Функции (продолжение)

Докажите, что выпуклая на промежутке $\Delta$ функция удовлетворяет неравенству Иенсена $f\left(\sum_{1 \leqslant j \leqslant n} \lambda_{j} x_{j}\right) \leqslant \sum_{1 \leqslant j \leqslant n} \lambda_{j} f\left(x_{j}\right)$ для всех $x_{1}, \ldots , x_{n} \in \Delta , \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n} \in [0,1], \lambda_{1}+\ldots +\lambda_{n}=1$.

Пусть функция $f$ задана на промежутке $\Delta , x_{1}<x_{2}<x_{3}$ - точки из $\Delta$. Рассмотрим три хорды, соединяющие пары точек графика $f$ с абсциссами $x_{1}$ и $x_{2}, x_{1}$ и $x_{3}, x_{2}$ и $x_{3}$. Угловые коэффициенты этих хорд суть, соответственно, $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}, \frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{3}-x_{1}}, \frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$. Докажите, что для выпуклости функции $f$ необходимо и достаточно, чтобы для любой тройки точек $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ из $\Delta$ выполнялись неравенства

(лемма о трёх хордах, см. рис. 8).

Рис. 8

Проверьте, что это двойное неравенство равносильно тому, что

Пусть функция $f$, заданная на промежутке $\Delta$, удовлетворяет неравенству $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$ для всех $x_{1}, x_{2} \in \Delta$. Докажите, что

Докажите, что условие непрерывности в задаче 1.3 б) можно заменить следующим: функция $f$ ограничена сверху на каком-нибудь непустом интервале $(p, q) \subset \Delta$ (или даже на $(p, q) \backslash \mathbb {Q}$).

Докажите, что для функции $f:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ равносильны три утверждения:

1. $f$ выпукла;

2. надграфик функции $f$

   $$\Gamma ^{+}=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid x \in (a, b), y \geqslant f(x)\right\}$$
   • выпуклое множество;

3. через каждую точку графика функции $f$ можно провести опорную для надграфика прямую (т. е. такую прямую, что все точки надграфика лежат не ниже неё).

Докажите, что если функция, заданная на промежутке, выпукла локально, то она выпукла.

Пусть $f$ - выпуклая на промежутке $\left[a, b\right]$ функция. Докажите, что тогда

Пусть функция $f$ вогнута на промежутке $[0,+\infty ), f(0)=0$. Докажите, что для всех $x, y \geqslant 0$ выполняется неравенство

Докажите, что если функция $f$ выпукла и строго монотонна, то $f^{-1}$ либо выпукла, либо вогнута.

Пусть функция $f$ выпукла, а функция $g$ выпукла и возрастает. Докажите, что если имеет смысл суперпозиция $g \circ f$, то она выпукла.

Пусть $f \in C((0,+\infty ))$. Докажите, что тогда функции $x \mapsto x f(x), x \mapsto f\left(\frac{1}{x}\right)$ выпуклы или нет одновременно.

Пусть функция $f$ выпукла на $[a,+\infty )$. Докажите, что существует предел $\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x}=l \in \overline{\mathbb {R}}$, причём $l>-\infty$.

Докажите, что выпуклая функция $f$, заданная на промежутке $\langle a, b\rangle$, непрерывна на $(a, b)$ и имеет там конечные возрастающие односторонние производные $f_{-}^{\prime }(x), f_{+}^{\prime }(x)$, а $f^{\prime }(x)$ существует всюду, за исключением не более чем счётного множества точек. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{1}(\Delta )$ для любого замкнутого промежутка $\Delta \subset (a, b)$.

Докажите, что функция $f \in C((a, b))$ выпукла тогда и только тогда, когда для всех $x \in (a, b)$ выполняется неравенство

В частности, если $L_{f}(x)=0$ при всех $x \in (a, b)$, то $f$ - линейная функция; если $f$ дважды дифференцируема в $(a, b)$, то она выпукла тогда и только тогда, когда $f^{\prime \prime }(x) \geqslant 0$ в $(a, b)$.

