Мера Лебега на R2

Пусть $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — прямоугольники и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существуют открытые прямоугольники $\left\{ R_{k}^{\prime }\right\}_{k=1}^{\infty }$ такие, что $R_{k} \subset R_{k}^{\prime }$ для всех $k \in \mathbb {N}$, и такие, что $\sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}^{\prime }\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}\right)+\varepsilon$.

Пусть $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — прямоугольники и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существуют замкнутые прямоугольники $\left\{ R_{k}^{\prime }\right\}_{k=1}^{\infty }$ такие, что $R_{k}^{\prime } \subset R_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$, и такие, что $\sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}^{\prime }\right)+\varepsilon$.

Докажите теорему 4.1.5.

Теорема 4.1.5: Жорданова мера $c$ обладает следующими свойствами: (i) Конечная аддитивность: для любой дизъюнктной совокупности $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{m} \subset \mathcal{E}$, $c\left(\cup_{k=1}^{m} E_{k}\right) = \sum_{k=1}^{m} c(E_{k})$. (ii) Субаддитивность: для любой совокупности $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{m} \subset \mathcal{E}$, $c\left(\cup_{k=1}^{m} E_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{m} c(E_{k})$. (iii) Инвариантность относительно сдвига: для любого $y \in \mathbb {R}^{2}$ и любого $E \in \mathcal{E}$, $E+y \in \mathcal{E}$ и $c(E+y)=c(E)$.

Докажите, что если $A \subset B$, то $c^{*}(A) \leq c^{*}(B)$ и $c_{*}(A) \leq c_{*}(B)$.

Докажите, что $c^{*}(E)=c^{*}(\bar{E})$ для любого множества $E$.

Докажите, что $c_{*}(E)=c_{*}$ (int $E$ ) для любого множества $E$.

Докажите, что $c^{*}(E)=\inf \left\{ c^{*}(G): G \text{ открыто и } E \subset G\right\}$.

Докажите теорему 4.1.8.

Теорема 4.1.8: Пусть $A, B \in \mathcal{J}$ (совокупность жорданово измеримых множеств). (a) $c(\varnothing )=0$. (b) Если $A \subset B$, то $c(A) \leq c(B)$ (монотонность). (c) Для любого прямоугольника $R$, $c(R)=\operatorname {vol}(R)$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ и $y \in \mathbb {R}^{2}$. Докажите, что $c^{*}(A+y)=c^{*}(A)$ и $c_{*}(A+y)= c_{*}(A)$.

Докажите, что если $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{m} \subset \mathcal{J}$, то $c\left(\cup_{k=1}^{m} E_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{m} c\left(E_{k}\right)$.

Докажите, что внешняя мера $c^{*}$ субаддитивна, а внутренняя мера $c_{*}$ супераддитивна.

Докажите, что если $E=E_{1} \cup E_{2}$ и $d\left(E_{1}, E_{2}\right)>0$, то $c^{*}(E)=c^{*}\left(E_{1}\right)+ c^{*}\left(E_{2}\right)$.

Докажите, что существуют ограниченные множества $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$ такие, что $c_{*}(B)=0$ и $c_{*}(A \cup B) \neq c_{*}(A)$.

Пусть $E$ — множество жордановой меры 0 и $A \subset E$. Докажите, что $A$ жорданово измеримо и $c(A)=0$.

Пусть $\nu : \mathcal{J} \rightarrow \mathbb {R}$ — отображение, являющееся неотрицательным, конечно аддитивным и инвариантным относительно сдвига. Покажите, что существует константа $\alpha \geq 0$ такая, что $\nu \left(E\right)=\alpha c(E)$ для всех жорданово измеримых множеств $E$.

Пусть $A$ — отрезок прямой на плоскости $xy$. Докажите, что $A$ имеет меру 0.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Покажите, что график $\left\{ (x, f(x)): x \in [a, b]\right\}$ жорданово измерим в $\mathbb {R}^{2}$ и имеет жорданову меру ноль.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Покажите, что множество $\left\{ (x, t): x \in [a, b], 0 \leq t \leq f(x)\right\}$ жорданово измеримо в $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $A, B, C$ — три точки в $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что сплошной треугольник с вершинами $A, B, C$ жорданово измерим.

