 2, т. 13, стр. 61, 1874.

Задача 1.171

Как известно, число $e=\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ для любого значения $n=1,2,3, \ldots$ заключается в интервале

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \tag {168}

В какой четверти этого интервала?

?

Примечание.

?

I. Schur.

Задача 1.172

Последовательность

a_{n}=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+1} \quad (n=1,2,3, \ldots )

тогда и только тогда монотонно убывает, когда $0<x \leqslant 2$ .

?

Примечание.

?

I. Schur.

Задача 1.173

Показать, что $n$ -я итерация синуса

\sin _{n} x=\sin \left(\sin _{n-1} x\right), \quad \sin _{1} x=\sin x

при возрастании $n$ стремится к нулю, причем при $x>0$ имеет место предельное соотношение

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt{\frac{n}{3}} \sin _{n} x=1 .

?

Примечание.

?

Доказательство сообщил E. Jacobsthal.

Задача 1.174

Пусть в интервале $0<x<x_{0}$ имеем $0<f(x)<x$ ,

f(x)=x-a x^{k}+b x^{l}+x^{l} \varepsilon (x), \lim _{x \rightarrow 0} \varepsilon (x)=0,

причем $1<k<l$ , $a, b$ положительны. Полагаем

v_{0}=x, \quad v_{1}=f\left(v_{0}\right), \quad v_{2}=f\left(v_{1}\right), \ldots , v_{n}=f\left(v_{n-1}\right), \ldots

Тогда при $n \rightarrow \infty$

n^{\frac{1}{k-1}} v_{n} \rightarrow \left[(k-1) a\right]^{-\frac{1}{k-1}} .

?

Задача 1.175

Исследовать сходимость ряда

v_{1}^{s}+v_{2}^{s}+v_{3}^{s}+\ldots ,

где

v_{1}=\sin x, \quad v_{2}=\sin \sin x, \ldots , v_{n}=\sin v_{n-1}, \ldots

Очевидно, можно предположить $v_{1}>0$ .

?

Примечание.

?

J. Ouspensky, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 20, стр. 83, 1913.

Задача 1.176

Доказать формулу

e^{x}-1=u_{1}+u_{1} u_{2}+u_{1} u_{2} u_{3}+\ldots ,

где

u_{1}=x \neq 0, \quad u_{n+1}=\ln \frac{e^{u_{n}}-1}{u_{n}} \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

?

Примечание.

?

См. E. Cesàro, задача; Nouv. Ann., серия 3, т. 7, стр. 400, 1888. Решение — Audibert, там же, серия 3, т. 11, стр. 35, 1892.

Задача 1.177

Вычислить

s=\cos ^{3} \varphi -\frac{1}{3} \cos ^{3} 3 \varphi +\frac{1}{3^{2}} \cos ^{3} 3^{2} \varphi -\frac{1}{3^{3}} \cos ^{3} 3^{3} \varphi +\ldots

?

Примечание.

?

C. A. Laisant, задача; Nouv. Ann., серия 2, т. 9, стр. 144, 1870. Решение — H. Rumpen, там же, серия 2, т. 11, стр. 232, 1872.

Задача 1.178

Пусть $a_{n}, b_{n}\left(b_{n} \neq 0, n=0,1,2, \ldots \right)$ — две последовательности, удовлетворяющие следующим условиям:

a) Степенной ряд $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} x^{n}$ обладает радиусом сходимости $r$ , отличным от нуля.

b) Существует предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{b_{n+1}}=q,

причем $\left|q\right|<r$ .

Положим теперь

c_{n}=a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\ldots +a_{n} b_{0} \quad (n=0,1,2, \ldots ) .

Показать, что при возрастании $n$ отношение $\frac{c_{n}}{b_{n}}$ стремится к $f(q)$ .

?

Примечание.

?

I. Schur, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 162, 1918. См. O. Szász, Sitzungsber. Berl. Math. Ges., т. 21, стр. 25--29, 1922.

Задача 1.179

Пусть

f_{n}(x)=a_{n 1} x+a_{n 2} x^{2}+a_{n 3} x^{3}+\ldots \quad (n=1,2,3, \ldots )

— произвольные функции, для которых $\left|a_{n k}\right|<A$ при всех целых положительных значениях $n, k$ и

\lim _{n \rightarrow \infty } f_{n}(x)=0

при $0<x<1$ . Тогда при произвольном фиксированном $k$ ( $k=1,2,3, \ldots$ )

\lim _{n \rightarrow \infty } a_{n k}=0 .

?

Примечание.

?

Частный случай одной важной теоремы из теории функций, принадлежащей Витали. См. E. Lindelöf, Bull. S. M. F., т. 41, стр. 171, 1913.

