Многочлены Бернштейна

Пусть $n \in \mathbb {N}, r=0,1,2, \ldots$ Для $x \in \mathbb {R}$ положим

Докажите, что

1. $S_{n, r+1}(x)=x(1-x)\left(S_{n, r}^{\prime }(x)+n r S_{n, r-1}(x)\right), r \in \mathbb {N}$;

2. $$$$

\begin{aligned} & S_{n, 0}(x)=1 ; \quad S_{n, 1}(x)=0 ; \quad S_{n, 2}(x)=n x(1-x) ; \ & S_{n, 3}(x)=n x(1-x)(1-2 x) ; \ & S_{n, 4}(x)=n x(1-x)(1+3(n-2) x(1-x)) . \end{aligned}

Пусть $n \in \mathbb {N}, \delta >0$. Для $x \in [0,1]$ положим

Докажите, что

1. $\sigma_{n, \delta }(x) \leqslant \frac{1}{4 \delta^{2} n}$;

2. $\sigma_{n, \delta }(x) \leqslant \frac{1}{4 \delta^{4} n^{2}}$;

3. $\sigma_{n, \delta }(x) \leqslant \frac{17}{\delta \sqrt{n}} e^{-2 n \delta^{2}}$.

Пусть $n \in \mathbb {N}, f:\left[0,1\right] \rightarrow \mathbb {R}$. Многочлен

называется многочленом Бернштейна функции $f$.

Найдите многочлены Бернштейна следующих функций:

Пусть функция $f$ определена на промежутке $\left[0,1\right], n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Докажите, что

Пусть функция $f$ определена и ограничена сверху на промежутке $\left[0,1\right]$. Докажите, что

Пусть функции $f$ и $g$ ограничены на промежутке $\left[0,1\right]$ и совпадают в окрестности точки $x_{0} \in [0,1]$. Докажите, что последовательности $\left\{ B_{n}\left(f, x_{0}\right)\right\}$ и $\left\{ B_{n}\left(g, x_{0}\right)\right\}$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости имеют общий предел.

Пусть функция $f$ ограничена на промежутке $\left[0,1\right]$. Докажите, что

Пусть $f \in C(\left[0,1\right])$. Докажите, что

Пусть $f \in C(\left[0,1\right])$ и $\int_{0}^{1} f(x) g^{\prime \prime }(x) d x=0$ для любой функции $g \in C^{2}(\left[0,1\right])$, равной нулю в окрестностях точек 0 и 1 . Докажите, что $f$ - линейная функция.

Пусть $f \in C(\left[0, \pi \right])$ и $\varepsilon >0$. Докажите, что существует такой тригонометрический многочлен $T$ вида $T(t)=\sum_{0 \leqslant n \leqslant N} a_{n} \cos n t$, что $\left|f(t)-T(t)\right|<\varepsilon$ для всех $t \in [0, \pi ]$.

а) Пусть $f \in C\left(\left[0,1\right]^{2}\right)$. Для $n \in \mathbb {N}$ и $x, y \in \mathbb {R}$ положим

Докажите, что $\mathscr {B}_{n}(f) \rightrightarrows f$ на $\left[0,1\right]^{2}$ при $n \rightarrow +\infty$. б) Пусть $f \in C\left(\left[0, \pi \right]^{2}\right)$ и $\varepsilon >0$. Докажите, что существует такой тригонометрический многочлен $T$ вида

что $\left|f(u, v)-T(u, v)\right|<\varepsilon$ для всех $u, v \in [0, \pi ]$.

Пусть $f \in C^{r}(\left[0,1\right])$. Докажите, что $B_{n}^{(r)}(f) \rightrightarrows f^{(r)}$ на $\left[0,1\right]$.

1. Пусть $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }\left[0,1\right]$. Докажите, что для всех $n \in \mathbb {N}$ и $x \in [0,1]$ справедливо неравенство

   $$\left|B_{n}(f, x)-f(x)\right| \leqslant M\left(\frac{x(1-x)}{n}\right)^{\alpha / 2}$$

   где $M$- некоторая положительная постоянная, зависящая только от функции $f$.