Покажите, что каждый компактный многоугольник в $\mathbb {R}^{2}$ жорданово измерим.

Докажите, что $\partial (A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B$.

Докажите, что $\partial S=\bar{S} \cap \overline{S^{C}}$.

Используйте упражнение 4.1.22, чтобы доказать, что $\partial (A \backslash B) \subset \partial A \cup \partial B$.

Пусть $A$ и $B$ — множества такие, что их замыкания $\bar{A}, \bar{B}$ являются жордановыми множествами. Докажите, что $\overline{A \cap B}$ является жордановым множеством.

Приведите пример ограниченного открытого множества в $\mathbb {R}^{2}$, не являющегося жордановым множеством.

Докажите или опровергните: каждое замкнутое и ограниченное множество в $\mathbb {R}^{2}$ является жордановым множеством.

Докажите или опровергните: жорданово множество в $\mathbb {R}^{2}$ имеет меру 0 тогда и только тогда, когда оно нигде не плотно.

Пусть $f$ — ограниченная функция на жордановом множестве $D$, пусть $A \subset D$ — множество всех точек, в которых $f$ не является непрерывной, и предположим, что $A$ имеет меру 0. Докажите, что $f$ интегрируема на $D$.

Докажите, что множество $\mathcal{E}$ является кольцом.

Докажите, что каждое кольцо содержит пустое множество и что оно замкнуто относительно пересечения.

Приведите пример, показывающий, что совокупность множеств, замкнутая относительно объединения и пересечения, не обязательно является кольцом.

Пусть $\Re$ — кольцо подмножеств $X$ и пусть $\mathfrak {S}$ — кольцо подмножеств $Y$. Определите, является ли множество

кольцом.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и пусть $\Re$ — кольцо подмножеств $X$. Определите, является ли множество $\left\{ f(A): A \in \Re \right\}$ кольцом.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и пусть $\mathfrak {S}$ — кольцо подмножеств $Y$. Определите, является ли множество $\left\{ f^{-1}(B): B \in \mathfrak {S}\right\}$ кольцом.

Докажите, что мера открытого множества не зависит от его представления в виде дизъюнктного объединения прямоугольников.

Докажите предложение 4.2.3.

Предложение 4.2.3: Если $G$ — открытое множество в $\mathcal{J}$, то $m(G)=c(G)$.

Докажите предложение 4.2.4.

Предложение 4.2.4: Если $G_{1}, G_{2}$ — открытые множества в $\mathbb {R}^{2}$ такие, что $G_{1} \subset G_{2}$, то $m(G_{1}) \leq m(G_{2})$.

Докажите предложение 4.2.5.

Предложение 4.2.5: Если $\left\{ G_{i}\right\}_{i \in I}$ — конечная или счётная совокупность открытых множеств в $\mathbb {R}^{2}$ и $G=\cup_{i \in I} G_{i}$, то $m(G) \leq \sum_{i \in I} m(G_{i})$. Если, кроме того, множества $\left\{ G_{i}\right\}_{i \in I}$ дизъюнктны, то $m(G)=\sum_{i \in I} m(G_{i})$.

Докажите, что мера замкнутого множества не зависит от выбора открытого прямоугольника, его содержащего.

Пусть $F$ — замкнутое жорданово множество. Используя только определение 4.2.6, докажите, что $m\left(F\right)=c(F)$.

Определение 4.2.6: Пусть $F$ — замкнутое и ограниченное множество в $\mathbb {R}^{2}$ и $R$ — открытый прямоугольник такой, что $F \subset R$. Мера замкнутого множества $F$ определяется как $m(F) = m(R) - m(R \setminus F)$.

Докажите предложение 4.2.7.