Задача 1.180

Пусть ряды

a_{n 0}+a_{n 1}+a_{n 2}+\ldots +a_{n k}+\ldots =s_{n} \quad (n=0,1,2, \ldots )

обладают общей сходящейся мажорантой

A_{0}+A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{k}+\ldots =S,

т. е. для всех значений $n$ и $k$ выполняются неравенства $\left|a_{n k}\right| \leqslant A_{k}$ . Пусть, далее, существует

\lim _{n \rightarrow \infty } a_{n k}=a_{k} \quad (k=0,1,2, \ldots ) .

Тогда ряд

a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}+\ldots =s

сходится и

\lim _{n \rightarrow \infty } s_{n}=s .

?

Задача 1.181

Обосновать предельные переходы в 53 и 59.

?

Задача 1.181.1

Предположим, что

a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{in}+\cdots = s_i

сходится при $i=1,2,3,\ldots$ ; обозначим через $U_i$ верхнюю грань величин

\left|a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{in}\right|, \qquad n=1,2,3,\ldots ,

и предположим, что

U_1+U_2+\cdots +U_n+\cdots

сходится. Тогда ряд

(*) \qquad a_{11}+a_{12}+a_{21}+a_{13}+a_{22}+a_{31}+\cdots +a_{1n}+a_{2,n-1}+\cdots ,

получаемый расположением чисел схемы

\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2,n-1} & \cdots \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \end{matrix}

«по диагоналям», сходится, и его сумма равна

s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots .

?

Примечание.

?

Интересно здесь то, что абсолютная сходимость двойного ряда $\sum \sum a_{ik}$ не предполагается.

Задача 1.182

При фиксированном положительном $\alpha$ и $n$ , стремящемся к $+\infty$ по целым значениям,

{\sum _{v=1}^{\infty }}' v^{\alpha -1}\left(n^{\alpha }-v^{\alpha }\right)^{-2} \sim \frac{n^{1-\alpha }}{3}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)^{2} .

Штрих при знаке суммы означает, что член с $v=n$ , как не имеющий смысла, отбрасывается. Отметить случай $\alpha =1$ .

?

Задача 1.183

Пусть числа $\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots , \varepsilon_{n}, \ldots$ могут принимать лишь три значения: $-1,0,+1$ . Тогда

\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots }}}=2 \sin \left(\frac{\pi }{4} \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\varepsilon _{0} \varepsilon _{1} \varepsilon _{2} \ldots \varepsilon _{n}}{2^{n}}\right) .

(Под выражением в левой части понимается предел выражения

\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots +\varepsilon _{n} \sqrt{2}}}}

при $n \rightarrow \infty$ ; это выражение имеет смысл при всех значениях $n$ .)

?

Задача 1.184

Каждое число $x$ из интервала $-2 \leqslant x \leqslant 2$ может быть представлено в форме

x=\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots }}},

где числа $\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$ могут принимать лишь одно из двух значений $-1$ и $+1$ . Указанное представление может быть осуществлено даже единственным образом, если $x$ не имеет вида $2 \cos \frac{p}{2^{q}} \pi$ , где $p, q$ — целые, $0<p<2^{q}$ . Последние числа являются единственными, могущими быть представленными в конечной форме

\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots +\varepsilon _{n} \sqrt{2}}}} .

Из этого конечного представления можно получить бесконечное двояким образом: полагая либо

\varepsilon _{n+1}=1, \quad \varepsilon _{n+2}=-1, \quad \varepsilon _{n+3}=\varepsilon _{n+4}=\ldots =1,

либо

\varepsilon _{n+1}=-1, \quad \varepsilon _{n+2}=-1, \quad \varepsilon _{n+3}=\varepsilon _{n+4}=\ldots =1 .

?

Примечание.

?

См. S. Pincherle, Atti Torino, т. 53, стр. 745--763, 1917--1918; Rom. Acc. L. Rend. (5), т. 27, 2-й сем., стр. 177--183, 1918.

Задача 1.185

(Продолжение.) Число $x$ тогда и только тогда будет иметь вид $x=2 \cos k \pi$ , где $k$ рационально, когда последовательность $\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$ , начиная с некоторого места, становится периодической.

?

Задача 1.185.1

Построить последовательность вещественных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots$ так, чтобы ряд

a_1^l + a_2^l + \cdots + a_n^l + \cdots

расходился при $l=5$ , но сходился, когда $l$ — любое нечетное целое положительное число, отличное от 5.

?

Примечание.

?

Предварительные эвристические соображения см. MD, т. 2, стр. 49--50 и 171.

Задача 1.185.2

(продолжение). Пусть множество всех нечетных целых положительных чисел разбито (произвольным образом) на два дополнительных подмножества $C$ и $D$ (не имеющих ни одного общего элемента). Показать, что существует последовательность вещественных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots$ , такая, что упомянутый ряд сходится, когда $l$ принадлежит $C$ , и расходится, когда $l$ принадлежит $D$ .

?

Примечание.

?

G. Pólya, задача: Amer. Math. Monthly, т. 51, стр. 593, 1944. Решение N. J. Fine: Amer. Math. Monthly, т. 53, стр. 283--284, 1946.

Различные предложения о действительных рядах и последовательностях