Определители

Используя определение, вычислите $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для каждой из следующих матриц.

Чему равен объём параллелепипеда, натянутого на три вектора $\overrightarrow {x}_{1} = (3,0,-4,0)^{T}$, $\overrightarrow {x}_{2} = (0,2,0,-2)^{T}$ и $\overrightarrow {x}_{3} = (0,1,0,1)^{T}$?

Используя метод Гаусса для приведения $\mathbf{A}$ к верхнетреугольному виду, вычислите $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для каждой из следующих матриц.

Используя определители, вычислите ранг матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 6 \\ 2 & 5 & -6 \end{pmatrix}$.

Используя определители, найдите значения $\alpha$, при которых следующая система имеет единственное решение.

Если $\mathbf{A}$ невырождена, объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{-1}\right) = 1/\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$.

Объясните, почему определители инвариантны относительно преобразований подобия. То есть покажите, что $\operatorname {det}\left(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для всех невырожденных $\mathbf{P}$.

Объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{*}\right) = \overline{\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)}$.

Докажите, что если $\mathbf{A}$ имеет размер $m \times n$, то $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}\right) \geq 0$, и объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}\right) > 0$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = n$.

Если $\mathbf{A}$ имеет размер $n \times n$, объясните, почему $\operatorname {det}\left(\alpha \mathbf{A}\right) = \alpha^{n}\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для всех скаляров $\alpha$.

Если $\mathbf{A}$ — кососимметричная матрица размера $n \times n$, докажите, что $\mathbf{A}$ вырождена всякий раз, когда $n$ нечётно.

Как построить случайные целочисленные матрицы с $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right) = 1$?

Если $k$-я строка матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ записана как сумма $\mathbf{A}_{k*} = \overrightarrow {x}^{T} + \overrightarrow {y}^{T} + \cdots + \overrightarrow {z}^{T}$, где $\overrightarrow {x}^{T}, \overrightarrow {y}^{T}, \ldots , \overrightarrow {z}^{T}$ — строчные векторы, объясните, почему

Неравенство КБШ (неравенство Коши--Буняковского--Шварца) утверждает, что $\left|\overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {y}\right| \leq \left\| \overrightarrow {x}\right\|_{2} \left\| \overrightarrow {y}\right\|_{2}$ для векторов $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}^{n \times 1}$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {y} = \alpha \overrightarrow {x}$ при $\alpha = \overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {y}/\overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {x}$. Используя упражнение 6.1.10, дайте альтернативное доказательство неравенства КБШ вместе с альтернативным объяснением того, почему равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {y}$ является скалярным кратным $\overrightarrow {x}$.

Пусть $\mathbf{A}_{k}$ — ведущая главная подматрица размера $k \times k$ матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ --- т.е. подматрица, взятая из левого верхнего угла матрицы $\mathbf{A}$ и состоящая из её первых $k$ строк и столбцов. Докажите, что если $\mathbf{A}$ имеет $LU$-разложение $\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U}$, то $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}_{k}\right) = u_{11}u_{22} \cdots u_{kk}$, и выведите отсюда, что $k$-й ведущий элемент равен

Докажите, что если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{m \times n}\right) = n$, то $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ имеет $LU$-разложение с положительными ведущими элементами --- т.е. $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ положительно определена, что означает, что симметричная матрица $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ обладает $LU$-разложением, в котором каждый ведущий элемент положителен.

Пусть $\mathbf{A}(x) = \begin{pmatrix} 2-x & 3 & 4 \\ 0 & 4-x & -5 \\ 1 & -1 & 3-x \end{pmatrix}$.

Когда элементы матрицы $\mathbf{A} = [a_{ij}(x)]$ являются дифференцируемыми функциями от $x$, определим $d\mathbf{A}/dx = [da_{ij}/dx]$ (матрицу производных). Для квадратных матриц всегда ли верно, что $d\bigl(\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)\bigr)/dx = \operatorname {det}\left(d\mathbf{A}/dx\right)$?

Для набора функций $\mathcal{S} = \left\{ f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)\right\}$, каждая из которых $n-1$ раз дифференцируема, определитель

называется вронскианом набора $\mathcal{S}$. Если $\mathcal{S}$ — линейно зависимый набор, объясните, почему $w(x) = 0$ при всех значениях $x$.

