Измеримые функции

Пусть $X$ — топологическое пространство и $\mathfrak {M}=\mathcal{B}(X)$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества. Докажите, что функция $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$ измерима, если она непрерывна. Приведите пример, показывающий, что обратное неверно.

Предположим, что $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$, пусть $\alpha \in [-\infty ,+\infty ]$, и пусть $E_{\alpha }=\left\{ x \in X: f(x)=\alpha \right\}$. Докажите, что если $f$ измерима, то множество $E_{\alpha }$ измеримо.

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$, пусть $\alpha \in [-\infty ,+\infty ]$, и пусть $E_{\alpha }= \left\{ x \in \mathbb {R}: f(x)=\alpha \right\}$. Приведите пример, показывающий, что даже если $E_{\alpha }$ измеримо для каждого $\alpha \in [-\infty ,+\infty ]$, $f$ не обязана быть измеримой.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима по Лебегу и пусть $c \in \mathbb {R}$. Докажите, что функция $g$, определённая как $g(x)=f(x+c)$, измерима по Лебегу.

Приведите пример, показывающий, что Утверждение 6.1.12 неверно, когда пространство с мерой не является полным.

Утверждение 6.1.12: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — полное пространство с мерой и $X_{0} \subset X$ — измеримое множество, для которого $\mu \left(X \setminus X_{0}\right) = 0$. Тогда функция $f$ на $X$ со значениями в расширенных вещественных числах измерима тогда и только тогда, когда её сужение на $X_{0}$ измеримо. В частности, если $g$ и $h$ — функции на $X$ со значениями в расширенных вещественных числах, для которых $g=h$ п.в. на $X$, то $g$ измерима тогда и только тогда, когда $h$ измерима.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $A, B, C \in \mathfrak {M}$ таковы, что $C$ является дизъюнктным объединением $A$ и $B$. Докажите, что сужение $f$ на $C$ измеримо тогда и только тогда, когда измеримы как сужение на $A$, так и сужение на $B$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Докажите, что $f$ измерима тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества $B \subset [-\infty ,+\infty ]$ прообраз $f^{-1}(B)$ измерим.

Приведите пример измеримой по Лебегу функции на $\mathbb {R}$, которая не является непрерывной ни в одной точке.

Приведите пример измеримой функции $f:[0,1] \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$, для которой не существует непрерывной функции $g$ такой, что $f=g$ п.в.

Пусть $x=0 . x_{1} x_{2} x_{3} \ldots$ и $y=0 . y_{1} y_{2} y_{3} \ldots$ — десятичные разложения вещественных чисел $x, y \in [0,1]$. Пусть $f(x, y)=k$, если $x_{k}=y_{k}$ и $x_{i} \neq y_{i}$ для всех $i<k$. Если $x_{k} \neq y_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$, положим $f(x, y)=\infty$. Докажите, что $f$ измерима по Лебегу и конечна п.в.

Пусть $A$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}$ и $\mathbf{f}: A \rightarrow \mathbb {R}^{n}$. Обозначим через $f_{k}(x)$ компоненту ( $x$ ) в направлении стандартного базисного вектора $e_{k}$. Докажите, что $\mathbf{f}$ измерима тогда и только тогда, когда каждая $f_{k}$ измерима. (См. Упражнение 6.2.8.)

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция. Докажите, что существует борелевски измеримая функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $f=g$ п.в. (относительно меры Лебега).

Предположим, что $X$ — метрическое пространство и $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство. Пусть $f$ — функция на $X$, непрерывная всюду, кроме конечного числа точек. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Предположим, что ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — полное пространство с мерой и пусть $f$ — функция на $X$, непрерывная п.в. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Предположим, что $X$ — метрическое пространство и $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство. Пусть $f$ — функция на $X$ такая, что $\left\{ x \in X: f(x)>r\right\}$ измеримо для каждого рационального числа $r$. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Пусть $f, g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и предположим, что $f$ измерима, а $g$ — биекция, обратная к которой является липшицевой функцией. Докажите, что композиция $f \circ g$ измерима.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой и пусть $f$ — измеримая функция на $X$, конечная п.в. Докажите, что для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $A$ такое, что $f$ ограничена на $A$ и $\mu \left(A^{C}\right)<\varepsilon$.

