Мера Лебега

Докажите, что мера открытого множества не зависит от его представления в виде дизъюнктного объединения прямоугольников.

Докажите предложение 4.2.3.

Предложение 4.2.3: Если $G$ — открытое множество в $\mathcal{J}$, то $m(G)=c(G)$.

Докажите предложение 4.2.4.

Предложение 4.2.4: Если $G_{1}, G_{2}$ — открытые множества в $\mathbb {R}^{2}$ такие, что $G_{1} \subset G_{2}$, то $m(G_{1}) \leq m(G_{2})$.

Докажите предложение 4.2.5.

Предложение 4.2.5: Если $\left\{ G_{i}\right\}_{i \in I}$ — конечная или счётная совокупность открытых множеств в $\mathbb {R}^{2}$ и $G=\cup_{i \in I} G_{i}$, то $m(G) \leq \sum_{i \in I} m(G_{i})$. Если, кроме того, множества $\left\{ G_{i}\right\}_{i \in I}$ дизъюнктны, то $m(G)=\sum_{i \in I} m(G_{i})$.

Докажите, что мера замкнутого множества не зависит от выбора открытого прямоугольника, его содержащего.

Пусть $F$ — замкнутое жорданово множество. Используя только определение 4.2.6, докажите, что $m\left(F\right)=c(F)$.

Определение 4.2.6: Пусть $F$ — замкнутое и ограниченное множество в $\mathbb {R}^{2}$ и $R$ — открытый прямоугольник такой, что $F \subset R$. Мера замкнутого множества $F$ определяется как $m(F) = m(R) - m(R \setminus F)$.

Докажите предложение 4.2.7.

Предложение 4.2.7: Если $\left\{ F_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная совокупность замкнутых прямоугольников без общих внутренних точек и $F=\cup_{k=1}^{n} F_{k}$, то $m(F)=\sum_{k=1}^{n} m(F_{k})$.

Докажите предложение 4.2.8.

Предложение 4.2.8: Если $F$ — замкнутое множество и $G$ — открытое ограниченное множество такие, что $F \subset G$, то $m(F) \leq m(G)$.

Докажите теорему 4.2.10.

Теорема 4.2.10: Мера замкнутого ограниченного множества $F \subset \mathbb {R}^{2}$ является инфимумом мер всех открытых множеств, содержащих $F$.

Докажите предложение 4.2.12.

Предложение 4.2.12: Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$. Тогда $c_{*}(E) \leq m_{*}(E) \leq m^{*}(E) \leq c^{*}(E)$.

Докажите, что пустое множество измеримо и что $m\left(\varnothing \right)=0$.

Пусть $E$ — элементарное множество в $\mathbb {R}^{2}$. Докажите или опровергните: $m_{*}\left(E\right)=c(E)$. Что если $E$ — жорданово измеримое множество?

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ — компакт. Докажите, что $m\left(E\right)=c^{*}(E)$.

Докажите предложение 4.2.16.

Предложение 4.2.16: Каждое счётное множество измеримо и имеет меру $0$.

Приведите пример неограниченного множества с внешней мерой Лебега 0.

Докажите предложение 4.2.17.

Предложение 4.2.17: Пусть $A, F, G, E \subset \mathbb {R}^{2}$. (a) Если $G$ открыто, то $m_{*}(G) = m^{*}(G) = m(G)$. (b) Если $F$ замкнуто, то $m_{*}(F) = m^{*}(F) = m(F)$. (c) Монотонность: Если $A \subset E$, то $m_{*}(A) \leq m_{*}(E)$ и $m^{*}(A) \leq m^{*}(E)$.

Докажите теорему 4.2.19.

Теорема 4.2.19 (Супераддитивность внутренней меры): Если множество $E \subset \mathbb {R}^{2}$ является конечным или счётным дизъюнктным объединением множеств $\left\{ E_{i}\right\}_{i \in I}$, $E = \cup_{i \in I} E_{i}$, то $m_{*}(E) \geq \sum_{i \in I} m_{*}(E_{i})$.