Рассмотрим вычисление определителя размера $n \times n$ по определению (6.1.1).

Используя разложение по алгебраическим дополнениям, вычислите каждый из следующих определителей.

Используя определители, вычислите следующие обратные матрицы.

Является ли следующее равенство корректным выводом правила Крамера для решения невырожденной системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, где $\mathbf{A}_{i}$ обозначает матрицу, совпадающую с $\mathbf{A}$, за исключением того, что столбец $\mathbf{A}_{*i}$ заменён на $\overrightarrow {b}$?

Пусть $\operatorname {rk}\left(\mathbf{B}_{m \times n}\right) = n$, и пусть $\mathbf{Q}$ — ортогональный проектор на $N(\mathbf{B}^{T})$, т.е. $\mathbf{Q} = \mathbf{I} - \mathbf{B}(\mathbf{B}^{T}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^{T}$ — проектор, аннулирующий $R(\mathbf{B})$ и воспроизводящий векторы, уже принадлежащие $N(\mathbf{B}^{T})$. Для $\mathbf{A} = [\mathbf{B} \mid \overrightarrow {c}_{n \times 1}]$ докажите, что $\overrightarrow {c}^{T}\mathbf{Q}\overrightarrow {c} = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\right)/\operatorname {det}\left(\mathbf{B}^{T}\mathbf{B}\right)$.

Если $\mathbf{A}_{n \times n}$ — невырожденная матрица, а $\mathbf{D}$ и $\mathbf{C}$ — матрицы размера $n \times k$, объясните, как использовать (6.2.1) для вывода формулы

Объясните, почему $\mathbf{A}$ вырождена тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}[\operatorname {adj}(\mathbf{A})] = \mathbf{0}$.

Для невырожденной линейной системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ объясните, почему каждая компонента решения должна непрерывно зависеть от элементов $\mathbf{A}$.

Для скаляров $\alpha$ объясните, почему $\operatorname {adj}(\alpha \mathbf{A}) = \alpha^{n-1}\operatorname {adj}(\mathbf{A})$.

Для матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ докажите, что следующие утверждения верны.

В 1812 году Коши открыл формулу, утверждающую, что если $\mathbf{A}$ имеет размер $n \times n$, то $\operatorname {det}\left(\operatorname {adj}(\mathbf{A})\right) = [\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)]^{n-1}$. Установите формулу Коши.

Для следующей трёхдиагональной матрицы $\mathbf{A}_{n}$ положите $D_{n} = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}_{n}\right)$ и выведите формулу $D_{n} = 2D_{n-1}-D_{n-2}$, чтобы заключить, что $D_{n} = n+1$.

Рассматривая матрицы с обновлением ранга один, выведите следующие формулы.

Окаймлённая матрица имеет вид $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \overrightarrow {x} \\ \overrightarrow {y}^{T} & \alpha \end{pmatrix}$, где $\mathbf{A}_{n \times n}$ невырождена, $\overrightarrow {x}$ — столбец, $\overrightarrow {y}^{T}$ — строка, а $\alpha$ — скаляр. Объясните, почему следующие утверждения должны быть верны.

Если $\mathbf{B}$ имеет размер $m \times n$, а $\mathbf{C}$ — размер $n \times m$, объясните, почему (6.2.1) гарантирует, что $\lambda^{m}\operatorname {det}\left(\lambda \mathbf{I}_{n}-\mathbf{C}\mathbf{B}\right) = \lambda^{n}\operatorname {det}\left(\lambda \mathbf{I}_{m}-\mathbf{B}\mathbf{C}\right)$ верно для всех скаляров $\lambda$.

Для квадратной матрицы $\mathbf{A}$ и векторов-столбцов $\overrightarrow {c}$ и $\overrightarrow {d}$ выведите следующие два обобщения формулы обновления ранга $1$ $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}+\overrightarrow {c}\overrightarrow {d}^{T}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)\bigl(1+\overrightarrow {d}^{T}\mathbf{A}^{-1}\overrightarrow {c}\bigr)$ (6.2.3).