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — семейство измеримых подмножеств измеримого пространства $(X, \mathfrak {M})$, пусть $E=\cup_{n=1}^{\infty } E_{n}$, и пусть $f: E \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Докажите, что $f$ является измеримой функцией на $E$ тогда и только тогда, когда она измерима на каждом $E_{n}$.

Докажите, что всякая монотонная функция борелевски измерима.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ полунепрерывна сверху. Докажите, что она измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $f$ — измеримая функция на $X$. Предположим, что $\mu^{*}(B)>0$ и что $f(x)=0$ для всех $x \in B$. Если $A$ — измеримое множество, содержащее $B$, и $\mu (A)=\mu^{*}(B)$, докажите, что $f(x)=0$ для п.в. $x \in A$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, переводящая каждое измеримое множество в измеримое множество. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что существуют измеримая функция $g$ и борелевская функция $h$, для которых $f=g \circ h$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Предположим, что $f^{-1}(I) \in \mathfrak {M}$ для любого конечного интервала $I$. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Пусть $x, y$ — две точки в $X$ такие, что каждое множество из $\mathfrak {M}$ либо содержит их обе, либо не содержит ни одной. Докажите, что $f(x)=f(y)$.

Пусть $X$ — дизъюнктное объединение счётного семейства $\left\{ A_{k}\right\}$ и пусть $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$ измерима относительно $\sigma \left(\left\{ A_{k}\right\} \right)$. Докажите, что существуют вещественные числа $\left\{ a_{k}\right\}$ такие, что $f=\sum_{k} a_{k} \chi_{A_{k}}$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $T: X \rightarrow X$ — биекция такая, что $T(A) \in \mathcal{A}$ для всех $A \in \mathcal{A}$. Докажите, что:

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, состоящая из множеств, которые либо счётны, либо их дополнение счётно (см. Упражнение 4.3.12), и пусть $\mu$ — мера, для которой мера счётного множества равна 0, а множества, дополнения которых счётны, имеют бесконечную меру. Докажите, что если функция измерима, то она постоянна п.в.

Докажите, что характеристическая функция множества $E$ измерима тогда и только тогда, когда $E$ измеримо.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}$ ) — измеримые пространства. Предположим, что $X$ — топологическое пространство с топологией $\tau$, и что $\mathfrak {M}$ является $\sigma$-алгеброй, порождённой $\tau$. Далее, предположим, что существует биекция $f: X \rightarrow Y$ такая, что и $f$, и $f^{-1}$ измеримы. Пусть $\tau^{\prime }=\left\{ f(V): V \in \tau \right\}$. Докажите, что:

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, пусть $\left\{ f_{i}\right\}_{i \in I}$ — непрерывные функции, $f_{i}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $f=\sup_{i} f_{i}$. Докажите, что $f \circ g$ является измеримой функцией.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что композиция $h(x)=g(f(x))$ измерима. Заключите, что если $f$ измерима, то и $|f|^{p}$ измерима для любого $p>0$.

Пусть $f, g$ — борелевски измеримые функции на $\mathbb {R}$. Докажите, что их композиция борелевски измерима.

Приведите пример, показывающий, что Следствие 6.2.7 неверно, если ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) не полно.

Следствие 6.2.7: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — полное пространство с мерой и $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — измеримые функции на $X$ со значениями в $[-\infty , +\infty ]$, конечные п.в. Если $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ сходится к функции $f$ п.в. на $X$, то $f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся п.в. Докажите, что её предел п.в. равен измеримой функции.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ] \backslash \left\{ 0\right\}$. Докажите, что $1 / f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Определите все взаимно простые положительные целые числа $m, n$ такие, что измеримость $f^{m / n}$ влечёт измеримость $f$.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $[a, b]$ и пусть $N(c)$ обозначает число решений уравнения $f(x)=c$. Докажите, что функция $N$ измерима по Лебегу.

