Глава 1.4

Разные задачи

[74/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 1.140

Пусть $f(x)$ — вещественная функция вещественного переменного $x$ . Если функции $\left|f^{\prime }(x)\right|, \left|f^{\prime \prime }(x)\right|, \ldots$ при возрастании $x(x>0)$ строго убывают, то $f(x)$ обвертывается своим рядом Маклорена, и притом в узком смысле.

Задача 1.141

Функции

e^{-x}, \ln (1+x),(1+x)^{-p} \quad (p>0)

вещественного переменного $x$ при $x>0$ обвертываются в узком смысле своими степенными рядами.

Задача 1.142

(Продолжение.) Показать, что то же справедливо и для функций¹ $\cos x, \quad \sin x$ .

${ }^{1}$ ) Конечно, во внимание принимаются лишь члены степенного ряда, отличные от нуля. Например, $n$ -й частичной суммой степенного ряда для $\cos x$ считается
$1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\ldots +(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \quad (n=0,1,2, \ldots ) .$ ↩

Задача 1.143

(Продолжение.) Показать то же для функций

\operatorname {arctg} x, \quad J_{0}(x)=1-\frac{1}{1!1!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2!2!}\left(\frac{x}{2}\right)^{4}-\ldots \tag {141,142}

Задача 1.144

Пусть члены ряда $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots$ попеременно положительны и отрицательны; далее, пусть существует такое число $A$ , что разность

A-\left(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\right)

имеет всегда знак следующего члена $a_{n+1}$ . Тогда $A$ обвертывается рядом в узком смысле.

Задача 1.145

Если ряд $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots$ с вещественными членами обвертывает вещественное число $A$ и при этом $\left|a_{1}\right|>\left|a_{2}\right|>\left|a_{3}\right|>\ldots$ , то $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ должны иметь чередующиеся знаки и $A$ будет обвертываться в узком смысле.

Задача 1.146

Если функция $f(x)$ , принимающая для вещественных $x(x>R>0)$ вещественные значения, обвертывается вещественным рядом

a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\frac{a_{2}}{x^{2}}+\frac{a_{3}}{x^{3}}+\ldots

для $x>R$ , то $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ должны иметь чередующиеся знаки и ряд является обвертывающим в узком смысле.

Задача 1.147

Пусть функция $f(t)$ неограниченно дифференцируема при $t \geqslant 0$ , причем все ее производные $f^{(n)}(t)(n=0,1,2, \ldots )$ при $t \rightarrow \infty$ убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю. Тогда интеграл $\int_{0}^{\infty } f(t) \cos x t d t$ будет для вещественных $x$ обвертываться в узком смысле рядом

-\frac{f^{\prime }(0)}{x^{2}}+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{x^{4}}-\frac{f^{\mathrm{V}}(0)}{x^{6}}+\frac{f^{\mathrm{VII}}(0)}{x^{8}}-\ldots

(Пример: $f(t)=e^{-t}$ .)

Задача 1.148

Число $\frac{2}{3}$ обвертывается рядом

\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-\frac{3}{8}-\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{1}{16}-\frac{3}{32}-\frac{1}{32}+\ldots ,

однако не в узком смысле.

Задача 1.149

Изобразить геометрически последовательное сложение первых семи членов ряда¹

e^{i}=1+\frac{i}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{i}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{i}{5!}-\frac{1}{6!}-\ldots

как комплексных чисел и вычислить этим путем значение $e^{i}$ с точностью до третьего знака.

${ }^{1}$ ) В задачах 149–155 членами ряда являются комплексные числа, причем употребляется их геометрическое изображение [III, 1 и сл.]. ↩

Задача 1.150

Пусть функция $f(z)$ обладает тем свойством, что максимумы модулей всех ее производных вдоль некоторого луча $\mathfrak {H}$ , исходящего из точки $z=0$ , достигаются в точке $z=0$ и только в ней. Иными словами, при всех значениях $n=1,2,3, \ldots$

\left|f^{(n)}(z)\right|<\left|f^{(n)}(0)\right|,

если $z$ лежит на $\mathfrak {H}$ и $\left|z\right|>0$ . Тогда

$f(z)$ обвертывается вдоль луча $\mathfrak {H}$ степенным рядом
$f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!} z+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!} z^{2}+\ldots \tag {140}$
функция $F(z)=\int_{0}^{\infty } e^{-t} f\left(\frac{t}{z}\right) d t$ обвертывается вдоль луча $\overline{\mathfrak {H}}$ рядом
$f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{z}+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{z^{2}}+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{z^{3}}+\ldots \tag {147}$

Интеграл, распространенный на положительные значения $t$ , при указанных предположениях необходимо сходится.

