Последовательности измеримых функций

Докажите Утверждение 6.3.6.

Утверждение 6.3.6: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность измеримых функций на $X$ со значениями в $[-\infty , +\infty ]$, конечных п.в. Если $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на $X$ к вещественнозначной функции $f$, то $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере на $X$.

Докажите, что Утверждение 6.3.8 неверно, если $\mu (X)=\infty$.

В Упражнениях 6.3.3–6.3.5 докажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится по (лебеговой) мере на $X$, не используя Утверждения 6.3.6 или 6.3.8.

$f_{n}(x)=x^{n}, X=[0,1]$.

$f_{n}(x)=\frac{1}{n} \tan x, X=(-\pi / 2, \pi / 2)$.

$f_{n}(x)=n \chi_{[0,1 / n]}(x), \mathbb {R}$.

Найдите подпоследовательность последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ из Примера 6.3.9, сходящуюся к 0 п.в. на $[0,1]$.

Пример 6.3.9: Пусть $X=[0,1]$, пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств $[0,1]$, и пусть $\mu$ — сужение меры Лебега $m$ на $[0,1]$. Определим последовательность функций $f_{1}=\chi_{[0,1]}$, $f_{2}=\chi_{[0,1/2]}$, $f_{3}=\chi_{[1/2,1]}$, $f_{4}=\chi_{[0,1/3]}$, $f_{5}=\chi_{[1/3,2/3]}$, $f_{6}=\chi_{[2/3,1]}$, $f_{7}=\chi_{[0,1/4]}$, $f_{8}=\chi_{[1/4,1/2]}$, $f_{9}=\chi_{[1/2,3/4]}$, $f_{10}=\chi_{[3/4,1]}$, и так далее (т.е. для каждого $k \in \mathbb {N}$ блок функций со знаменателем $k$ состоит из индикаторов $k$ последовательных интервалов длины $1/k$, разбивающих $[0,1]$). Эта последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $0$ по мере на $[0,1]$, но не п.в.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций и предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ п.в. и $f_{n} \rightarrow g$ п.в. Докажите, что $f=g$ п.в.

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — перечисление рациональных чисел из $[0,1]$ и пусть $r_{n}= p_{n} / q_{n}$, где $p_{n}, q_{n}$ — взаимно простые положительные целые числа. Пусть

Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к 0 по мере Лебега.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций и предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ по мере и $f_{n} \rightarrow g$ по мере. Докажите, что $f=g$ п.в.

Предположим, что $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ не полно. Покажите, что существует последовательность измеримых функций на $X$, сходящаяся поточечно п.в. на $X$ к функции, которая не измерима.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\}$ — две последовательности измеримых функций, сходящиеся по мере на множестве конечной меры E, и пусть $f, g$ обозначают их пределы. Если $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$, докажите, что:

Предположим, что $E$ имеет конечную меру. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $E$ и $f$ измерима на $E$, причём $f$ и каждая $f_{n}$ конечны п.в. на $E$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ по мере на $E$ тогда и только тогда, когда у каждой подпоследовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в свою очередь найдётся дальнейшая подпоследовательность, сходящаяся к $f$ поточечно п.в. на $E$.

Докажите, что теорема Егорова не обязана выполняться, если $\mu (X)=\infty$.

Последовательность измеримых функций является фундаментальной по мере (последовательностью Коши по мере), если для всех $\eta >0$ существует $N \in \mathbb {N}$ такое, что

Докажите, что:

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой. Докажите или опровергните: Существует последовательность $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ измеримых функций на $X$ со значениями в $[-\infty ,+\infty ]$, конечных п.в., которая сходится к 0 по мере, но никакая её подпоследовательность не сходится равномерно ни на каком подмножестве положительной меры.

Докажите, что $f_{n}(x)=e^{-n|1-\sin x|}$ сходится по мере к $f(x)=0$ на $[a, b]$. Верно ли это, если интервал бесконечен?

Пусть $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$ — измеримая функция. Докажите, что существует последовательность непрерывных функций на $\mathbb {R}^{n}$, сходящаяся к $f$ п.в.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — измеримые функции на $X$ со значениями в $[-\infty ,+\infty ]$, конечные п.в. Если $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере на $X$, докажите, что $f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }, f$ — измеримые функции на $X$ такие, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере на $X$, и пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что $\left\{ F \circ f_{n}\right\}$ сходится по мере к $F \circ f$.

Докажите обращение теоремы Лузина: Если $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ обладает тем свойством, что для каждого $\varepsilon >0$ существует открытое множество $G$ с $m_{n}(G)<\varepsilon$, причём $f$ непрерывна на $\mathbb {R}^{n} \backslash G$, то $f$ измерима.

(Лебег–Хаусдорф) Докажите, что совокупность борелевски измеримых функций на $\mathbb {R}^{n}$ является наименьшей алгеброй, содержащей непрерывные функции и замкнутой относительно поточечных пределов.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таковы, что $\lim_{n} \mu \left(E_{n}\right)=0$. Докажите, что $\left\{ \chi_{E_{n}}\right\}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к нулевой функции п.в.

Докажите, что борелевская $\sigma$-алгебра на метрическом пространстве является наименьшей $\sigma$-алгеброй, относительно которой все ограниченные непрерывные функции измеримы.

Приведите пример последовательности измеримых функций, для которой множество точек, где сходимость равномерна, нигде не плотно.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $f_{n}: X \rightarrow [0,+\infty ]$ — измеримая функция при каждом $n \in \mathbb {N}$, и для каждого $\epsilon >0$ и каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $E_{n, \epsilon }=\left\{ x \in X: f_{n}(x) \geq \epsilon \right\}$. Докажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к 0 почти всюду тогда и только тогда, когда $\mu \left(\limsup_{n} E_{n, \epsilon }\right)=0$ для всех $\epsilon >0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f$ — измеримые функции на $X$, пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — вещественные числа, и пусть $E_{n}=\left\{ x \in X:\left|f_{n}(x)\right| \leq c_{n}\right\}$, для $n \in \mathbb {N}$. Предположим, что $\sum_{n=1}^{\infty } \mu \left(E_{n}^{C}\right)<\infty$ и $\lim_{n} f_{n} \chi_{E_{n}}=f$ почти всюду. Докажите, что $\lim_{n} f_{n}=f$ почти всюду.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f$ — неотрицательные измеримые функции на $X$ такие, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по мере, и пусть $a>0$. Докажите, что $\left\{ f_{n}^{a}\right\}$ сходится к $f^{a}$ по мере. Приведите пример, показывающий, что результат неверен, если $\mu (X)=\infty$.

Пусть $\mu$ — считающая мера на $\mathbb {N}$ и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — функции на $\mathbb {N}$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к функции $f$ по мере тогда и только тогда, когда она сходится к $f$ равномерно.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция. Докажите, что существует последовательность измеримых функций $\left\{ f_{n}\right\}$, равномерно сходящихся к $f$ на $X$, причём каждая $f_{n}$ принимает не более чем счётное число значений.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся поточечно к функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $X$ является счётным объединением измеримых множеств $\left\{ X_{n}\right\}$, где $\mu \left(X_{1}\right)=0$ и $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно к $f$ на $X_{k}$ при $k \geq 2$.