Определение и основные факты

Пусть $X$ — топологическое пространство и $\mathfrak {M}=\mathcal{B}(X)$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества. Докажите, что функция $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$ измерима, если она непрерывна. Приведите пример, показывающий, что обратное неверно.

Предположим, что $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$, пусть $\alpha \in [-\infty ,+\infty ]$, и пусть $E_{\alpha }=\left\{ x \in X: f(x)=\alpha \right\}$. Докажите, что если $f$ измерима, то множество $E_{\alpha }$ измеримо.

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$, пусть $\alpha \in [-\infty ,+\infty ]$, и пусть $E_{\alpha }= \left\{ x \in \mathbb {R}: f(x)=\alpha \right\}$. Приведите пример, показывающий, что даже если $E_{\alpha }$ измеримо для каждого $\alpha \in [-\infty ,+\infty ]$, $f$ не обязана быть измеримой.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима по Лебегу и пусть $c \in \mathbb {R}$. Докажите, что функция $g$, определённая как $g(x)=f(x+c)$, измерима по Лебегу.

Приведите пример, показывающий, что Утверждение 6.1.12 неверно, когда пространство с мерой не является полным.

Утверждение 6.1.12: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — полное пространство с мерой и $X_{0} \subset X$ — измеримое множество, для которого $\mu \left(X \setminus X_{0}\right) = 0$. Тогда функция $f$ на $X$ со значениями в расширенных вещественных числах измерима тогда и только тогда, когда её сужение на $X_{0}$ измеримо. В частности, если $g$ и $h$ — функции на $X$ со значениями в расширенных вещественных числах, для которых $g=h$ п.в. на $X$, то $g$ измерима тогда и только тогда, когда $h$ измерима.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $A, B, C \in \mathfrak {M}$ таковы, что $C$ является дизъюнктным объединением $A$ и $B$. Докажите, что сужение $f$ на $C$ измеримо тогда и только тогда, когда измеримы как сужение на $A$, так и сужение на $B$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Докажите, что $f$ измерима тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества $B \subset [-\infty ,+\infty ]$ прообраз $f^{-1}(B)$ измерим.

Приведите пример измеримой по Лебегу функции на $\mathbb {R}$, которая не является непрерывной ни в одной точке.

Приведите пример измеримой функции $f:[0,1] \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$, для которой не существует непрерывной функции $g$ такой, что $f=g$ п.в.

Пусть $x=0 . x_{1} x_{2} x_{3} \ldots$ и $y=0 . y_{1} y_{2} y_{3} \ldots$ — десятичные разложения вещественных чисел $x, y \in [0,1]$. Пусть $f(x, y)=k$, если $x_{k}=y_{k}$ и $x_{i} \neq y_{i}$ для всех $i<k$. Если $x_{k} \neq y_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$, положим $f(x, y)=\infty$. Докажите, что $f$ измерима по Лебегу и конечна п.в.

Пусть $A$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}$ и $\mathbf{f}: A \rightarrow \mathbb {R}^{n}$. Обозначим через $f_{k}(x)$ компоненту ( $x$ ) в направлении стандартного базисного вектора $e_{k}$. Докажите, что $\mathbf{f}$ измерима тогда и только тогда, когда каждая $f_{k}$ измерима. (См. Упражнение 6.2.8.)

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция. Докажите, что существует борелевски измеримая функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $f=g$ п.в. (относительно меры Лебега).

Предположим, что $X$ — метрическое пространство и $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство. Пусть $f$ — функция на $X$, непрерывная всюду, кроме конечного числа точек. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Предположим, что ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — полное пространство с мерой и пусть $f$ — функция на $X$, непрерывная п.в. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Предположим, что $X$ — метрическое пространство и $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство. Пусть $f$ — функция на $X$ такая, что $\left\{ x \in X: f(x)>r\right\}$ измеримо для каждого рационального числа $r$. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Пусть $f, g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и предположим, что $f$ измерима, а $g$ — биекция, обратная к которой является липшицевой функцией. Докажите, что композиция $f \circ g$ измерима.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой и пусть $f$ — измеримая функция на $X$, конечная п.в. Докажите, что для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $A$ такое, что $f$ ограничена на $A$ и $\mu \left(A^{C}\right)<\varepsilon$.

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — семейство измеримых подмножеств измеримого пространства $(X, \mathfrak {M})$, пусть $E=\cup_{n=1}^{\infty } E_{n}$, и пусть $f: E \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Докажите, что $f$ является измеримой функцией на $E$ тогда и только тогда, когда она измерима на каждом $E_{n}$.

Докажите, что всякая монотонная функция борелевски измерима.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ полунепрерывна сверху. Докажите, что она измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $f$ — измеримая функция на $X$. Предположим, что $\mu^{*}(B)>0$ и что $f(x)=0$ для всех $x \in B$. Если $A$ — измеримое множество, содержащее $B$, и $\mu (A)=\mu^{*}(B)$, докажите, что $f(x)=0$ для п.в. $x \in A$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, переводящая каждое измеримое множество в измеримое множество. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что существуют измеримая функция $g$ и борелевская функция $h$, для которых $f=g \circ h$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Предположим, что $f^{-1}(I) \in \mathfrak {M}$ для любого конечного интервала $I$. Докажите или опровергните: $f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Пусть $x, y$ — две точки в $X$ такие, что каждое множество из $\mathfrak {M}$ либо содержит их обе, либо не содержит ни одной. Докажите, что $f(x)=f(y)$.

Пусть $X$ — дизъюнктное объединение счётного семейства $\left\{ A_{k}\right\}$ и пусть $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$ измерима относительно $\sigma \left(\left\{ A_{k}\right\} \right)$. Докажите, что существуют вещественные числа $\left\{ a_{k}\right\}$ такие, что $f=\sum_{k} a_{k} \chi_{A_{k}}$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $T: X \rightarrow X$ — биекция такая, что $T(A) \in \mathcal{A}$ для всех $A \in \mathcal{A}$. Докажите, что:

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, состоящая из множеств, которые либо счётны, либо их дополнение счётно (см. Упражнение 4.3.12), и пусть $\mu$ — мера, для которой мера счётного множества равна 0, а множества, дополнения которых счётны, имеют бесконечную меру. Докажите, что если функция измерима, то она постоянна п.в.

Докажите, что характеристическая функция множества $E$ измерима тогда и только тогда, когда $E$ измеримо.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}$ ) — измеримые пространства. Предположим, что $X$ — топологическое пространство с топологией $\tau$, и что $\mathfrak {M}$ является $\sigma$-алгеброй, порождённой $\tau$. Далее, предположим, что существует биекция $f: X \rightarrow Y$ такая, что и $f$, и $f^{-1}$ измеримы. Пусть $\tau^{\prime }=\left\{ f(V): V \in \tau \right\}$. Докажите, что:

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, пусть $\left\{ f_{i}\right\}_{i \in I}$ — непрерывные функции, $f_{i}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть $f=\sup_{i} f_{i}$. Докажите, что $f \circ g$ является измеримой функцией.