1.2

Функции

[9/33%]
Показать
LaTeX
Задача 1.2.1

Пусть f:X→Yf: X \rightarrow Y и A,B⊂XA, B \subset X. Докажите, что:

?
(a)

f(A)\f(B)⊂f(A\B)f(A) \backslash f(B) \subset f(A \backslash B).

(b)

включение в (a) может быть строгим.

Задача 1.2.2

Пусть f:X→Yf: X \rightarrow Y, пусть A⊂XA \subset X, и B⊂YB \subset Y. Докажите, что:

?
(a)

Если ff сюръективно, то f(f−1(B))=Bf\left(f^{-1}(B)\right)=B.

(b)

Если ff инъективно, то f−1(f(A))=Af^{-1}(f(A))=A.

Задача 1.2.3

Пусть f:X→Yf: X \rightarrow Y и A,B⊂XA, B \subset X. Докажите, что:

?
(a)

ff инъективно тогда и только тогда, когда f(A∩B)=f(A)∩f(B)f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) для всех A,BA, B.

(b)

ff сюръективно тогда и только тогда, когда f(A)C⊂f(AC)f(A)^{C} \subset f\left(A^{C}\right) для всех AA.

(c)

f(A)C=f(AC)f(A)^{C}=f\left(A^{C}\right) для всех AA тогда и только тогда, когда ff биективно.

Задача 1.2.4

Пусть f:X→Yf: X \rightarrow Y и A,B⊂YA, B \subset Y. Докажите, что

?
(a)

A⊂BA \subset B влечёт f−1(A)⊂f−1(B)f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B).

(b)

f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B)f^{-1}(A \cup B)=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B).

(c)

f−1(BC)=(f−1(B))Cf^{-1}\left(B^{C}\right)=\left(f^{-1}(B)\right)^{C}.

Задача 1.2.5

Пусть f:X→Y,A⊂Xf: X \rightarrow Y, A \subset X, и B⊂YB \subset Y. Докажите, что f(A∩f−1(B))=f(A)∩Bf\left(A \cap f^{-1}(B)\right)= f(A) \cap B.

?
Задача 1.2.6

Пусть f:X→Yf: X \rightarrow Y, пусть X0⊂XX_{0} \subset X, пусть f0f_{0} — сужение ff на X0X_{0}, и пусть E⊂YE \subset Y. Докажите, что:

?
(a)

f0−1(E)=f−1(E)∩X0f_{0}^{-1}(E)=f^{-1}(E) \cap X_{0}.

(b)

f−1(E)=f0−1(E)∪(f−1(E)∩(X\X0))f^{-1}(E)=f_{0}^{-1}(E) \cup \left(f^{-1}(E) \cap \left(X \backslash X_{0}\right)\right).

Задача 1.2.7

Пусть f:X→Yf: X \rightarrow Y, пусть {Ai}i∈I\left\{ A_{i}\right\}_{i \in I} — семейство подмножеств XX, и пусть {Bi}i∈I\left\{ B_{i}\right\}_{i \in I} — семейство подмножеств YY. Докажите, что:

?
(a)

f−1(∩i∈IBi)=∩i∈If−1(Bi)f^{-1}\left(\cap_{i \in I} B_{i}\right)=\cap_{i \in I} f^{-1}\left(B_{i}\right).

(b)

f(∩i∈IAi)⊂∩i∈If(Ai)f\left(\cap_{i \in I} A_{i}\right) \subset \cap_{i \in I} f\left(A_{i}\right).

(c)

Равенство в (b) выполняется тогда и только тогда, когда ff инъективно.

(d)

f−1(∪i∈IBi)=∪i∈If−1(Bi)f^{-1}\left(\cup_{i \in I} B_{i}\right)=\cup_{i \in I} f^{-1}\left(B_{i}\right).

Задача 1.2.8

Пусть {Ai}i∈I\left\{ A_{i}\right\}_{i \in I} и {Bi}i∈I\left\{ B_{i}\right\}_{i \in I} — подмножества XX. Докажите, что

?
(a)

(∪i∈IAi)\(∪i∈IBi)⊂∪i∈I(Ai\Bi)\left(\cup_{i \in I} A_{i}\right) \backslash \left(\cup_{i \in I} B_{i}\right) \subset \cup_{i \in I}\left(A_{i} \backslash B_{i}\right).

(b)

Включение в (a) может быть строгим.

Задача 1.2.9

Пусть f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R} и пусть A,B⊂XA, B \subset X. Докажите, что:

?
(a)

χA∩B=χAχB\chi_{A \cap B}=\chi_{A} \chi_{B}.

(b)

χA∪B=χA+χB−χAχB\chi_{A \cup B}=\chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A} \chi_{B}.

(c)

χA\B=χA−χAχB\chi_{A \backslash B}=\chi_{A}-\chi_{A} \chi_{B}.

(d)

χA∘f=χf−1(A)\chi_{A} \circ f=\chi_{f^{-1}(A)}.

(e)

∣χA−χB∣=χA△B\left|\chi_{A}-\chi_{B}\right|=\chi_{A \triangle B}.