Теория множеств

Докажите тождества:

Докажите, что следующие тождества выполняются для универсального множества $X$ и $A, B, C \subset X$.

Докажите, что следующие тождества выполняются для универсального множества $X$ и $A, B, C \subset X$.

Докажите, что $A \backslash B \subset (A \backslash C) \cup (C \backslash B)$.

Докажите, что $A \triangle B \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)$.

Докажите, что $A \backslash (B \cap C) \subset (A \backslash B) \cup ((A \cap B) \backslash C)$.

Докажите, что $A \backslash B=\left(A^{C} \cup B\right)^{C}$.

Докажите, что $A \cap \left(E_{1} \cup E_{2}\right)=\left(A \cap E_{1}\right) \cup \left(A \cap E_{2} \cap E_{1}^{C}\right)$.

Докажите, что $(A \cup B) \triangle (C \cup D) \subset (A \triangle C) \cup (B \triangle D)$.

Докажите, что $(A \triangle B)=A^{C} \triangle B^{C}$.

Докажите, что $(A \cap B) \triangle (C \cap D) \subset (A \triangle C) \cup (B \triangle D)$.

Пусть $E \subset U \cup V$. Докажите, что $E \backslash (A \cup B) \subset (U \backslash A) \cup (V \backslash B)$.

Пусть $A \cap B \subset C$. Докажите, что $A \backslash C \subset A \backslash B$.

Докажите, что $(A \triangle B) \triangle B=A$.

Докажите, что $(A \cap C) \backslash (B \cap C)=(A \backslash B) \cap C=(A \cap C) \backslash B$.

Докажите, что $(A \cap C) \triangle (B \cap C)=(A \triangle B) \cap C$.

Пусть $A \subset C$. Докажите, что $A^{C} \cap B^{C}=(B \cup C)^{C} \cup (C \backslash (A \cup B))$.

Докажите, что $\left[(A \cap S) \cup \left(B \cap S^{C}\right)\right]^{C}=\left(A^{C} \cap S\right) \cup \left(B^{C} \cap S^{C}\right)$.

Докажите, что $(A \backslash B) \triangle (C \backslash D) \subset (A \triangle C) \cup (B \triangle D)$.

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ и $\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — произвольные семейства множеств и $A= \cup_{n=1}^{\infty } A_{n}, B=\cup_{n=1}^{\infty } B_{n}$. Докажите, что

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — произвольное семейство множеств. Докажите, что

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ и $\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — убывающие семейства множеств (то есть $A_{n} \supset A_{n+1}$ и $B_{n} \supset B_{n+1}$ для всех $n \in \mathbb {N}$ ).

Пусть $A_{0}$ — множество и $A_{n} \subset A_{0}$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $X$ — множество, а $\left\{ E_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — подмножества $X$. Пусть $A_{1}=E_{1}$ и, для $k \geq 2, A_{k}=E_{k} \backslash \left(E_{1} \cup E_{2} \cup \cdots \cup E_{k-1}\right)$. Докажите, что $\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — последовательность попарно непересекающихся множеств и что $\cup_{k=1}^{\infty } A_{k}=\cup_{k=1}^{\infty } E_{k}$.

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ — подмножества $X$. Докажите, что

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ и $\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — произвольные семейства множеств. Докажите, что:

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — произвольное семейство множеств. Докажите, что:

Докажите, что $\limsup_{n \rightarrow \infty } E_{n}=\left\{ x: x \in E_{i} \text{ для бесконечно многих } i\right\}$.

Докажите, что $\liminf_{n \rightarrow \infty } E_{n}=\left\{ x: x \in E_{i} \text{ для всех, кроме конечного числа, } i\right\}$.

Вычислите $\limsup E_{n}$ и $\liminf E_{n}$, если $E_{n}=(-1 / n, 1-1 / n]$.

Вычислите $\limsup E_{n}$ и $\liminf E_{n}$, если $E_{n}=\left((-1)^{n} / n, 1-(-1)^{n} / n\right]$.

Вычислите $\limsup E_{n}$ и $\liminf E_{n}$, если $E_{n}=\left\{ 0,1 / n, 2 / n, \ldots ,(n- 1) / n, 1\right\}$.