Примечание.

H. Weyl.

Задача 1.151

Степенные ряды функций $e^{-z}, \ln (1+z)$ и $(1+z)^{-p}(p>0)$ обвертывают эти функции при $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0, z \neq 0$ .

Примечание.

По поводу $e^{-z}$ см. E. Landau, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 104, 1915.

Задача 1.152

Пусть $z$ лежит в одном из углов

-\frac{\pi }{4} \leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi }{4}, \quad \frac{3 \pi }{4} \leqslant \arg z \leqslant \frac{5 \pi }{4} \quad (z \neq 0) .

Тогда функция $e^{\frac{z^{2}}{2}} \int_{z}^{\infty } e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t$ обвертывается рядом

\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{3}}+\frac{1 \cdot 3}{z^{5}}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{z^{7}}+\ldots

(и притом в узком смысле при вещественных значениях $z$ ).

Задача 1.153

Пусть $a_{n}$ и $b_{n}$ — произвольные комплексные числа, отличные от нуля, причем оба имеют одинаковый аргумент ( $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ вещественно и положительно). Если в некоторой точке $z \neq 0$ оба ряда

\begin{aligned} & a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots , \\ & b_{0}+b_{1} z+b_{2} z^{2}+\ldots +b_{n} z^{n}+\ldots \end{aligned}

обвертывают соответственно значения $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ , то в этой точке сумма

a_{0}+b_{0}+\left(a_{1}+b_{1}\right) z+\left(a_{2}+b_{2}\right) z^{2}+\ldots +\left(a_{n}+b_{n}\right) z^{n}+\ldots

будет обвертывать значение $\varphi (z)+\psi (z)$ . (То же справедливо и при обвертывании в узком смысле, если все входящие величины вещественны.)

Задача 1.154

Для $z$ , лежащих в областях, указанных в задаче 152, функция $z \operatorname {cth} z$ обвертывается своим степенным рядом

z \operatorname {cth} z=z \frac{e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}=1+B_{1} \frac{(2 z)^{2}}{2!}-B_{2} \frac{(2 z)^{4}}{4!}+B_{3} \frac{(2 z)^{6}}{6!}-\ldots

(и притом в узком смысле, если $z$ вещественно). Коэффициенты $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots$ называются числами Бернулли.

Примечание.

Cauchy, C. R., т. 17, стр. 370--376, 1843; см. также G. N. Watson, Quart. J., т. 47, стр. 302--310, 1917.

Задача 1.155

Функция

\omega (z)=\ln \Gamma (1+z)-\left(z+\frac{1}{2}\right) \ln z+z-\frac{1}{2} \ln (2 \pi ) \quad [\text{ II } 31]

при $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$ может быть представлена в интегральной форме

\omega (z)=2 \int _{0}^{\infty } \frac{\operatorname {arctg} \frac{t}{z}}{e^{2 \pi t}-1} d t

[см. E. Lindelöf, Le calcul des résidus, стр. 88, Paris, Gauthier-Villars, 1905]. Показать, что получающийся отсюда (расходящийся) ряд Стирлинга

\frac{B_{1}}{1 \cdot 2 \cdot z}-\frac{B_{2}}{3 \cdot 4 \cdot z^{3}}+\frac{B_{3}}{5 \cdot 6 \cdot z^{5}}-\ldots

обвертывает функцию $\omega (z)$ , если $z$ , кроме условия $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$ , ограничено еще условием

-\frac{\pi }{4} \leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi }{4} .