Пусть $f \in C(\langle a, b\rangle )$. Докажите, что для выпуклости функции $f$ необходимо и достаточно, чтобы для всех $x \in (a, b)$ и таких $h>0$, что $x-h, x+h \in \langle a, b\rangle$, выполнялось неравенство

Пусть функция $f$ выпукла на $\mathbb {R}$ и $\lim_{x \rightarrow \pm \infty } \frac{f(x)}{x}=0$. Докажите, что $f$ постоянна.

Следующая задача часто позволяет при доказательстве тех или иных утверждений о выпуклых функциях предполагать дополнительно их гладкость (в частности, так могут быть решены некоторые из предыдуших задач).

Докажите, что всякая выпуклая на $\left[a, b\right]$ непрерывная функция является пределом равномерно сходящейся убывающей последовательности:

Докажите, что если функция $f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцирусма, вогнута и неотрицательна, то $x f^{\prime }(x) \leqslant f(x)$ для всех $x \geqslant 0$.

Пусть функция $f$ выпукла и возрастает на промежутке $[0,+\infty ), f(0)=0$. Докажите, что для любых чисел $a_{0} \geqslant a_{1} \geqslant \ldots \geqslant a_{n} \geqslant 0$ выполняется неравенство

Последовательность $\left\{ a_{n}\right\} \subset \mathbb {R}$ называется выпуклой, если $\Delta^{2} a_{n}=a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n} \geqslant 0$, т.е. $a_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}+a_{n+2}\right)$ для любого $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ выпукла, то

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ - ограниченная выпуклая последовательность (см. задачу 1.20). Докажите, что

Пусть $L>0, f \in C(\left[0, L\right]), f \geqslant 0$. Положим $M=\int_{0}^{L} f(x) d x$,

Докажите, что если функция $f$ вогнута, то

Сохраним обозначения предыдущей задачи, но будем рассматривать не вогнутые, а выпуклые функции.

Пусть функция $f$ не убывает на $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ и $f(1-x)=f(x)$ на $\left[0,1\right]$. Докажите, что для любой выпуклой на $\left[0,1\right]$ функции $\varphi$ справедливо неравенство

Пусть функции $f, g$ неотрицательны и выпуклы на промежутке $\left[a, b\right]$, причём один из концов промежутка - корень обеих функций. Докажите неравенство

Пусть функции $f$ и $g$ неотрицательны и вогнуты на промежутке $\left[a, b\right]$. Докажите неравенство

Пусть $0<a<b, K$ - множество всех таких неотрицательных нсвозрастающих на промежутке $\left[a, b\right]$ функций $f$, что

Докажите, что для любых функций $f$ и $g$ из $K$ справедливо неравенство

Для каких функций достигается равенство?

Пусть функция $f$ интегрируема на промежутке $\left[a, b\right]$. Докажите, что неотрицательность интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \varphi (x) d x$ для любой выпуклой на $\left[a, b\right]$ функции $\varphi$ равносильна тому, что функция $f$ удовлетворяет трём условиям:

1. $\int_{a}^{b} f(x) d x=0$;

2. $\int_{a}^{b} x f(x) d x=0$;

3. $\int_{a}^{c}(c-x) f(x) d x \geqslant 0$ для любого $c \in (a, b)$.

Пусть функция $f$ убывает к нулю на $(0,+\infty )$ и $a>0$. Докажите, что $\int_{0}^{\infty } f(x) \sin a x d x \geqslant 0$, а если $f$ выпукла, то $\int_{0}^{\infty } f(x) \cos a x d x \geqslant 0$. В обоих случаях знак равенства возможен лишь для $f \equiv 0$.

Пусть $f \in C((0,+\infty )), f(1)=1$. Докажите, что системе неравенств

где $x$ и $y$ - произвольные положительные числа, удовлетворяет лишь степенна́я функция $f(x)=x^{p}$ с показателем $p \in [0,1]$, а если оба знака неравенств заменить на знаки $\leqslant$, то лишь степенна́я функция с показателем $p \notin (0,1)$. Убедитесь в том, что это не так, если заменить знак только во втором неравенстве.