Пусть $A$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}$ и $\mathbf{f}: A \rightarrow \mathbb {R}^{n}$. Докажите, что измеримость каждой компоненты $\mathbf{f}$ не зависит от выбора базиса.

Пусть $x=0 . n_{1} n_{2} \ldots$ — десятичное разложение вещественного числа $x \in [0,1]$, и пусть $f(x)=\max_{k} n_{k}$. Докажите, что $f$ измерима и постоянна п.в. [Замечание: некоторые числа имеют два различных десятичных представления. Например, $0.5= 0.49999 \ldots$. В подобной ситуации мы будем брать то представление, которое не оканчивается бесконечно повторяющейся цифрой 9. Таким образом, $f(0.5)=f(0.4999999 \ldots )=$ 5.]

Пусть $x=0 . n_{1} n_{2} \ldots$ — десятичное разложение вещественного числа $x \in [0,1]$, и пусть $f(x)=\limsup_{k} n_{k}$. Докажите, что $f$ измерима и постоянна п.в. [Замечание: некоторые числа имеют два различных десятичных представления. Например, $0.5= 0.49999 \ldots$. В подобной ситуации мы будем брать то представление, которое не оканчивается бесконечно повторяющейся цифрой 9. Таким образом, $f(0.5)=f(0.4999999 \ldots )=$ 0.]

Существует ли неизмеримая функция $f \geq 0$ такая, что $\sqrt{f}$ измерима?

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — семейство измеримых подмножеств измеримого пространства $(X, \mathfrak {M})$, пусть $k$ — положительное целое число или $\infty$, и пусть

Докажите, что $E$ измеримо.

Пусть $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Предположим, что при каждом фиксированном $y$ $f$ является измеримой функцией от $x$, а при каждом фиксированном $x$ $f$ является непрерывной функцией от $y$. Докажите, что функции

измеримы.

Пусть $E$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}^{2}$ и $f$ — вещественнозначная функция на $E$. Предположим, что для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $F \subset E$ такое, что $m(E \backslash F)<\varepsilon$ и сужение $f$ на $F$ непрерывно. Докажите, что $f$ измерима.

Пусть $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция и пусть $g_{k}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, 1 \leq k \leq n$, — измеримые функции. Докажите, что $h(x):=f\left(g_{1}(x), g_{2}(x), \ldots , g_{n}(x)\right)$ является измеримой функцией.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $A \in \mathfrak {M}$, и пусть $f: A \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ и $g: A^{C} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ измеримы. Докажите, что функция $h$, определённая как $h(x)=f(x)$, если $x \in A$, и $h(x)=g(x)$, если $x \notin A$, измерима.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите или опровергните: композиция $h(x)=f(g(x))$ измерима.

Приведите пример несчётного семейства измеримых функций $\mathcal{F}$, для которого $\sup \left\{ f: f \in \mathcal{F}\right\}$ не является измеримой функцией.

Пусть $f, g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ и предположим, что $f$ борелевски измерима, а $g$ измерима по Лебегу. Докажите или опровергните: $f \circ g$ измерима по Лебегу.

Докажите, что множество всех непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ является алгеброй функций.

Пусть $\mathcal{A}$ состоит из всех функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $f(0)=0$. Докажите, что $\mathcal{A}$ является алгеброй функций.

Докажите, что класс простых функций на $X$ является алгеброй функций.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательная измеримая функция. Докажите, что существует возрастающая последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ простых функций на $X$ такая, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть ( $X, \mathfrak {M}_{0}, \mu_{0}$ ) — его пополнение. Если $f$ — функция, измеримая относительно $\mathfrak {M}_{0}$, докажите, что существует функция $g$, измеримая относительно $\mathfrak {M}$, такая, что $f=g$ п.в. $[\mu ]$.

