Дополнительные свойства определителей

Используя разложение по алгебраическим дополнениям, вычислите каждый из следующих определителей.

Используя определители, вычислите следующие обратные матрицы.

Является ли следующее равенство корректным выводом правила Крамера для решения невырожденной системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, где $\mathbf{A}_{i}$ обозначает матрицу, совпадающую с $\mathbf{A}$, за исключением того, что столбец $\mathbf{A}_{*i}$ заменён на $\overrightarrow {b}$?

Пусть $\operatorname {rk}\left(\mathbf{B}_{m \times n}\right) = n$, и пусть $\mathbf{Q}$ — ортогональный проектор на $N(\mathbf{B}^{T})$, т.е. $\mathbf{Q} = \mathbf{I} - \mathbf{B}(\mathbf{B}^{T}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^{T}$ — проектор, аннулирующий $R(\mathbf{B})$ и воспроизводящий векторы, уже принадлежащие $N(\mathbf{B}^{T})$. Для $\mathbf{A} = [\mathbf{B} \mid \overrightarrow {c}_{n \times 1}]$ докажите, что $\overrightarrow {c}^{T}\mathbf{Q}\overrightarrow {c} = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\right)/\operatorname {det}\left(\mathbf{B}^{T}\mathbf{B}\right)$.

Если $\mathbf{A}_{n \times n}$ — невырожденная матрица, а $\mathbf{D}$ и $\mathbf{C}$ — матрицы размера $n \times k$, объясните, как использовать (6.2.1) для вывода формулы

Объясните, почему $\mathbf{A}$ вырождена тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}[\operatorname {adj}(\mathbf{A})] = \mathbf{0}$.

Для невырожденной линейной системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ объясните, почему каждая компонента решения должна непрерывно зависеть от элементов $\mathbf{A}$.

Для скаляров $\alpha$ объясните, почему $\operatorname {adj}(\alpha \mathbf{A}) = \alpha^{n-1}\operatorname {adj}(\mathbf{A})$.

Для матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ докажите, что следующие утверждения верны.

В 1812 году Коши открыл формулу, утверждающую, что если $\mathbf{A}$ имеет размер $n \times n$, то $\operatorname {det}\left(\operatorname {adj}(\mathbf{A})\right) = [\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)]^{n-1}$. Установите формулу Коши.

Для следующей трёхдиагональной матрицы $\mathbf{A}_{n}$ положите $D_{n} = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}_{n}\right)$ и выведите формулу $D_{n} = 2D_{n-1}-D_{n-2}$, чтобы заключить, что $D_{n} = n+1$.

Рассматривая матрицы с обновлением ранга один, выведите следующие формулы.

Окаймлённая матрица имеет вид $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \overrightarrow {x} \\ \overrightarrow {y}^{T} & \alpha \end{pmatrix}$, где $\mathbf{A}_{n \times n}$ невырождена, $\overrightarrow {x}$ — столбец, $\overrightarrow {y}^{T}$ — строка, а $\alpha$ — скаляр. Объясните, почему следующие утверждения должны быть верны.

Если $\mathbf{B}$ имеет размер $m \times n$, а $\mathbf{C}$ — размер $n \times m$, объясните, почему (6.2.1) гарантирует, что $\lambda^{m}\operatorname {det}\left(\lambda \mathbf{I}_{n}-\mathbf{C}\mathbf{B}\right) = \lambda^{n}\operatorname {det}\left(\lambda \mathbf{I}_{m}-\mathbf{B}\mathbf{C}\right)$ верно для всех скаляров $\lambda$.

Для квадратной матрицы $\mathbf{A}$ и векторов-столбцов $\overrightarrow {c}$ и $\overrightarrow {d}$ выведите следующие два обобщения формулы обновления ранга $1$ $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}+\overrightarrow {c}\overrightarrow {d}^{T}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)\bigl(1+\overrightarrow {d}^{T}\mathbf{A}^{-1}\overrightarrow {c}\bigr)$ (6.2.3).