Примечание.

Ср. Cauchy, l. c. 154.

2 · Различные предложения о действительных рядах и последовательностях[33/100%]

Задача 1.156

Пусть $\varphi (x)$ определена для положительных значений $x$ , причем при достаточно больших $x$ может быть представлена рядом

\varphi (x)=a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\frac{a_{2}}{x^{2}}+\ldots +\frac{a_{n}}{x^{n}}+\ldots ,

где $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ вещественны. Бесконечный ряд

\varphi (1)+\varphi (2)+\ldots +\varphi (n)+\ldots

тогда и только тогда будет сходящимся, когда $a_{0}=0, a_{1}=0$ .

Задача 1.157

(Продолжение.) Пусть $\varphi (n) \neq 0(n=1,2, \ldots )$ . Бесконечное произведение

\varphi (1) \varphi (2) \ldots \varphi (n) \ldots

тогда и только тогда будет сходящимся, когда

a_{0}=1, \quad a_{1}=0 .

Задача 1.158

(Продолжение.) В каких случаях сходится бесконечный ряд

\varphi (1)+\varphi (1) \varphi (2)+\varphi (1) \varphi (2) \varphi (3)+\ldots +\varphi (1) \varphi (2) \ldots \varphi (n)+\ldots ?

Задача 1.159

Для каких положительных значений $\alpha$ сходится ряд

\sum _{n=1}^{\infty }\left(2-e^{\alpha }\right)\left(2-e^{\frac{\alpha }{2}}\right) \ldots \left(2-e^{\frac{\alpha }{n}}\right) ?

Задача 1.160

Доказать тождество

\int _{0}^{1} x^{-x} d x=\sum _{n=1}^{\infty } n^{-n} .

Задача 1.161

Доказать равенство

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots }}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }} .

Задача 1.162

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ — положительные числа и

t_{n}=\sqrt{a_{1}+\sqrt{a_{2}+\ldots +\sqrt{a_{n}}}} .

Сходимость последовательности

t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}, \ldots \tag {t}

определяется числом

\limsup _{n \rightarrow \infty } \frac{\ln \ln a_{n}}{n}=\alpha

следующим образом:

\begin{aligned} & \text{ если } \alpha <\ln 2 \text{, то (t) сходится, } \\ & \text{ если } \alpha >\ln 2 \text{, то (t) расходится. } \end{aligned}

Примечание.

G. Pólya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 84, 1916. Решение — G. Szegö, там же, серия 3, т. 25, стр. 88--89, 1917.

Задача 1.163

(Продолжение.) Последовательность $(t)$ во всяком случае сходится, если сходится ряд

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{2^{n} \sqrt{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}} .

Задача 1.164

При $0<q<1$ имеет место равенство

\frac{1-q}{1+q}\left(\frac{1-q^{2}}{1+q^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1-q^{4}}{1+q^{4}}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{1-q^{8}}{1+q^{8}}\right)^{\frac{1}{8}} \ldots =(1-q)^{2} .

Примечание.

Jacobi, l. c. 53, § 52; Corollarium; Werke, т. 1, стр. 200--201.

Задача 1.165

Пусть бесконечный в обоих направлениях ряд

\ldots +f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)+f(x)+\int _{0}^{x} f(x) d x+\int _{0}^{x} d x \int _{0}^{x} f(x) d x+\ldots

равномерно сходится. Какую функцию он представляет?

Задача 1.166

Пусть $\varphi_{n}(x)$ и $\psi_{n}(x)$ — полиномы $n$ -й степени $(n=0,1,2, \ldots )$ , определяемые формулами

\begin{array}{ccc} \varphi _{0}(x)=1, & \varphi _{n}^{\prime }(x)=\varphi _{n-1}(x), & \varphi _{n}(0)=0, \\ \psi _{0}(x)=1, & \psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x), & \psi _{n}(0)=0 \\ & (n=1,2, \ldots ) . & \end{array}

Просуммировать ряды

\begin{aligned} & \varphi (x)=\varphi _{0}(x)+\varphi _{1}(x)+\ldots +\varphi _{n}(x)+\ldots , \\ & \psi (x)=\psi _{0}(x)+\psi _{1}(x)+\ldots +\psi _{n}(x)+\ldots \end{aligned}

Задача 1.167

Положим

x_{n}=y_{n} e^{-\frac{1}{12 n}}, \quad y_{n}=n! n^{-n-\frac{1}{2}} e^{n} .

