Мера Жордана

Пусть $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — прямоугольники и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существуют открытые прямоугольники $\left\{ R_{k}^{\prime }\right\}_{k=1}^{\infty }$ такие, что $R_{k} \subset R_{k}^{\prime }$ для всех $k \in \mathbb {N}$, и такие, что $\sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}^{\prime }\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}\right)+\varepsilon$.

Пусть $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — прямоугольники и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существуют замкнутые прямоугольники $\left\{ R_{k}^{\prime }\right\}_{k=1}^{\infty }$ такие, что $R_{k}^{\prime } \subset R_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$, и такие, что $\sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty } \operatorname {vol}\left(R_{k}^{\prime }\right)+\varepsilon$.

Докажите теорему 4.1.5.

Теорема 4.1.5: Жорданова мера $c$ обладает следующими свойствами: (i) Конечная аддитивность: для любой дизъюнктной совокупности $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{m} \subset \mathcal{E}$, $c\left(\cup_{k=1}^{m} E_{k}\right) = \sum_{k=1}^{m} c(E_{k})$. (ii) Субаддитивность: для любой совокупности $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{m} \subset \mathcal{E}$, $c\left(\cup_{k=1}^{m} E_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{m} c(E_{k})$. (iii) Инвариантность относительно сдвига: для любого $y \in \mathbb {R}^{2}$ и любого $E \in \mathcal{E}$, $E+y \in \mathcal{E}$ и $c(E+y)=c(E)$.

Докажите, что если $A \subset B$, то $c^{*}(A) \leq c^{*}(B)$ и $c_{*}(A) \leq c_{*}(B)$.

Докажите, что $c^{*}(E)=c^{*}(\bar{E})$ для любого множества $E$.

Докажите, что $c_{*}(E)=c_{*}$ (int $E$ ) для любого множества $E$.

Докажите, что $c^{*}(E)=\inf \left\{ c^{*}(G): G \text{ открыто и } E \subset G\right\}$.

Докажите теорему 4.1.8.

Теорема 4.1.8: Пусть $A, B \in \mathcal{J}$ (совокупность жорданово измеримых множеств). (a) $c(\varnothing )=0$. (b) Если $A \subset B$, то $c(A) \leq c(B)$ (монотонность). (c) Для любого прямоугольника $R$, $c(R)=\operatorname {vol}(R)$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ и $y \in \mathbb {R}^{2}$. Докажите, что $c^{*}(A+y)=c^{*}(A)$ и $c_{*}(A+y)= c_{*}(A)$.

Докажите, что если $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{m} \subset \mathcal{J}$, то $c\left(\cup_{k=1}^{m} E_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{m} c\left(E_{k}\right)$.

Докажите, что внешняя мера $c^{*}$ субаддитивна, а внутренняя мера $c_{*}$ супераддитивна.

Докажите, что если $E=E_{1} \cup E_{2}$ и $d\left(E_{1}, E_{2}\right)>0$, то $c^{*}(E)=c^{*}\left(E_{1}\right)+ c^{*}\left(E_{2}\right)$.

Докажите, что существуют ограниченные множества $A, B \subset \mathbb {R}^{2}$ такие, что $c_{*}(B)=0$ и $c_{*}(A \cup B) \neq c_{*}(A)$.

Пусть $E$ — множество жордановой меры 0 и $A \subset E$. Докажите, что $A$ жорданово измеримо и $c(A)=0$.

Пусть $\nu : \mathcal{J} \rightarrow \mathbb {R}$ — отображение, являющееся неотрицательным, конечно аддитивным и инвариантным относительно сдвига. Покажите, что существует константа $\alpha \geq 0$ такая, что $\nu \left(E\right)=\alpha c(E)$ для всех жорданово измеримых множеств $E$.

Пусть $A$ — отрезок прямой на плоскости $xy$. Докажите, что $A$ имеет меру 0.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Покажите, что график $\left\{ (x, f(x)): x \in [a, b]\right\}$ жорданово измерим в $\mathbb {R}^{2}$ и имеет жорданову меру ноль.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Покажите, что множество $\left\{ (x, t): x \in [a, b], 0 \leq t \leq f(x)\right\}$ жорданово измеримо в $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $A, B, C$ — три точки в $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что сплошной треугольник с вершинами $A, B, C$ жорданово измерим.

Покажите, что каждый компактный многоугольник в $\mathbb {R}^{2}$ жорданово измерим.

Докажите, что $\partial (A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B$.

Докажите, что $\partial S=\bar{S} \cap \overline{S^{C}}$.

Используйте упражнение 4.1.22, чтобы доказать, что $\partial (A \backslash B) \subset \partial A \cup \partial B$.

Пусть $A$ и $B$ — множества такие, что их замыкания $\bar{A}, \bar{B}$ являются жордановыми множествами. Докажите, что $\overline{A \cap B}$ является жордановым множеством.

Приведите пример ограниченного открытого множества в $\mathbb {R}^{2}$, не являющегося жордановым множеством.

Докажите или опровергните: каждое замкнутое и ограниченное множество в $\mathbb {R}^{2}$ является жордановым множеством.

Докажите или опровергните: жорданово множество в $\mathbb {R}^{2}$ имеет меру 0 тогда и только тогда, когда оно нигде не плотно.

Пусть $f$ — ограниченная функция на жордановом множестве $D$, пусть $A \subset D$ — множество всех точек, в которых $f$ не является непрерывной, и предположим, что $A$ имеет меру 0. Докажите, что $f$ интегрируема на $D$.

Докажите, что множество $\mathcal{E}$ является кольцом.

Докажите, что каждое кольцо содержит пустое множество и что оно замкнуто относительно пересечения.

Приведите пример, показывающий, что совокупность множеств, замкнутая относительно объединения и пересечения, не обязательно является кольцом.

Пусть $\Re$ — кольцо подмножеств $X$ и пусть $\mathfrak {S}$ — кольцо подмножеств $Y$. Определите, является ли множество

кольцом.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и пусть $\Re$ — кольцо подмножеств $X$. Определите, является ли множество $\left\{ f(A): A \in \Re \right\}$ кольцом.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и пусть $\mathfrak {S}$ — кольцо подмножеств $Y$. Определите, является ли множество $\left\{ f^{-1}(B): B \in \mathfrak {S}\right\}$ кольцом.