Пусть $a_{j}, b_{j} \geqslant 0, j=1, \ldots , n ; p, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Докажите перавенство Гёльдера

Пусть $x_{j}>0, j=1, \ldots , n, p \neq 0$. Положим

Цокажите, что

1. $\varkappa$ возрастает;

2. $\lim_{p \rightarrow 0} \varkappa (p)=\sqrt[n]{x_{1} \ldots x_{n}}$;

3. $\lim_{p \rightarrow +\infty } \varkappa (p)=\max \left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$;

4. $\lim_{p \rightarrow -\infty } \varkappa (p)=\min \left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$;

5. функция $\varphi (p)=(\varkappa (p))^{p}$ логарифмически выпукла на промежутке $(0,+\infty )$.

Сформулируйте аналоги этих утверждений, заменив $\varkappa (p)$ выраженисм $\left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{p}(x) d x\right)^{1 / p}$, где $f$ - непрерывная положительная на $\left[a, b\right]$ рункция.

Пусть кусочно непрерывные на $\left[a, b\right]$ функции $f$ и $p$ удовлетворяют условиям $f(\left[a, b\right]) \subset [m, M], p \geqslant 0, \int_{a}^{b} p(x) d x=1$, а функция $\varphi$ ыыпукла на $\left[m, M\right]$. Докажите, что

Пусть $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{n}$ - вершины вписанного в окружность выпуклого многоугольника, причём вершины $A_{0}$ и $A_{n}$ фиксированы. Как при заданном $n$ выбрать точки $A_{1}, \ldots , A_{n-1}$, чтобы

Источник света, помещённый в точке $(0, b), b>0$, освещает область, которая является подграфиком неотрицательной выпуклой функции $f \in C^{1}([0,+\infty )), f(0)>b$. Лучи света отражаются от графика $f$ и от оси абсцисс по известному закону. Будет ли освещена вся область, если $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)=0$ ?

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow (-\infty ,+\infty ]$ выпукла, $D(f)$ - промежуток $\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x)<+\infty \right\}$, а $\Delta$ - интервал $\left(\inf f^{\prime }(t), \sup f^{\prime }(t)\right)$, где infimum и supremum вычисляются по множеству тех точек $t$, в которых существует $f^{\prime }(t)$.

Преобразованием Лежандра функции $f$ называется функция

Величина $f^{*}(x)$ показывает, насколько нужно сместить по вертикали проходящую через начало координат прямую с угловым коэффициентом $x$, чтобы она стала опорной к надграфику функции $f$ (рис. 9).

Рис. 9

Докажите, что

Докажите, что если функция $\varphi$ строго возрастает и непрерывна на $[0,+\infty ), \varphi (0)=0, \psi =\varphi^{-1}$, то для $a \in [0,+\infty )$ и $b \in [0, \sup \varphi )$ выполняется неравенство

Найдите преобразование Лежандра и напишите неравенство Юнга (см. задачу 1.37 г)) для следующих функций:

Рассмотрим совокупность $W$ пар $(f, g)$ выпуклых на $\mathbb {R}$ функций, удовлетворяющих условию $x y \leqslant f(x)+g(y)$ для всех $x, y \in \mathbb {R}$. Назовём пару $\left(f_{0}, g_{0}\right) \in W$ экстремальной, если из соотношений $f \leqslant f_{0}, g \leqslant g_{0},(f, g) \in W$ следует, что $f=f_{0}, g=g_{0}$. Докажите, что пара ($f_{0}, g_{0}$) экстремальна тогда и только тогда, когда $f_{0}^{*}=g_{0}$, $g_{0}^{*}=f_{0}$.

Укажите примеры функций, для которых $f^{*}(x)=f(-x) (x \in \mathbb {R})$. Докажите, что единственной функцией, совпадающей со своим преобразованием Лежандра, является функция $f(t)=\frac{t^{2}}{2}$.