Показать, что интервалы $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right), \ldots$ вложены один в другой, т. е. каждый из них содержит последующий как свою часть.

Задача 1.168

Последовательность

a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+p} \quad (n=1,2,3, \ldots )

тогда и только тогда монотонно убывает, когда $p \geqslant \frac{1}{2}$ .

Примечание.

I. Schur.

Задача 1.169

Последовательность

a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right) \quad (n=1,2,3, \ldots )

тогда и только тогда монотонно убывает, когда $x \geqslant \frac{1}{2}$ .

Задача 1.170

Показать, что при целом положительном $n$

\frac{e}{2 n+2}<e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{e}{2 n+1} .

Примечание.

См. задачу № 1098 в Nouv. Ann., серия 2, т. 11, стр. 480, 1872. Решение — C. Moreau, там же, серия 2, т. 13, стр. 61, 1874.

Задача 1.171

Как известно, число $e=\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ для любого значения $n=1,2,3, \ldots$ заключается в интервале

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \tag {168}

В какой четверти этого интервала?

Примечание.

I. Schur.

Задача 1.172

Последовательность

a_{n}=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+1} \quad (n=1,2,3, \ldots )

тогда и только тогда монотонно убывает, когда $0<x \leqslant 2$ .

Примечание.

I. Schur.

Задача 1.173

Показать, что $n$ -я итерация синуса

\sin _{n} x=\sin \left(\sin _{n-1} x\right), \quad \sin _{1} x=\sin x

при возрастании $n$ стремится к нулю, причем при $x>0$ имеет место предельное соотношение

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt{\frac{n}{3}} \sin _{n} x=1 .

Примечание.

Доказательство сообщил E. Jacobsthal.

Задача 1.174

Пусть в интервале $0<x<x_{0}$ имеем $0<f(x)<x$ ,

f(x)=x-a x^{k}+b x^{l}+x^{l} \varepsilon (x), \lim _{x \rightarrow 0} \varepsilon (x)=0,

причем $1<k<l$ , $a, b$ положительны. Полагаем

v_{0}=x, \quad v_{1}=f\left(v_{0}\right), \quad v_{2}=f\left(v_{1}\right), \ldots , v_{n}=f\left(v_{n-1}\right), \ldots

Тогда при $n \rightarrow \infty$

n^{\frac{1}{k-1}} v_{n} \rightarrow \left[(k-1) a\right]^{-\frac{1}{k-1}} .

Задача 1.175

Исследовать сходимость ряда

v_{1}^{s}+v_{2}^{s}+v_{3}^{s}+\ldots ,

где

v_{1}=\sin x, \quad v_{2}=\sin \sin x, \ldots , v_{n}=\sin v_{n-1}, \ldots

Очевидно, можно предположить $v_{1}>0$ .

Примечание.

J. Ouspensky, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 20, стр. 83, 1913.

Задача 1.176

Доказать формулу

e^{x}-1=u_{1}+u_{1} u_{2}+u_{1} u_{2} u_{3}+\ldots ,

где

u_{1}=x \neq 0, \quad u_{n+1}=\ln \frac{e^{u_{n}}-1}{u_{n}} \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

Примечание.

См. E. Cesàro, задача; Nouv. Ann., серия 3, т. 7, стр. 400, 1888. Решение — Audibert, там же, серия 3, т. 11, стр. 35, 1892.

Задача 1.177

Вычислить

s=\cos ^{3} \varphi -\frac{1}{3} \cos ^{3} 3 \varphi +\frac{1}{3^{2}} \cos ^{3} 3^{2} \varphi -\frac{1}{3^{3}} \cos ^{3} 3^{3} \varphi +\ldots

Примечание.