Интервал $I$ называется неограниченным, если он имеет вид $(-\infty , b),(-\infty , b]$, $(a,+\infty ),[a,+\infty )$ или $(-\infty , \infty )$. Прямоугольник $R=I_{1} \times I_{2}$ неограничен, если хотя бы один из интервалов $I_{1}, I_{2}$ неограничен. Докажите, что если $R$ — неограниченный прямоугольник, то $m^{*}(R)=\operatorname {vol}(R)=\infty$.

Докажите, что если $m^{*}(A)=0$, то $m^{*}(A \cup B)=m^{*}(B)$.

Докажите, что $\left|m^{*}(A)-m^{*}(B)\right| \leq m^{*}(A \triangle B)$ для любых $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$, при условии, что хотя бы одно из чисел $m^{*}(A), m^{*}(B)$ конечно.

Пусть $A \sim B$ тогда и только тогда, когда $m^{*}(A \triangle B)=0$. Докажите, что:

Никодым (1929). Докажите, что метрическое пространство из упражнения 4.2.21 полно.

Пусть $A$ — множество точек в $[0,1] \times [0,1]$, обе координаты которых иррациональны. Докажите, что $m^{*}(A)=1$.

Пусть $A$ и $B$ — ограниченные подмножества $\mathbb {R}^{2}$, для которых существует $\alpha >0$, такое что $\left\| a-b\right\| \geq \alpha$ для всех $a \in A, b \in B$. Докажите, что $m^{*}(A \cup B)=m^{*}(A)+m^{*}(B)$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ — счётное объединение прямоугольников $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ с непересекающимися внутренностями. Докажите, что $m\left(E\right)=\sum_{k=1}^{\infty } m\left(R_{k}\right)$.

Докажите следствие 4.2.20.

Следствие 4.2.20: Если множество $E \subset \mathbb {R}^{2}$ представляет собой конечное или счётное дизъюнктное объединение измеримых множеств $\left\{ E_{i}\right\}_{i \in I}$, $E = \cup_{i \in I} E_{i}$, то $E$ измеримо и $m(E) = \sum_{i \in I} m(E_{i})$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ и пусть $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — непересекающиеся открытые прямоугольники. Докажите, что:

Приведите примеры, показывающие, что каждое из неравенств $c_{*}(A) \leq m_{*}\left(A\right)$ и $m^{*}(A) \leq c^{*}(A)$ может быть строгим.

Докажите следствие 4.2.23.

Следствие 4.2.23: Множество $E$ измеримо тогда и только тогда, когда измеримо его дополнение.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ и пусть $A \in \mathcal{E}$. Докажите, что $c(A)=m_{*}\left(A \cap E\right)+m^{*}\left(A \cap E^{C}\right)$.

Пусть $E \subset [0,1] \times [0,1]$ обладает тем свойством, что если $F$ — замкнутое измеримое множество положительной меры, то $E \cap F \neq \varnothing$. Докажите, что $m^{*}(E)=1$.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность всех замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, и пусть $\mathcal{F}^{\prime } \subset \mathcal{F}$ состоит из множеств положительной меры. Докажите, что $\mathcal{F}^{\prime }$ имеет ту же мощность, что и $\mathbb {R}$.

Пусть $E$ — множество в $\mathbb {R}^{2}$, для которого $m^{*}(E)>0$, и пусть $0<\alpha <m^{*}(E)$. Докажите, что существует компактное множество $K \subset E$, такое что $m\left(K\right)=\alpha$.

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}^{2}$. Докажите или опровергните: $\operatorname {Int}(E)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $m^{*}(E)=0$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ пересекает каждое компактное множество в $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что $m^{*}(A)=\infty$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ — ограниченное множество, обладающее тем свойством, что

Докажите или опровергните: $A$ измеримо.

Найдите меру Лебега подмножества $[0,1] \times [0,1]$, состоящего из точек $(x, y)$, таких что $\left|\sin x\right|<1 / 2$ и $\cos (x+y) \in \mathbb {Q}$.