Аксиома выбора

Докажите, что произвольное декартово произведение непустых множеств непусто.

Докажите, что объединение счётного семейства счётных множеств счётно.

Докажите, что каждая сюръекция имеет правый обратный элемент.

Пусть $R$ — подмножество $A \times B$, такое что для каждого $a \in A$ найдётся $b \in B$, для которого $(a, b) \in R$. Докажите, что существует $F \subset R$, определяющее функцию из $A$ в $B$, т.е. для каждого $a \in A$ найдётся ровно один $b \in B$, для которого $(a, b) \in F$.