Докажите, что если функция $f$ дифференцируема $m$ раз на интервале $(a, b)$ и $x, x+m h \in (a, b)$, то

где $0<\theta <m$ (определение $\Delta_{h}^{m} f(x)$ см. в задаче III.3.1).

Пусть функция $f$ дифференцируема $n$ раз на $\left[0,1\right]$ и $f^{(k)}(0)= =f^{(k)}(1)=0$ для $k=1, \ldots , n-1$. Докажите, что для некоторого $x \in [0,1]$ выполняется неравенство

Пусть функция $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и существуют такие вещественные числа $a_{k}, b_{k}, c_{k}(1 \leqslant k \leqslant n)$, что

Докажите, что если $c_{k} \neq 0$ для всех $k$, то $f$ - многочлен.

Пусть $f(x)=P_{1}(x) e^{Q_{1}(x)}+\ldots +P_{n}(x) e^{Q_{n}(x)}$, где $P_{k}, Q_{k} (k=1,2, \ldots , n)$ - вещественные многочлены, $x \in \mathbb {R}$. Докажите, что если $f \not\equiv 0$, то $f$ имеет конечное число нулей.

Пусть $f \in C^{\infty }([0, \infty )), f(0)=\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$. Докажите, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ функция $f^{(n)}$ обращается в нуль.

Пусть $f \in C^{2}((0,1))$ и $f(x)=o(1), f^{\prime \prime }(x)=O\left(x^{-2}\right)$ при $x \rightarrow +0$. Докажите, что $f^{\prime }(x)=o\left(x^{-1}\right)$ при $x \rightarrow +0$.

Пусть $\Delta$ - промежуток, $f \in C^{2}(\Delta ), M_{k}=\sup_{\Delta }\left|f^{(k)}\right|, k=0,1,2$.

Пусть $f \in C^{2}([0,+\infty ))$ и $\int_{0}^{+\infty }\left|f(x)\right| d x<+\infty$. Докажите неравснства:

Найдите $\min \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime }(x)\right|^{2} d x$ при условии, что $f \in C^{2}(\left[0,1\right])$, $f(0)=f(1)=0, f^{\prime }(0)=a$.

Пусть $f \in C^{2}(\left[0,1\right]), f(0)=f(1)=0$ и $\left|f^{\prime \prime }(x)\right| \leqslant 1$ для всех $x \in [0,1]$. Докажите неравенства:

Пусть $f \in C^{\infty }(\left[a, b\right]), f \not\equiv 0$. Докажите, что если функция $f$ обращается в нуль на некотором непустом интервале, то

Существует ли такая точка $x$, что $\sup_{n}\left|f^{(n)}(x)\right|=+\infty$ ?

Пусть $f \in C^{\infty }(\left[a, b\right])$. Докажите, что если последовательность производных $\left\{ f^{(n)}(x)\right\}_{n \geqslant 0}$ ограничена в каждой точке $x \in [a, b]$, то она равномерно ограничена: $\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant C$, где $C$ не зависит от $n$ и $x$.

Пусть $f \in C^{\infty }(\left[a, b\right])$ и всюду на $\left[a, b\right]$ существует конечный предел $\varphi (x)=\lim f^{(n)}(x)$. Докажите, что функция $\varphi$ имеет вид $\varphi (x)=$ const $\cdot e^{x}$.

Докажите, что если в каждой точке вещественной оси хотя бы одна из производных бесконечно дифференцируемой функции обращается в нуль, то эта функция есть многочлен.

Докажите, что любая функция вида

бесконечно дифференцируема на $\mathbb {R}$ и что за счёт надлежащего выбора чисел $c_{n}$ можно добиться, чтобы все её производные в точке $x=0$ имели любые наперёд заданные значения (теорема Бореля).

Пусть $a=\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n}, f \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$. Докажите, что если $f(a)=0$, то $f$ можно представить в виде