Определители

Используя определение, вычислите $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для каждой из следующих матриц.

Чему равен объём параллелепипеда, натянутого на три вектора $\overrightarrow {x}_{1} = (3,0,-4,0)^{T}$, $\overrightarrow {x}_{2} = (0,2,0,-2)^{T}$ и $\overrightarrow {x}_{3} = (0,1,0,1)^{T}$?

Используя метод Гаусса для приведения $\mathbf{A}$ к верхнетреугольному виду, вычислите $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для каждой из следующих матриц.

Используя определители, вычислите ранг матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 6 \\ 2 & 5 & -6 \end{pmatrix}$.

Используя определители, найдите значения $\alpha$, при которых следующая система имеет единственное решение.

Если $\mathbf{A}$ невырождена, объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{-1}\right) = 1/\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$.

Объясните, почему определители инвариантны относительно преобразований подобия. То есть покажите, что $\operatorname {det}\left(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для всех невырожденных $\mathbf{P}$.

Объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{*}\right) = \overline{\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)}$.

Докажите, что если $\mathbf{A}$ имеет размер $m \times n$, то $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}\right) \geq 0$, и объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}\right) > 0$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = n$.

Если $\mathbf{A}$ имеет размер $n \times n$, объясните, почему $\operatorname {det}\left(\alpha \mathbf{A}\right) = \alpha^{n}\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)$ для всех скаляров $\alpha$.

Если $\mathbf{A}$ — кососимметричная матрица размера $n \times n$, докажите, что $\mathbf{A}$ вырождена всякий раз, когда $n$ нечётно.

Как построить случайные целочисленные матрицы с $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right) = 1$?

Если $k$-я строка матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ записана как сумма $\mathbf{A}_{k*} = \overrightarrow {x}^{T} + \overrightarrow {y}^{T} + \cdots + \overrightarrow {z}^{T}$, где $\overrightarrow {x}^{T}, \overrightarrow {y}^{T}, \ldots , \overrightarrow {z}^{T}$ — строчные векторы, объясните, почему

Неравенство КБШ (неравенство Коши--Буняковского--Шварца) утверждает, что $\left|\overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {y}\right| \leq \left\| \overrightarrow {x}\right\|_{2} \left\| \overrightarrow {y}\right\|_{2}$ для векторов $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}^{n \times 1}$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {y} = \alpha \overrightarrow {x}$ при $\alpha = \overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {y}/\overrightarrow {x}^{*}\overrightarrow {x}$. Используя упражнение 6.1.10, дайте альтернативное доказательство неравенства КБШ вместе с альтернативным объяснением того, почему равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {y}$ является скалярным кратным $\overrightarrow {x}$.

Пусть $\mathbf{A}_{k}$ — ведущая главная подматрица размера $k \times k$ матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ --- т.е. подматрица, взятая из левого верхнего угла матрицы $\mathbf{A}$ и состоящая из её первых $k$ строк и столбцов. Докажите, что если $\mathbf{A}$ имеет $LU$-разложение $\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U}$, то $\operatorname {det}\left(\mathbf{A}_{k}\right) = u_{11}u_{22} \cdots u_{kk}$, и выведите отсюда, что $k$-й ведущий элемент равен

Докажите, что если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{m \times n}\right) = n$, то $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ имеет $LU$-разложение с положительными ведущими элементами --- т.е. $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ положительно определена, что означает, что симметричная матрица $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ обладает $LU$-разложением, в котором каждый ведущий элемент положителен.

Пусть $\mathbf{A}(x) = \begin{pmatrix} 2-x & 3 & 4 \\ 0 & 4-x & -5 \\ 1 & -1 & 3-x \end{pmatrix}$.

Когда элементы матрицы $\mathbf{A} = [a_{ij}(x)]$ являются дифференцируемыми функциями от $x$, определим $d\mathbf{A}/dx = [da_{ij}/dx]$ (матрицу производных). Для квадратных матриц всегда ли верно, что $d\bigl(\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)\bigr)/dx = \operatorname {det}\left(d\mathbf{A}/dx\right)$?

Для набора функций $\mathcal{S} = \left\{ f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)\right\}$, каждая из которых $n-1$ раз дифференцируема, определитель

называется вронскианом набора $\mathcal{S}$. Если $\mathcal{S}$ — линейно зависимый набор, объясните, почему $w(x) = 0$ при всех значениях $x$.

Рассмотрим вычисление определителя размера $n \times n$ по определению (6.1.1).