Предложение 4.2.7: Если $\left\{ F_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная совокупность замкнутых прямоугольников без общих внутренних точек и $F=\cup_{k=1}^{n} F_{k}$, то $m(F)=\sum_{k=1}^{n} m(F_{k})$.

Докажите предложение 4.2.8.

Предложение 4.2.8: Если $F$ — замкнутое множество и $G$ — открытое ограниченное множество такие, что $F \subset G$, то $m(F) \leq m(G)$.

Докажите теорему 4.2.10.

Теорема 4.2.10: Мера замкнутого ограниченного множества $F \subset \mathbb {R}^{2}$ является инфимумом мер всех открытых множеств, содержащих $F$.

Докажите предложение 4.2.12.

Предложение 4.2.12: Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$. Тогда $c_{*}(E) \leq m_{*}(E) \leq m^{*}(E) \leq c^{*}(E)$.

Докажите, что пустое множество измеримо и что $m\left(\varnothing \right)=0$.

Пусть $E$ — элементарное множество в $\mathbb {R}^{2}$. Докажите или опровергните: $m_{*}\left(E\right)=c(E)$. Что если $E$ — жорданово измеримое множество?

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ — компакт. Докажите, что $m\left(E\right)=c^{*}(E)$.

Докажите предложение 4.2.16.

Предложение 4.2.16: Каждое счётное множество измеримо и имеет меру $0$.

Приведите пример неограниченного множества с внешней мерой Лебега 0.

Докажите предложение 4.2.17.

Предложение 4.2.17: Пусть $A, F, G, E \subset \mathbb {R}^{2}$. (a) Если $G$ открыто, то $m_{*}(G) = m^{*}(G) = m(G)$. (b) Если $F$ замкнуто, то $m_{*}(F) = m^{*}(F) = m(F)$. (c) Монотонность: Если $A \subset E$, то $m_{*}(A) \leq m_{*}(E)$ и $m^{*}(A) \leq m^{*}(E)$.

Докажите теорему 4.2.19.

Теорема 4.2.19 (Супераддитивность внутренней меры): Если множество $E \subset \mathbb {R}^{2}$ является конечным или счётным дизъюнктным объединением множеств $\left\{ E_{i}\right\}_{i \in I}$, $E = \cup_{i \in I} E_{i}$, то $m_{*}(E) \geq \sum_{i \in I} m_{*}(E_{i})$.

Интервал $I$ называется неограниченным, если он имеет вид $(-\infty , b),(-\infty , b]$, $(a,+\infty ),[a,+\infty )$ или $(-\infty , \infty )$. Прямоугольник $R=I_{1} \times I_{2}$ неограничен, если хотя бы один из интервалов $I_{1}, I_{2}$ неограничен. Докажите, что если $R$ — неограниченный прямоугольник, то $m^{*}(R)=\operatorname {vol}(R)=\infty$.

Докажите, что если $m^{*}(A)=0$, то $m^{*}(A \cup B)=m^{*}(B)$.

Докажите, что $\left|m^{*}(A)-m^{*}(B)\right| \leq m^{*}(A \triangle B)$ для любых $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$, при условии, что хотя бы одно из чисел $m^{*}(A), m^{*}(B)$ конечно.

Пусть $A \sim B$ тогда и только тогда, когда $m^{*}(A \triangle B)=0$. Докажите, что:

Никодым (1929). Докажите, что метрическое пространство из упражнения 4.2.21 полно.

Пусть $A$ — множество точек в $[0,1] \times [0,1]$, обе координаты которых иррациональны. Докажите, что $m^{*}(A)=1$.

Пусть $A$ и $B$ — ограниченные подмножества $\mathbb {R}^{2}$, для которых существует $\alpha >0$, такое что $\left\| a-b\right\| \geq \alpha$ для всех $a \in A, b \in B$. Докажите, что $m^{*}(A \cup B)=m^{*}(A)+m^{*}(B)$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ — счётное объединение прямоугольников $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ с непересекающимися внутренностями. Докажите, что $m\left(E\right)=\sum_{k=1}^{\infty } m\left(R_{k}\right)$.