Опишите определитель элементарного отражателя $\mathbf{R} = \mathbf{I} - 2\overrightarrow {u}\overrightarrow {u}^{*}/\overrightarrow {u}^{*}\overrightarrow {u}$ (отражения относительно гиперплоскости $\overrightarrow {u}^{\perp }$) и плоского вращения $\mathbf{P}_{ij}$ (вращения в плоскости $(i,j)$, использующего $\cos \theta$ и $\sin \theta$ в позициях $(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)$ в остальном единичной матрицы), а затем объясните, как найти $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ с помощью приведения Хаусхолдера (приведения $\mathbf{A}$ к верхней трапециевидной форме последовательностью элементарных отражателей) и приведения Гивенса (того же приведения с помощью последовательности плоских вращений вместо этого).

Предположим, что $\mathbf{A}$ — невырожденная матрица, все элементы которой являются целыми числами. Докажите, что элементы $\mathbf{A}^{-1}$ являются целыми числами тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right) = \pm 1$.

Пусть $\mathbf{A} = \mathbf{I} - 2\overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T}$ — матрица, в которой $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {v}$ — векторы-столбцы с целыми элементами.

С помощью индукции покажите, что разложение $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}_{n \times n}\right)$ по алгебраическим дополнениям требует

умножений при $n \geq 2$. Предположив, что компьютер выполняет 1 000 000 умножений в секунду, и пренебрегая всеми остальными операциями, оцените, сколько времени потребуется для вычисления определителя матрицы $100 \times 100$ с помощью разложения по алгебраическим дополнениям.

Найдите все значения $\lambda$, при которых матрица $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ вырождена, где

Предположим, что $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots , f_{n}(t)$ — решения линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка $y^{(n)}+p_{1}(t)y^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}(t)y'+p_{n}(t)y = 0$, и пусть $w(t)$ — вронскиан

Преобразовав уравнение $n$-го порядка в систему $n$ уравнений первого порядка с помощью подстановок $x_{1} = y, x_{2} = y', \ldots , x_{n} = y^{(n-1)}$, покажите, что $w(t) = w(\xi_{0})\, e^{-\int_{\xi_{0}}^{t} p_{1}(\xi )\, d\xi }$ при произвольной постоянной $\xi_{0}$.

Вычислите определитель Вандермонда, показав, что

Когда это выражение отлично от нуля (сравните с примером 4.3.4)?

Предположим, что каждый элемент $\mathbf{A}_{n \times n} = [a_{ij}(x)]$ является дифференцируемой функцией вещественной переменной $x$. Используя формулу (6.1.19), выведите формулу

Рассматривая элементы $\mathbf{A}$ как независимые переменные и используя формулу (6.1.19), выведите формулу

В 1772 году французский математик Пьер-Симон Лаплас (1749--1827) представил следующее обобщённое разложение по алгебраическим дополнениям. Для матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ пусть $\mathbf{A}(i_{1}i_{2} \cdots i_{k} \mid j_{1}j_{2} \cdots j_{k})$ обозначает $k \times k$ подматрицу $\mathbf{A}$, лежащую на пересечении строк $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ со столбцами $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$, а $M(i_{1}i_{2} \cdots i_{k} \mid j_{1}j_{2} \cdots j_{k})$ обозначает минор порядка $n-k \times n-k$, получаемый удалением строк $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ и столбцов $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$ из $\mathbf{A}$. Обобщённым алгебраическим дополнением $\mathbf{A}(i_{1} \cdots i_{k} \mid j_{1} \cdots j_{k})$ называется знаковый минор $\mathring {A}(i_{1} \cdots i_{k} \mid j_{1} \cdots j_{k}) = (-1)^{i_{1}+\cdots +i_{k}+j_{1}+\cdots +j_{k}}M(i_{1} \cdots i_{k} \mid j_{1} \cdots j_{k})$, и для каждого фиксированного набора индексов строк $1 \leq i_{1} < \cdots < i_{k} \leq n$

Каждая такая сумма содержит $\binom {n}{k}$ слагаемых. Используя разложение Лапласа, вычислите определитель матрицы

по первой и третьей строкам.