C. A. Laisant, задача; Nouv. Ann., серия 2, т. 9, стр. 144, 1870. Решение — H. Rumpen, там же, серия 2, т. 11, стр. 232, 1872.

Задача 1.178

Пусть $a_{n}, b_{n}\left(b_{n} \neq 0, n=0,1,2, \ldots \right)$ — две последовательности, удовлетворяющие следующим условиям:

a) Степенной ряд $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} x^{n}$ обладает радиусом сходимости $r$ , отличным от нуля.

b) Существует предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{b_{n+1}}=q,

причем $\left|q\right|<r$ .

Положим теперь

c_{n}=a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\ldots +a_{n} b_{0} \quad (n=0,1,2, \ldots ) .

Показать, что при возрастании $n$ отношение $\frac{c_{n}}{b_{n}}$ стремится к $f(q)$ .

Примечание.

I. Schur, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 162, 1918. См. O. Szász, Sitzungsber. Berl. Math. Ges., т. 21, стр. 25--29, 1922.

Задача 1.179

Пусть

f_{n}(x)=a_{n 1} x+a_{n 2} x^{2}+a_{n 3} x^{3}+\ldots \quad (n=1,2,3, \ldots )

— произвольные функции, для которых $\left|a_{n k}\right|<A$ при всех целых положительных значениях $n, k$ и

\lim _{n \rightarrow \infty } f_{n}(x)=0

при $0<x<1$ . Тогда при произвольном фиксированном $k$ ( $k=1,2,3, \ldots$ )

\lim _{n \rightarrow \infty } a_{n k}=0 .

Примечание.

Частный случай одной важной теоремы из теории функций, принадлежащей Витали. См. E. Lindelöf, Bull. S. M. F., т. 41, стр. 171, 1913.

Задача 1.180

Пусть ряды

a_{n 0}+a_{n 1}+a_{n 2}+\ldots +a_{n k}+\ldots =s_{n} \quad (n=0,1,2, \ldots )

обладают общей сходящейся мажорантой

A_{0}+A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{k}+\ldots =S,

т. е. для всех значений $n$ и $k$ выполняются неравенства $\left|a_{n k}\right| \leqslant A_{k}$ . Пусть, далее, существует

\lim _{n \rightarrow \infty } a_{n k}=a_{k} \quad (k=0,1,2, \ldots ) .

Тогда ряд

a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}+\ldots =s

сходится и

\lim _{n \rightarrow \infty } s_{n}=s .

Задача 1.181

Обосновать предельные переходы в 53 и 59.

Задача 1.181.1

Предположим, что

a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{in}+\cdots = s_i

сходится при $i=1,2,3,\ldots$ ; обозначим через $U_i$ верхнюю грань величин

\left|a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{in}\right|, \qquad n=1,2,3,\ldots ,

и предположим, что

U_1+U_2+\cdots +U_n+\cdots

сходится. Тогда ряд

(*) \qquad a_{11}+a_{12}+a_{21}+a_{13}+a_{22}+a_{31}+\cdots +a_{1n}+a_{2,n-1}+\cdots ,

получаемый расположением чисел схемы

\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2,n-1} & \cdots \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \end{matrix}

«по диагоналям», сходится, и его сумма равна

s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots .

Примечание.

Интересно здесь то, что абсолютная сходимость двойного ряда $\sum \sum a_{ik}$ не предполагается.

Задача 1.181.1

Предположим, что

a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{in}+\cdots = s_i

сходится при $i=1,2,3,\ldots$ ; обозначим через $U_i$ верхнюю грань величин

\left|a_{i1}+a_{i2}+\cdots +a_{in}\right|, \qquad n=1,2,3,\ldots ,

и предположим, что

U_1+U_2+\cdots +U_n+\cdots

сходится. Тогда ряд

(*) \qquad a_{11}+a_{12}+a_{21}+a_{13}+a_{22}+a_{31}+\cdots +a_{1n}+a_{2,n-1}+\cdots ,

получаемый расположением чисел схемы

\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2,n-1} & \cdots \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \end{matrix}

«по диагоналям», сходится, и его сумма равна

s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots .

Примечание.