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ — подмножества $X$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ — подпоследовательность $\left\{ E_{n}\right\}$, полученная отбрасыванием первых $N$ членов, т.е. $A_{1}=E_{N+1}, A_{2}=E_{N+2}$ и т.д. Докажите, что

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и $A, B \subset X$. Докажите, что:

Пусть $f: X \rightarrow Y$, пусть $A \subset X$, и $B \subset Y$. Докажите, что:

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и $A, B \subset X$. Докажите, что:

Пусть $f: X \rightarrow Y$ и $A, B \subset Y$. Докажите, что

Пусть $f: X \rightarrow Y, A \subset X$, и $B \subset Y$. Докажите, что $f\left(A \cap f^{-1}(B)\right)= f(A) \cap B$.

Пусть $f: X \rightarrow Y$, пусть $X_{0} \subset X$, пусть $f_{0}$ — сужение $f$ на $X_{0}$, и пусть $E \subset Y$. Докажите, что:

Пусть $f: X \rightarrow Y$, пусть $\left\{ A_{i}\right\}_{i \in I}$ — семейство подмножеств $X$, и пусть $\left\{ B_{i}\right\}_{i \in I}$ — семейство подмножеств $Y$. Докажите, что:

Пусть $\left\{ A_{i}\right\}_{i \in I}$ и $\left\{ B_{i}\right\}_{i \in I}$ — подмножества $X$. Докажите, что

Пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ и пусть $A, B \subset X$. Докажите, что:

Докажите, что каждое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Докажите, что $\operatorname {card}[0,1]=\operatorname {card}[0,1)=\operatorname {card}(0,1)=\operatorname {card}[a, b]$, если $a<b$.

Пусть $A$ — бесконечное множество, а $F$ — конечное подмножество $A$. Докажите, что $\operatorname {card} A \backslash F=\operatorname {card} A$.

Докажите, что счётное объединение конечных множеств счётно.

Докажите, что счётное объединение попарно непересекающихся счётных множеств счётно.

Докажите, что плоскость $\mathbb {R}^{2}$ не является объединением счётного числа прямых.

Докажите, что $\operatorname {card} \mathbb {R}=\operatorname {card} \mathbb {R}^{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $A$ — множество всех действительных чисел из $(0,1)$, в десятичном разложении которых бесконечно много троек. Докажите, что $\operatorname {card} A=\operatorname {card}(0,1)$.

Докажите, что для любого множества $A$, $\operatorname {card} A<\operatorname {card} \mathbb {P}(A)$, где $\mathbb {P}(A)$ — совокупность всех подмножеств $A$, включая пустое множество и само $A$.

Докажите, что совокупность ординалов вполне упорядочена.

Пусть $S$ — подмножество вполне упорядоченного множества $A$, и предположим, что:

1. $S$ содержит $a_{0}:=\min A$.

2. Если $a \in A$ и $s(a) \subset S$, то $a \in S$.

Докажите, что $S=A$.

Пусть $A$ — вполне упорядоченное множество и $S=\left\{ s(a): a \in A\right\}$, упорядоченное включением. Докажите, что $f: A \rightarrow S$, определённое как $f(x)=s(x)$, является изоморфизмом порядка.

Пусть $A, B$ — вполне упорядоченные множества, изоморфные по порядку. Докажите, что существует лишь один изоморфизм порядка $f: A \rightarrow B$.

Докажите, что вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно по порядку одному из своих начальных отрезков.

Докажите, что два различных начальных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны по порядку.

Пусть $\lambda , \mu$ — ординальные числа, $\lambda =\operatorname {ord} A$, и пусть $\mu <\lambda$. Докажите, что существует единственный $a \in A$, такой что $\mu =\operatorname {ord} s(a)$.

Пусть $s(\lambda )$ — множество ординальных чисел, меньших ординала $\lambda$. Докажите, что $\lambda =\operatorname {ord} s(\lambda )$.

Докажите, что произвольное декартово произведение непустых множеств непусто.

Докажите, что объединение счётного семейства счётных множеств счётно.

Докажите, что каждая сюръекция имеет правый обратный элемент.

Пусть $R$ — подмножество $A \times B$, такое что для каждого $a \in A$ найдётся $b \in B$, для которого $(a, b) \in R$. Докажите, что существует $F \subset R$, определяющее функцию из $A$ в $B$, т.е. для каждого $a \in A$ найдётся ровно один $b \in B$, для которого $(a, b) \in F$.