Докажите, что совокупность измеримых по Лебегу функций на $\mathbb {R}^{n}$ является наименьшей алгеброй, содержащей характеристические функции всех измеримых по Лебегу множеств и замкнутой относительно поточечных пределов п.в.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [0,+\infty ]$ — ограниченная измеримая функция. Существует последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ неотрицательных простых функций на $X$ такая, что:

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций. Докажите, что множество точек $x$, для которых существует $\lim f_{n}(x)$, измеримо.

Пусть $f$ — функция, определённая и дифференцируемая на $\mathbb {R}$. Докажите, что её производная $f^{\prime }$ является измеримой функцией.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная борелевски измеримая функция. Докажите, что \left\{ x \in [a, b]: f непрерывна в x\right\} борелевски измеримо.

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, пусть $G \subset \mathbb {R}$ — непустое открытое множество, и пусть $h(t)=t \sin t$. Определим

Докажите, что $f$ является вещественнозначной измеримой функцией.

Докажите Утверждение 6.3.6.

Утверждение 6.3.6: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность измеримых функций на $X$ со значениями в $[-\infty , +\infty ]$, конечных п.в. Если $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на $X$ к вещественнозначной функции $f$, то $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере на $X$.

Докажите, что Утверждение 6.3.8 неверно, если $\mu (X)=\infty$.

В Упражнениях 6.3.3–6.3.5 докажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится по (лебеговой) мере на $X$, не используя Утверждения 6.3.6 или 6.3.8.

$f_{n}(x)=x^{n}, X=[0,1]$.

$f_{n}(x)=\frac{1}{n} \tan x, X=(-\pi / 2, \pi / 2)$.

$f_{n}(x)=n \chi_{[0,1 / n]}(x), \mathbb {R}$.

Найдите подпоследовательность последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ из Примера 6.3.9, сходящуюся к 0 п.в. на $[0,1]$.

Пример 6.3.9: Пусть $X=[0,1]$, пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств $[0,1]$, и пусть $\mu$ — сужение меры Лебега $m$ на $[0,1]$. Определим последовательность функций $f_{1}=\chi_{[0,1]}$, $f_{2}=\chi_{[0,1/2]}$, $f_{3}=\chi_{[1/2,1]}$, $f_{4}=\chi_{[0,1/3]}$, $f_{5}=\chi_{[1/3,2/3]}$, $f_{6}=\chi_{[2/3,1]}$, $f_{7}=\chi_{[0,1/4]}$, $f_{8}=\chi_{[1/4,1/2]}$, $f_{9}=\chi_{[1/2,3/4]}$, $f_{10}=\chi_{[3/4,1]}$, и так далее (т.е. для каждого $k \in \mathbb {N}$ блок функций со знаменателем $k$ состоит из индикаторов $k$ последовательных интервалов длины $1/k$, разбивающих $[0,1]$). Эта последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $0$ по мере на $[0,1]$, но не п.в.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций и предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ п.в. и $f_{n} \rightarrow g$ п.в. Докажите, что $f=g$ п.в.

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — перечисление рациональных чисел из $[0,1]$ и пусть $r_{n}= p_{n} / q_{n}$, где $p_{n}, q_{n}$ — взаимно простые положительные целые числа. Пусть

Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к 0 по мере Лебега.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций и предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ по мере и $f_{n} \rightarrow g$ по мере. Докажите, что $f=g$ п.в.

Предположим, что $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ не полно. Покажите, что существует последовательность измеримых функций на $X$, сходящаяся поточечно п.в. на $X$ к функции, которая не измерима.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\}$ — две последовательности измеримых функций, сходящиеся по мере на множестве конечной меры E, и пусть $f, g$ обозначают их пределы. Если $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$, докажите, что:

Предположим, что $E$ имеет конечную меру. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $E$ и $f$ измерима на $E$, причём $f$ и каждая $f_{n}$ конечны п.в. на $E$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ по мере на $E$ тогда и только тогда, когда у каждой подпоследовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в свою очередь найдётся дальнейшая подпоследовательность, сходящаяся к $f$ поточечно п.в. на $E$.

Докажите, что теорема Егорова не обязана выполняться, если $\mu (X)=\infty$.