Интересно здесь то, что абсолютная сходимость двойного ряда $\sum \sum a_{ik}$ не предполагается.

Задача 1.182

При фиксированном положительном $\alpha$ и $n$ , стремящемся к $+\infty$ по целым значениям,

{\sum _{v=1}^{\infty }}' v^{\alpha -1}\left(n^{\alpha }-v^{\alpha }\right)^{-2} \sim \frac{n^{1-\alpha }}{3}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)^{2} .

Штрих при знаке суммы означает, что член с $v=n$ , как не имеющий смысла, отбрасывается. Отметить случай $\alpha =1$ .

Задача 1.183

Пусть числа $\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots , \varepsilon_{n}, \ldots$ могут принимать лишь три значения: $-1,0,+1$ . Тогда

\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots }}}=2 \sin \left(\frac{\pi }{4} \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\varepsilon _{0} \varepsilon _{1} \varepsilon _{2} \ldots \varepsilon _{n}}{2^{n}}\right) .

(Под выражением в левой части понимается предел выражения

\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots +\varepsilon _{n} \sqrt{2}}}}

при $n \rightarrow \infty$ ; это выражение имеет смысл при всех значениях $n$ .)

Задача 1.184

Каждое число $x$ из интервала $-2 \leqslant x \leqslant 2$ может быть представлено в форме

x=\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots }}},

где числа $\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$ могут принимать лишь одно из двух значений $-1$ и $+1$ . Указанное представление может быть осуществлено даже единственным образом, если $x$ не имеет вида $2 \cos \frac{p}{2^{q}} \pi$ , где $p, q$ — целые, $0<p<2^{q}$ . Последние числа являются единственными, могущими быть представленными в конечной форме

\varepsilon _{0} \sqrt{2+\varepsilon _{1} \sqrt{2+\varepsilon _{2} \sqrt{2+\ldots +\varepsilon _{n} \sqrt{2}}}} .

Из этого конечного представления можно получить бесконечное двояким образом: полагая либо

\varepsilon _{n+1}=1, \quad \varepsilon _{n+2}=-1, \quad \varepsilon _{n+3}=\varepsilon _{n+4}=\ldots =1,

либо

\varepsilon _{n+1}=-1, \quad \varepsilon _{n+2}=-1, \quad \varepsilon _{n+3}=\varepsilon _{n+4}=\ldots =1 .

Примечание.

См. S. Pincherle, Atti Torino, т. 53, стр. 745--763, 1917--1918; Rom. Acc. L. Rend. (5), т. 27, 2-й сем., стр. 177--183, 1918.

Задача 1.185

(Продолжение.) Число $x$ тогда и только тогда будет иметь вид $x=2 \cos k \pi$ , где $k$ рационально, когда последовательность $\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$ , начиная с некоторого места, становится периодической.

Задача 1.185.1

Построить последовательность вещественных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots$ так, чтобы ряд

a_1^l + a_2^l + \cdots + a_n^l + \cdots

расходился при $l=5$ , но сходился, когда $l$ — любое нечетное целое положительное число, отличное от 5.

Примечание.

Предварительные эвристические соображения см. MD, т. 2, стр. 49--50 и 171.

Задача 1.185.1

Построить последовательность вещественных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots$ так, чтобы ряд

a_1^l + a_2^l + \cdots + a_n^l + \cdots

расходился при $l=5$ , но сходился, когда $l$ — любое нечетное целое положительное число, отличное от 5.

Примечание.

Предварительные эвристические соображения см. MD, т. 2, стр. 49--50 и 171.

Задача 1.185.2

(продолжение). Пусть множество всех нечетных целых положительных чисел разбито (произвольным образом) на два дополнительных подмножества $C$ и $D$ (не имеющих ни одного общего элемента). Показать, что существует последовательность вещественных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots$ , такая, что упомянутый ряд сходится, когда $l$ принадлежит $C$ , и расходится, когда $l$ принадлежит $D$ .

Примечание.

G. Pólya, задача: Amer. Math. Monthly, т. 51, стр. 593, 1944. Решение N. J. Fine: Amer. Math. Monthly, т. 53, стр. 283--284, 1946.

