Кардинальные и ординальные числа

Докажите, что каждое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Докажите, что $\operatorname {card}[0,1]=\operatorname {card}[0,1)=\operatorname {card}(0,1)=\operatorname {card}[a, b]$, если $a<b$.

Пусть $A$ — бесконечное множество, а $F$ — конечное подмножество $A$. Докажите, что $\operatorname {card} A \backslash F=\operatorname {card} A$.

Докажите, что счётное объединение конечных множеств счётно.

Докажите, что счётное объединение попарно непересекающихся счётных множеств счётно.

Докажите, что плоскость $\mathbb {R}^{2}$ не является объединением счётного числа прямых.

Докажите, что $\operatorname {card} \mathbb {R}=\operatorname {card} \mathbb {R}^{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $A$ — множество всех действительных чисел из $(0,1)$, в десятичном разложении которых бесконечно много троек. Докажите, что $\operatorname {card} A=\operatorname {card}(0,1)$.

Докажите, что для любого множества $A$, $\operatorname {card} A<\operatorname {card} \mathbb {P}(A)$, где $\mathbb {P}(A)$ — совокупность всех подмножеств $A$, включая пустое множество и само $A$.

Докажите, что совокупность ординалов вполне упорядочена.

Пусть $S$ — подмножество вполне упорядоченного множества $A$, и предположим, что:

1. $S$ содержит $a_{0}:=\min A$.

2. Если $a \in A$ и $s(a) \subset S$, то $a \in S$.

Докажите, что $S=A$.

Пусть $A$ — вполне упорядоченное множество и $S=\left\{ s(a): a \in A\right\}$, упорядоченное включением. Докажите, что $f: A \rightarrow S$, определённое как $f(x)=s(x)$, является изоморфизмом порядка.

Пусть $A, B$ — вполне упорядоченные множества, изоморфные по порядку. Докажите, что существует лишь один изоморфизм порядка $f: A \rightarrow B$.

Докажите, что вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно по порядку одному из своих начальных отрезков.

Докажите, что два различных начальных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны по порядку.

Пусть $\lambda , \mu$ — ординальные числа, $\lambda =\operatorname {ord} A$, и пусть $\mu <\lambda$. Докажите, что существует единственный $a \in A$, такой что $\mu =\operatorname {ord} s(a)$.

Пусть $s(\lambda )$ — множество ординальных чисел, меньших ординала $\lambda$. Докажите, что $\lambda =\operatorname {ord} s(\lambda )$.