2. Пусть $\alpha \in (0,1]$ и $f_{\alpha }(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|^{\alpha }$. Докажите, что для всех $n \in \mathbb {N}$ справедливо неравенство

   $$\left|B_{n}\left(f_{\alpha }, \frac{1}{2}\right)-f_{\alpha }\left(\frac{1}{2}\right)\right| \geqslant \frac{1}{4} n^{-\alpha / 2} .$$

Пусть $f \in C^{2}(\left[0,1\right])$. Докажите, что

где последовательность функций $\left\{ \varepsilon_{n}\right\}$ равномерно на $\left[0,1\right]$ сходится к нулю (формула Е. В. Вороновской).

Пусть $f \in C(\left[0,1\right]), g \in C^{2}(\left[0,1\right])$ и функция $g$ равна нулю вне интервала ($a, b$), где $0<a<b<1$. Докажите, что

Докажите, что функция $f\left[0,1\right] \rightarrow \mathbb {R}$ линейна, если

Пусть $f \in C(\left[0,1\right])$. Докажите, что целочисленность $f(0)$ и $f(1)$ равносильна тому, что функция $f$ является пределом равномерно сходящейся на $\left[0,1\right]$ последовательности алгебраических многочленов с целыми коэффициентами.

Пусть функция $f$ определена на промежутке $\left[0,1\right]$. Докажите, что

где $\quad \Delta_{1}^{n} f(y)=f\left(y+\frac{1}{n}\right)-f(y), \quad \Delta_{k+1}^{n} f(y)=\Delta_{1}^{n}\left(\Delta_{k}^{n} f(y)\right), \quad k \in \mathbb {N}$. В частности, если $f$ - многочлен, то степень $B_{n}(f)$ не превосходит степени $f$.

Пусть $f(x)=x^{m}(x \in \mathbb {R}), m=0,1,2, \ldots$ Докажите, что

1. $B_{n}(f) \rightrightarrows f$ на любом конечном промежутке;

2. $\left|B_{n}(f, x)\right| \leqslant \max \left(1,\left|x\right|^{m}\right)$ при любом $x \in \mathbb {R}$.

Пусть $f(x)=\sum_{m \geqslant 0} c_{m} x^{m}$ для $x \in (-R, R)$, где $R>1$. Докажите, что

1. $B_{n}(f) \rightrightarrows f$ на любом промежутке $\left[-r, r\right]$, если $0<r<R$;

2. если $c_{m} \geqslant 0$ для любого $m$, то $B_{n}(f) \geqslant f$ на $\left[0,1\right]$ и $B_{n}(f) \leqslant f$ на $[1, R)$.

1. Докажите, что при фиксированном $n \in \mathbb {N}$ многочлены $x^{k}(1-x)^{n-k}, k=0,1, \ldots , n$, образуют базис в пространстве многочленов, степень которых не превышает $n$.

2. Докажите, что коэффициенты $a_{n}^{k}$ разложения многочлена $P$ степени $m$ по таким базисам при $n \geqslant m$, образующие таблицу

   $$\begin{array}{ccccccc} a_{m}^{0} & a_{m}^{1} & \ldots & a_{m}^{m-1} & a_{m}^{m} & & \\ a_{m+1}^{0} & a_{m+1}^{1} & & & a_{m+1}^{m} & a_{m+1}^{m+1} & \\ \ldots & & & & & & \ldots \\ a_{n}^{0} & a_{n}^{1} & & & & a_{n}^{n-1} & a_{n}^{n} \\ \ldots & & & & & & \ldots \end{array}$$

   удовлетворяют равенствам

   $$a_{n+1}^{0}=a_{n}^{0}, \quad a_{n+1}^{n+1}=a_{n}^{n}, \quad a_{n+1}^{k}=a_{n}^{k-1}+a_{n}^{k} \quad (k=1,2, \ldots , n)$$

   (сравните с равенствами для биномиальных коэффициентов $C_{n}^{k}$).

3. Докажите, что условие $P(x)>0$ при $x \in (0,1)$ необходимо и достаточно для того, чтобы при достаточно большом $n$ числа $a_{n}^{k}$, $k=0,1, \ldots , n$, не обращались одновременно в нуль и были неотрицательны.