Задача 1.185.2

Примечание.

G. Pólya, задача: Amer. Math. Monthly, т. 51, стр. 593, 1944. Решение N. J. Fine: Amer. Math. Monthly, т. 53, стр. 283--284, 1946.

3 · Разбиения множеств, циклы в подстановках[25/100%]

Задача 1.186

Составить таблицу чисел $S_k^n$ для $n \leq 8$ , $1 \leq k \leq n$ .

Примечание.

Выписать конкретно различные возможности для малых $n$ , для всех $n \geq 3$ воспользоваться задачей 187.

Задача 1.187

Очевидно,

S_1^n = S_n^n = 1 .

Показать, что

S_k^{n+1} = S_{k-1}^n + k S_k^n .

Задача 1.188

Показать, что

\frac{S_k^k}{z^{k+1}} + \frac{S_k^{k+1}}{z^{k+2}} + \cdots + \frac{S_k^n}{z^{n+1}} + \cdots = \frac{1}{z(z-1)(z-2) \cdots (z-k)} .

Задача 1.189

Показать, что при $n \geq 1$

S_k^n = \frac{1}{k!} \left[ k^n - \binom {k}{1}(k-1)^n + \binom {k}{2}(k-2)^n - \cdots + (-1)^k 0^n \right] .

Задача 1.190

Показать, что

\sum _{n=k}^{\infty } \frac{S_k^n z^n}{n!} = \frac{(e^z-1)^k}{k!} .

Задача 1.191

Доказать тождество относительно $x$

x^n = S_1^n x + S_2^n x(x-1) + \cdots + S_n^n x(x-1) \cdots (x-n+1) . \qquad \text{[Задача 189; см. также III 221.]}

Задача 1.192

Доказать тождество задачи 191 независимо от задачи 189 и вывести отсюда новое доказательство задачи 189.

Примечание.

Комбинаторным рассуждением.

Задача 1.193

Положим $T_0=1$ . Тогда

T_0 + \frac{T_1 z}{1!} + \frac{T_2 z^2}{2!} + \cdots + \frac{T_n z^n}{n!} + \cdots = e^{e^z-1} .

Задача 1.194

Показать, что

T_{n+1} = \binom {n}{0} T_n + \binom {n}{1} T_{n-1} + \binom {n}{2} T_{n-2} + \cdots + \binom {n}{n} T_0 .

Примечание.

Комбинаторным рассуждением.

Задача 1.195

Воспользоваться задачей 194 для доказательства задачи 193 [см. также задачу 34].

Задача 1.196

Показать, что при $n \geq 1$

T_n = \frac{1}{e} \left( \frac{1^n}{1!} + \frac{2^n}{2!} + \frac{3^n}{3!} + \cdots \right) .

Задача 1.197

Составить таблицу чисел $s_k^n$ для $n \leq 8$ , $1 \leq k \leq n$ .

Примечание.

Выписать конкретно различные возможности для малых $n$ , для всех $n \geq 3$ воспользоваться задачей 198.

Задача 1.198

Очевидно,

s_1^n = (n-1)!, \qquad s_n^n = 1 .

Показать, что

s_k^{n+1} = s_{k-1}^n + n s_k^n .

Задача 1.199

Показать, что

x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1) = s_1^n x + s_2^n x^2 + \cdots + s_n^n x^n

или, что то же самое, что

x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1) = (-1)^{n-1} s_1^n x + \cdots - s_{n-1}^n x^{n-1} + s_n^n x^n .

Задача 1.200

Показать, что

\sum _{n=k}^{\infty } \frac{s_k^n z^n}{n!} = \frac{1}{k!} \left( \log \frac{1}{1-z} \right)^k .

Примечание.

Сравнить задачу 200 с задачей 190, задачу 199 с задачей 188 и еще раз задачу 199 с задачей 191. См. также [VII 54.2] и [VIII 247.1].

Задача 1.201

Составить таблицу чисел $\widetilde{S}_k^n$ для $n \leq 8$ , $1 \leq k \leq n$ .

