$\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу множеств

Пусть $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$, пусть $A \in \mathcal{M}$, и предположим, что $m^{*}(A \triangle B)=0$. Докажите, что $B \in \mathcal{M}$ и $m\left(B\right)=m\left(A\right)$.

Докажите, что множество $B \subset \mathbb {R}^{2}$ неизмеримо тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon >0$, такое что для каждого измеримого множества $A \subset B, m^{*}(B \backslash A) \geq \varepsilon$.

Докажите следствие 4.3.9.

Следствие 4.3.9: Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$. Существует множество типа $G_{\delta }$, $G \subset \mathbb {R}^{2}$, такое что $E \subset G$ и $m(G) = m^{*}(E)$.

Пусть $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$ — множества конечной внешней меры, такие что $A \cup B$ измеримо и $m\left(A \cup B\right)=m^{*}(A)+m^{*}(B)$. Докажите, что $A, B$ оба измеримы.

Докажите, что внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}^{2}$ инвариантна относительно сдвигов.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ имеет конечную внешнюю меру. Докажите, что $A^{C}-A^{C}=\mathbb {R}^{2}$.

Цель этого упражнения — установить следующий результат: если $A \subset \mathbb {R}^{2}$ — измеримое по Лебегу множество положительной меры, то множество $A-A:=\left\{ x-y: x \in A, y \in A\right\}$ содержит окрестность начала координат.

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$ и пусть $f: X \rightarrow Y$. Докажите или опровергните: $f(\mathfrak {M})$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$ и пусть $f: X \rightarrow Y$. Докажите или опровергните: $\mathfrak {N}:=\left\{ E: f^{-1}(E) \in \mathfrak {M}\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и пусть $\mathfrak {N}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $Y$. Докажите или опровергните: $\mathfrak {M}:=\left\{ f^{-1}(E): E \in \mathfrak {N}\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $X=\cup_{n=1}^{\infty } X_{n}$ и пусть $\mathfrak {M}_{n}$ — $\sigma$-алгебра на $X_{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что множество

является $\sigma$-алгеброй на $X$.

Пусть $X$ — несчётное множество и пусть

Докажите, что $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебры на $X$. Докажите или опровергните: $\mathcal{A}_{1} \cap \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебры на $X$. Докажите или опровергните: $\mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\left\{ \mathcal{A}_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — возрастающая последовательность $\sigma$-алгебр. Докажите или опровергните: $\cup_{n=1}^{\infty } \mathcal{A}_{n}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{2}$ — счётное множество и пусть

Докажите, что $\mathcal{A}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\left\{ x\right\}$ для каждого $x \in X$.

Пусть $\mathcal{S}$ — совокупность различных подмножеств $\mathbb {R}$, симметричных относительно начала координат. (Множество $A$ симметрично, если $x \in A$ тогда и только тогда, когда $-x \in A$.) Докажите, что $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра.

Если $\mathcal{S}$ — совокупность подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, обозначим через $\sigma (\mathcal{S})$ наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую $\mathcal{S}$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — подмножество $\mathbb {P}(X)$. Докажите, что существует единственная наименьшая $\sigma$-алгебра подмножеств $X$, содержащая $\mathcal{A}$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $T: X \rightarrow X$ — биекция, такая что $T(A) \in \mathcal{A}$ для всех $A \in \mathcal{A}$. Докажите, что $\left\{ A \in \mathcal{A}: T(A)=A\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $X, Y$ — непустые множества и пусть $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X)$. Докажите, что $\sigma (\mathcal{A}) \times Y$ — $\sigma$-алгебра на $X \times Y$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $S \subset X$ — множество, не принадлежащее $\mathcal{A}$. Докажите, что

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — непустое подмножество $\mathbb {P}(X)$. Докажите, что

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{A}$ — счётная совокупность непересекающихся подмножеств $X$, объединение которых покрывает $X$. Опишите $\sigma (\mathcal{A})$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{2}$, пусть $\mathcal{S}$ — совокупность подмножеств $X$, и пусть $A \in \sigma (\mathcal{S})$. Докажите, что существует счётное подмножество $\mathcal{C}$ множества $\mathcal{S}$, такое что $A \in \sigma (\mathcal{C})$.

В упражнениях 4.3.26--4.3.28 $Y$ — непустое подмножество $X$, и для каждого $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X), \mathcal{A}_{Y}=\left\{ A \cap Y: A \in \mathcal{A}\right\}$.

Докажите, что если $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, то $\mathcal{A}_{Y}$ — $\sigma$-алгебра на $Y$.

В упражнениях 4.3.26--4.3.28 $Y$ — непустое подмножество $X$, и для каждого $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X), \mathcal{A}_{Y}=\left\{ A \cap Y: A \in \mathcal{A}\right\}$.

Докажите, что $\left\{ E \subset X: E \cap Y \in \sigma \left(\mathcal{A}_{Y}\right)\right\}$ — $\sigma$-алгебра.

В упражнениях 4.3.26--4.3.28 $Y$ — непустое подмножество $X$, и для каждого $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X), \mathcal{A}_{Y}=\left\{ A \cap Y: A \in \mathcal{A}\right\}$.

Докажите, что $\sigma \left(\mathcal{A}_{Y}\right)=\sigma (\mathcal{A})_{Y}$.

Докажите, что конечно порождённая $\sigma$-алгебра является конечным множеством.

Докажите или опровергните: если $\mathcal{A}=\sigma \left(\left\{ A_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}\right)$, то $\mathcal{A}$ несчётно.