Докажите следствие 4.2.20.

Следствие 4.2.20: Если множество $E \subset \mathbb {R}^{2}$ представляет собой конечное или счётное дизъюнктное объединение измеримых множеств $\left\{ E_{i}\right\}_{i \in I}$, $E = \cup_{i \in I} E_{i}$, то $E$ измеримо и $m(E) = \sum_{i \in I} m(E_{i})$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ и пусть $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — непересекающиеся открытые прямоугольники. Докажите, что:

Приведите примеры, показывающие, что каждое из неравенств $c_{*}(A) \leq m_{*}\left(A\right)$ и $m^{*}(A) \leq c^{*}(A)$ может быть строгим.

Докажите следствие 4.2.23.

Следствие 4.2.23: Множество $E$ измеримо тогда и только тогда, когда измеримо его дополнение.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ и пусть $A \in \mathcal{E}$. Докажите, что $c(A)=m_{*}\left(A \cap E\right)+m^{*}\left(A \cap E^{C}\right)$.

Пусть $E \subset [0,1] \times [0,1]$ обладает тем свойством, что если $F$ — замкнутое измеримое множество положительной меры, то $E \cap F \neq \varnothing$. Докажите, что $m^{*}(E)=1$.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность всех замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, и пусть $\mathcal{F}^{\prime } \subset \mathcal{F}$ состоит из множеств положительной меры. Докажите, что $\mathcal{F}^{\prime }$ имеет ту же мощность, что и $\mathbb {R}$.

Пусть $E$ — множество в $\mathbb {R}^{2}$, для которого $m^{*}(E)>0$, и пусть $0<\alpha <m^{*}(E)$. Докажите, что существует компактное множество $K \subset E$, такое что $m\left(K\right)=\alpha$.

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}^{2}$. Докажите или опровергните: $\operatorname {Int}(E)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $m^{*}(E)=0$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ пересекает каждое компактное множество в $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что $m^{*}(A)=\infty$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ — ограниченное множество, обладающее тем свойством, что

Докажите или опровергните: $A$ измеримо.

Найдите меру Лебега подмножества $[0,1] \times [0,1]$, состоящего из точек $(x, y)$, таких что $\left|\sin x\right|<1 / 2$ и $\cos (x+y) \in \mathbb {Q}$.

Пусть $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$, пусть $A \in \mathcal{M}$, и предположим, что $m^{*}(A \triangle B)=0$. Докажите, что $B \in \mathcal{M}$ и $m\left(B\right)=m\left(A\right)$.

Докажите, что множество $B \subset \mathbb {R}^{2}$ неизмеримо тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon >0$, такое что для каждого измеримого множества $A \subset B, m^{*}(B \backslash A) \geq \varepsilon$.

Докажите следствие 4.3.9.

Следствие 4.3.9: Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$. Существует множество типа $G_{\delta }$, $G \subset \mathbb {R}^{2}$, такое что $E \subset G$ и $m(G) = m^{*}(E)$.

Пусть $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$ — множества конечной внешней меры, такие что $A \cup B$ измеримо и $m\left(A \cup B\right)=m^{*}(A)+m^{*}(B)$. Докажите, что $A, B$ оба измеримы.

Докажите, что внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}^{2}$ инвариантна относительно сдвигов.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ имеет конечную внешнюю меру. Докажите, что $A^{C}-A^{C}=\mathbb {R}^{2}$.

Цель этого упражнения — установить следующий результат: если $A \subset \mathbb {R}^{2}$ — измеримое по Лебегу множество положительной меры, то множество $A-A:=\left\{ x-y: x \in A, y \in A\right\}$ содержит окрестность начала координат.