Примечание.

Выписать конкретно различные возможности для малых $n$ , для всех $n \geq 4$ воспользоваться задачей 202.

Задача 1.202

Очевидно,

\widetilde{S}_1^n = 1 \text{ при } n \geq 2, \qquad \widetilde{S}_k^n = 0 \text{ при } n<2k .

Показать, что

\widetilde{S}_k^{n+1} = n \widetilde{S}_{k-1}^{n-1} + k \widetilde{S}_k^n .

Задача 1.203

Показать, что

\widetilde{S}_2^n = 2^{n-1}-n-1, \qquad \widetilde{S}_n^{2n} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) .

Задача 1.204

Возвращаясь к $S_k^n$ , показать, что

S_{n-1}^n = \binom {n}{2}, \qquad S_{n-2}^n = \binom {n}{3} \frac{3n-5}{4}, \qquad S_{n-3}^n = \binom {n}{4} \frac{(n-2)(n-3)}{2}

и что вообще $S_{n-a}^n$ есть полином от $n$ степени $2a$ , делящийся на $n(n-1)(n-2) \cdots (n-a)$ ; разумеется, $a \geq 1$ .

Задача 1.205

Положим $\widetilde{T}_0=1$ ,

\widetilde{T}_n = \widetilde{S}_1^n + \widetilde{S}_2^n + \cdots + \widetilde{S}_n^n

при $n \geq 1$ . Вычислить $T_n$ и $\widetilde{T}_n$ для $n \leq 8$ .

Задача 1.206

\widetilde{T}_{n+1} = \binom {n}{1} \widetilde{T}_{n-1} + \binom {n}{2} \widetilde{T}_{n-2} + \cdots + \binom {n}{n-1} \widetilde{T}_1 + \binom {n}{n} \widetilde{T}_0 .

Задача 1.207

\widetilde{T}_0 + \frac{\widetilde{T}_1 z}{1!} + \frac{\widetilde{T}_2 z^2}{2!} + \cdots + \frac{\widetilde{T}_n z^n}{n!} + \cdots = e^{e^z-1-z} .

Задача 1.208

\widetilde{T}_n = \binom {n}{0} T_n - \binom {n}{1} T_{n-1} + \binom {n}{2} T_{n-2} - \cdots + (-1)^n \binom {n}{n} T_0 .

Примечание.

$\widetilde{T}_n = \Delta^n T_0$ , если пользоваться обозначениями исчисления конечных разностей, см. введение к [III 220].

Задача 1.209

Если функция $F(t)$ имеет $n$ -ю производную, то

\left( \frac{d}{dx} \right)^n F(e^x) = S_1^n F'(e^x) e^x + S_2^n F''(e^x) e^{2x} + \cdots + S_n^n F^{(n)}(e^x) e^{nx} .

Задача 1.210

Вывести тождества относительно переменных $z$ и $w$ :

\sum _{n=0}^{\infty } \sum _{k \leq n} \binom {n}{k} \frac{w^k z^n}{n!} = e^{z(w+1)} , \tag {1}

\sum _{n=0}^{\infty } \sum _{k \leq n} S_k^n \frac{w^k z^n}{n!} = e^{(e^z-1)w} , \tag {2}

\sum _{n=0}^{\infty } \sum _{k \leq n} s_k^n \frac{w^k z^n}{n!} = (1-z)^{-w} \tag {3}

либо на основании предыдущего [задачи 10, 190, 200], либо независимо от предыдущего.

Примечание.

С другой стороны, мы могли бы рассматривать (1), (2) и (3) как определения соответственно $\binom {n}{k}$ , $S_k^n$ и $s_k^n$ и затем принять их за основу и отправную точку для установления предложений, в особенности комбинаторных предложений, обсуждавшихся в заканчивающемся здесь параграфе. Дополнительный материал по предмету, рассмотренному в этом параграфе, см. [V 62.1], [VII 54.2], [VIII 22.1, 22.2, 22.3, 58.3, 247.1], а также задачи 191.1, 191.2 настоящего отдела.

Разные задачи

Footnotes

Footnotes