Основные свойства измеримых функций

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что композиция $h(x)=g(f(x))$ измерима. Заключите, что если $f$ измерима, то и $|f|^{p}$ измерима для любого $p>0$.

Пусть $f, g$ — борелевски измеримые функции на $\mathbb {R}$. Докажите, что их композиция борелевски измерима.

Приведите пример, показывающий, что Следствие 6.2.7 неверно, если ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) не полно.

Следствие 6.2.7: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — полное пространство с мерой и $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — измеримые функции на $X$ со значениями в $[-\infty , +\infty ]$, конечные п.в. Если $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ сходится к функции $f$ п.в. на $X$, то $f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся п.в. Докажите, что её предел п.в. равен измеримой функции.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ] \backslash \left\{ 0\right\}$. Докажите, что $1 / f$ измерима.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Определите все взаимно простые положительные целые числа $m, n$ такие, что измеримость $f^{m / n}$ влечёт измеримость $f$.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $[a, b]$ и пусть $N(c)$ обозначает число решений уравнения $f(x)=c$. Докажите, что функция $N$ измерима по Лебегу.

Пусть $A$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}$ и $\mathbf{f}: A \rightarrow \mathbb {R}^{n}$. Докажите, что измеримость каждой компоненты $\mathbf{f}$ не зависит от выбора базиса.

Пусть $x=0 . n_{1} n_{2} \ldots$ — десятичное разложение вещественного числа $x \in [0,1]$, и пусть $f(x)=\max_{k} n_{k}$. Докажите, что $f$ измерима и постоянна п.в. [Замечание: некоторые числа имеют два различных десятичных представления. Например, $0.5= 0.49999 \ldots$. В подобной ситуации мы будем брать то представление, которое не оканчивается бесконечно повторяющейся цифрой 9. Таким образом, $f(0.5)=f(0.4999999 \ldots )=$ 5.]

Пусть $x=0 . n_{1} n_{2} \ldots$ — десятичное разложение вещественного числа $x \in [0,1]$, и пусть $f(x)=\limsup_{k} n_{k}$. Докажите, что $f$ измерима и постоянна п.в. [Замечание: некоторые числа имеют два различных десятичных представления. Например, $0.5= 0.49999 \ldots$. В подобной ситуации мы будем брать то представление, которое не оканчивается бесконечно повторяющейся цифрой 9. Таким образом, $f(0.5)=f(0.4999999 \ldots )=$ 0.]

Существует ли неизмеримая функция $f \geq 0$ такая, что $\sqrt{f}$ измерима?

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — семейство измеримых подмножеств измеримого пространства $(X, \mathfrak {M})$, пусть $k$ — положительное целое число или $\infty$, и пусть

Докажите, что $E$ измеримо.

Пусть $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow [-\infty ,+\infty ]$. Предположим, что при каждом фиксированном $y$ $f$ является измеримой функцией от $x$, а при каждом фиксированном $x$ $f$ является непрерывной функцией от $y$. Докажите, что функции

измеримы.

Пусть $E$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}^{2}$ и $f$ — вещественнозначная функция на $E$. Предположим, что для каждого $\varepsilon >0$ существует измеримое множество $F \subset E$ такое, что $m(E \backslash F)<\varepsilon$ и сужение $f$ на $F$ непрерывно. Докажите, что $f$ измерима.

Пусть $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция и пусть $g_{k}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, 1 \leq k \leq n$, — измеримые функции. Докажите, что $h(x):=f\left(g_{1}(x), g_{2}(x), \ldots , g_{n}(x)\right)$ является измеримой функцией.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $A \in \mathfrak {M}$, и пусть $f: A \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ и $g: A^{C} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ измеримы. Докажите, что функция $h$, определённая как $h(x)=f(x)$, если $x \in A$, и $h(x)=g(x)$, если $x \notin A$, измерима.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите или опровергните: композиция $h(x)=f(g(x))$ измерима.

Приведите пример несчётного семейства измеримых функций $\mathcal{F}$, для которого $\sup \left\{ f: f \in \mathcal{F}\right\}$ не является измеримой функцией.

Пусть $f, g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ и предположим, что $f$ борелевски измерима, а $g$ измерима по Лебегу. Докажите или опровергните: $f \circ g$ измерима по Лебегу.

Докажите, что множество всех непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ является алгеброй функций.

Пусть $\mathcal{A}$ состоит из всех функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $f(0)=0$. Докажите, что $\mathcal{A}$ является алгеброй функций.

Докажите, что класс простых функций на $X$ является алгеброй функций.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательная измеримая функция. Докажите, что существует возрастающая последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ простых функций на $X$ такая, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть ( $X, \mathfrak {M}_{0}, \mu_{0}$ ) — его пополнение. Если $f$ — функция, измеримая относительно $\mathfrak {M}_{0}$, докажите, что существует функция $g$, измеримая относительно $\mathfrak {M}$, такая, что $f=g$ п.в. $[\mu ]$.

Докажите, что совокупность измеримых по Лебегу функций на $\mathbb {R}^{n}$ является наименьшей алгеброй, содержащей характеристические функции всех измеримых по Лебегу множеств и замкнутой относительно поточечных пределов п.в.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [0,+\infty ]$ — ограниченная измеримая функция. Существует последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ неотрицательных простых функций на $X$ такая, что:

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций. Докажите, что множество точек $x$, для которых существует $\lim f_{n}(x)$, измеримо.

Пусть $f$ — функция, определённая и дифференцируемая на $\mathbb {R}$. Докажите, что её производная $f^{\prime }$ является измеримой функцией.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная борелевски измеримая функция. Докажите, что \left\{ x \in [a, b]: f непрерывна в x\right\} борелевски измеримо.

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, пусть $G \subset \mathbb {R}$ — непустое открытое множество, и пусть $h(t)=t \sin t$. Определим

Докажите, что $f$ является вещественнозначной измеримой функцией.