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$ и пусть $f: X \rightarrow Y$. Докажите или опровергните: $f(\mathfrak {M})$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$ и пусть $f: X \rightarrow Y$. Докажите или опровергните: $\mathfrak {N}:=\left\{ E: f^{-1}(E) \in \mathfrak {M}\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и пусть $\mathfrak {N}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $Y$. Докажите или опровергните: $\mathfrak {M}:=\left\{ f^{-1}(E): E \in \mathfrak {N}\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $X=\cup_{n=1}^{\infty } X_{n}$ и пусть $\mathfrak {M}_{n}$ — $\sigma$-алгебра на $X_{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что множество

является $\sigma$-алгеброй на $X$.

Пусть $X$ — несчётное множество и пусть

Докажите, что $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебры на $X$. Докажите или опровергните: $\mathcal{A}_{1} \cap \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебры на $X$. Докажите или опровергните: $\mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\left\{ \mathcal{A}_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — возрастающая последовательность $\sigma$-алгебр. Докажите или опровергните: $\cup_{n=1}^{\infty } \mathcal{A}_{n}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{2}$ — счётное множество и пусть

Докажите, что $\mathcal{A}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\left\{ x\right\}$ для каждого $x \in X$.

Пусть $\mathcal{S}$ — совокупность различных подмножеств $\mathbb {R}$, симметричных относительно начала координат. (Множество $A$ симметрично, если $x \in A$ тогда и только тогда, когда $-x \in A$.) Докажите, что $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра.

Если $\mathcal{S}$ — совокупность подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, обозначим через $\sigma (\mathcal{S})$ наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую $\mathcal{S}$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — подмножество $\mathbb {P}(X)$. Докажите, что существует единственная наименьшая $\sigma$-алгебра подмножеств $X$, содержащая $\mathcal{A}$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $T: X \rightarrow X$ — биекция, такая что $T(A) \in \mathcal{A}$ для всех $A \in \mathcal{A}$. Докажите, что $\left\{ A \in \mathcal{A}: T(A)=A\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $X, Y$ — непустые множества и пусть $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X)$. Докажите, что $\sigma (\mathcal{A}) \times Y$ — $\sigma$-алгебра на $X \times Y$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $S \subset X$ — множество, не принадлежащее $\mathcal{A}$. Докажите, что

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — непустое подмножество $\mathbb {P}(X)$. Докажите, что

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — счётная совокупность непересекающихся подмножеств $X$, объединение которых покрывает $X$. Опишите $\sigma (\mathcal{A})$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{2}$, пусть $\mathcal{S}$ — совокупность подмножеств $X$, и пусть $A \in \sigma (\mathcal{S})$. Докажите, что существует счётное подмножество $\mathcal{C}$ множества $\mathcal{S}$, такое что $A \in \sigma (\mathcal{C})$.

В упражнениях 4.3.26--4.3.28 $Y$ — непустое подмножество $X$, и для каждого $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X), \mathcal{A}_{Y}=\left\{ A \cap Y: A \in \mathcal{A}\right\}$.

Докажите, что если $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, то $\mathcal{A}_{Y}$ — $\sigma$-алгебра на $Y$.

В упражнениях 4.3.26--4.3.28 $Y$ — непустое подмножество $X$, и для каждого $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X), \mathcal{A}_{Y}=\left\{ A \cap Y: A \in \mathcal{A}\right\}$.

Докажите, что $\left\{ E \subset X: E \cap Y \in \sigma \left(\mathcal{A}_{Y}\right)\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

В упражнениях 4.3.26--4.3.28 $Y$ — непустое подмножество $X$, и для каждого $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X), \mathcal{A}_{Y}=\left\{ A \cap Y: A \in \mathcal{A}\right\}$.

Докажите, что $\sigma \left(\mathcal{A}_{Y}\right)=\sigma (\mathcal{A})_{Y}$.

Докажите, что конечно порождённая $\sigma$-алгебра является конечным множеством.

Докажите или опровергните: если $\mathcal{A}=\sigma \left(\left\{ A_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}\right)$, то $\mathcal{A}$ несчётно.