Опишите определитель элементарного отражателя $\mathbf{R} = \mathbf{I} - 2\overrightarrow {u}\overrightarrow {u}^{*}/\overrightarrow {u}^{*}\overrightarrow {u}$ (отражения относительно гиперплоскости $\overrightarrow {u}^{\perp }$) и плоского вращения $\mathbf{P}_{ij}$ (вращения в плоскости $(i,j)$, использующего $\cos \theta$ и $\sin \theta$ в позициях $(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)$ в остальном единичной матрицы), а затем объясните, как найти $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ с помощью приведения Хаусхолдера (приведения $\mathbf{A}$ к верхней трапециевидной форме последовательностью элементарных отражателей) и приведения Гивенса (того же приведения с помощью последовательности плоских вращений вместо этого).

Предположим, что $\mathbf{A}$ — невырожденная матрица, все элементы которой являются целыми числами. Докажите, что элементы $\mathbf{A}^{-1}$ являются целыми числами тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right) = \pm 1$.

Пусть $\mathbf{A} = \mathbf{I} - 2\overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T}$ — матрица, в которой $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {v}$ — векторы-столбцы с целыми элементами.

С помощью индукции покажите, что разложение $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}_{n \times n}\right)$ по алгебраическим дополнениям требует

умножений при $n \geq 2$. Предположив, что компьютер выполняет 1 000 000 умножений в секунду, и пренебрегая всеми остальными операциями, оцените, сколько времени потребуется для вычисления определителя матрицы $100 \times 100$ с помощью разложения по алгебраическим дополнениям.

Найдите все значения $\lambda$, при которых матрица $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ вырождена, где

Предположим, что $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots , f_{n}(t)$ — решения линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка $y^{(n)}+p_{1}(t)y^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}(t)y'+p_{n}(t)y = 0$, и пусть $w(t)$ — вронскиан

Преобразовав уравнение $n$-го порядка в систему $n$ уравнений первого порядка с помощью подстановок $x_{1} = y, x_{2} = y', \ldots , x_{n} = y^{(n-1)}$, покажите, что $w(t) = w(\xi_{0})\, e^{-\int_{\xi_{0}}^{t} p_{1}(\xi )\, d\xi }$ при произвольной постоянной $\xi_{0}$.

Вычислите определитель Вандермонда, показав, что

Когда это выражение отлично от нуля (сравните с примером 4.3.4)?

Предположим, что каждый элемент $\mathbf{A}_{n \times n} = [a_{ij}(x)]$ является дифференцируемой функцией вещественной переменной $x$. Используя формулу (6.1.19), выведите формулу

Рассматривая элементы $\mathbf{A}$ как независимые переменные и используя формулу (6.1.19), выведите формулу

В 1772 году французский математик Пьер-Симон Лаплас (1749--1827) представил следующее обобщённое разложение по алгебраическим дополнениям. Для матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ пусть $\mathbf{A}(i_{1}i_{2} \cdots i_{k} \mid j_{1}j_{2} \cdots j_{k})$ обозначает $k \times k$ подматрицу $\mathbf{A}$, лежащую на пересечении строк $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ со столбцами $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$, а $M(i_{1}i_{2} \cdots i_{k} \mid j_{1}j_{2} \cdots j_{k})$ обозначает минор порядка $n-k \times n-k$, получаемый удалением строк $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ и столбцов $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$ из $\mathbf{A}$. Обобщённым алгебраическим дополнением $\mathbf{A}(i_{1} \cdots i_{k} \mid j_{1} \cdots j_{k})$ называется знаковый минор $\mathring {A}(i_{1} \cdots i_{k} \mid j_{1} \cdots j_{k}) = (-1)^{i_{1}+\cdots +i_{k}+j_{1}+\cdots +j_{k}}M(i_{1} \cdots i_{k} \mid j_{1} \cdots j_{k})$, и для каждого фиксированного набора индексов строк $1 \leq i_{1} < \cdots < i_{k} \leq n$

Каждая такая сумма содержит $\binom {n}{k}$ слагаемых. Используя разложение Лапласа, вычислите определитель матрицы

по первой и третьей строкам.