Последовательность измеримых функций является фундаментальной по мере (последовательностью Коши по мере), если для всех $\eta >0$ существует $N \in \mathbb {N}$ такое, что

Докажите, что:

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой. Докажите или опровергните: Существует последовательность $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ измеримых функций на $X$ со значениями в $[-\infty ,+\infty ]$, конечных п.в., которая сходится к 0 по мере, но никакая её подпоследовательность не сходится равномерно ни на каком подмножестве положительной меры.

Докажите, что $f_{n}(x)=e^{-n|1-\sin x|}$ сходится по мере к $f(x)=0$ на $[a, b]$. Верно ли это, если интервал бесконечен?

Пусть $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$ — измеримая функция. Докажите, что существует последовательность непрерывных функций на $\mathbb {R}^{n}$, сходящаяся к $f$ п.в.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — измеримые функции на $X$ со значениями в $[-\infty ,+\infty ]$, конечные п.в. Если $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере на $X$, докажите, что $f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }, f$ — измеримые функции на $X$ такие, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере на $X$, и пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что $\left\{ F \circ f_{n}\right\}$ сходится по мере к $F \circ f$.

Докажите обращение теоремы Лузина: Если $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ обладает тем свойством, что для каждого $\varepsilon >0$ существует открытое множество $G$ с $m_{n}(G)<\varepsilon$, причём $f$ непрерывна на $\mathbb {R}^{n} \backslash G$, то $f$ измерима.

(Лебег–Хаусдорф) Докажите, что совокупность борелевски измеримых функций на $\mathbb {R}^{n}$ является наименьшей алгеброй, содержащей непрерывные функции и замкнутой относительно поточечных пределов.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таковы, что $\lim_{n} \mu \left(E_{n}\right)=0$. Докажите, что $\left\{ \chi_{E_{n}}\right\}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к нулевой функции п.в.

Докажите, что борелевская $\sigma$-алгебра на метрическом пространстве является наименьшей $\sigma$-алгеброй, относительно которой все ограниченные непрерывные функции измеримы.

Приведите пример последовательности измеримых функций, для которой множество точек, где сходимость равномерна, нигде не плотно.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $f_{n}: X \rightarrow [0,+\infty ]$ — измеримая функция при каждом $n \in \mathbb {N}$, и для каждого $\epsilon >0$ и каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $E_{n, \epsilon }=\left\{ x \in X: f_{n}(x) \geq \epsilon \right\}$. Докажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к 0 почти всюду тогда и только тогда, когда $\mu \left(\limsup_{n} E_{n, \epsilon }\right)=0$ для всех $\epsilon >0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f$ — измеримые функции на $X$, пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — вещественные числа, и пусть $E_{n}=\left\{ x \in X:\left|f_{n}(x)\right| \leq c_{n}\right\}$, для $n \in \mathbb {N}$. Предположим, что $\sum_{n=1}^{\infty } \mu \left(E_{n}^{C}\right)<\infty$ и $\lim_{n} f_{n} \chi_{E_{n}}=f$ почти всюду. Докажите, что $\lim_{n} f_{n}=f$ почти всюду.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f$ — неотрицательные измеримые функции на $X$ такие, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере, и пусть $a>0$. Докажите, что $\left\{ f_{n}^{a}\right\}$ сходится к $f^{a}$ по мере. Приведите пример, показывающий, что результат неверен, если $\mu (X)=\infty$.

Пусть $\mu$ — считающая мера на $\mathbb {N}$ и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — функции на $\mathbb {N}$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к функции $f$ по мере тогда и только тогда, когда она сходится к $f$ равномерно.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция. Докажите, что существует последовательность измеримых функций $\left\{ f_{n}\right\}$, равномерно сходящихся к $f$ на $X$, причём каждая $f_{n}$ принимает не более чем счётное число значений.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся поточечно к функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $X$ является счётным объединением измеримых множеств $\left\{ X_{n}\right\}$, где $\mu \left(X_{1}\right)=0$ и $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно к $f$ на $X_{k}$ при $k \geq 2$.