Гладкие функции

Докажите, что если функция $f$ дифференцируема $m$ раз на интервале $(a, b)$ и $x, x+m h \in (a, b)$, то

где $0<\theta <m$ (определение $\Delta_{h}^{m} f(x)$ см. в задаче III.3.1).

Пусть функция $f$ дифференцируема $n$ раз на $\left[0,1\right]$ и $f^{(k)}(0)= =f^{(k)}(1)=0$ для $k=1, \ldots , n-1$. Докажите, что для некоторого $x \in [0,1]$ выполняется неравенство

Пусть функция $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и существуют такие вещественные числа $a_{k}, b_{k}, c_{k}(1 \leqslant k \leqslant n)$, что

Докажите, что если $c_{k} \neq 0$ для всех $k$, то $f$ - многочлен.

Пусть $f(x)=P_{1}(x) e^{Q_{1}(x)}+\ldots +P_{n}(x) e^{Q_{n}(x)}$, где $P_{k}, Q_{k} (k=1,2, \ldots , n)$ - вещественные многочлены, $x \in \mathbb {R}$. Докажите, что если $f \not\equiv 0$, то $f$ имеет конечное число нулей.

Пусть $f \in C^{\infty }([0, \infty )), f(0)=\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$. Докажите, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ функция $f^{(n)}$ обращается в нуль.

Пусть $f \in C^{2}((0,1))$ и $f(x)=o(1), f^{\prime \prime }(x)=O\left(x^{-2}\right)$ при $x \rightarrow +0$. Докажите, что $f^{\prime }(x)=o\left(x^{-1}\right)$ при $x \rightarrow +0$.

Пусть $\Delta$ - промежуток, $f \in C^{2}(\Delta ), M_{k}=\sup_{\Delta }\left|f^{(k)}\right|, k=0,1,2$.

Пусть $f \in C^{2}([0,+\infty ))$ и $\int_{0}^{+\infty }\left|f(x)\right| d x<+\infty$. Докажите неравснства:

Найдите $\min \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime }(x)\right|^{2} d x$ при условии, что $f \in C^{2}(\left[0,1\right])$, $f(0)=f(1)=0, f^{\prime }(0)=a$.

Пусть $f \in C^{2}(\left[0,1\right]), f(0)=f(1)=0$ и $\left|f^{\prime \prime }(x)\right| \leqslant 1$ для всех $x \in [0,1]$. Докажите неравенства:

Пусть $f \in C^{\infty }(\left[a, b\right]), f \not\equiv 0$. Докажите, что если функция $f$ обращается в нуль на некотором непустом интервале, то

Существует ли такая точка $x$, что $\sup_{n}\left|f^{(n)}(x)\right|=+\infty$ ?

Пусть $f \in C^{\infty }(\left[a, b\right])$. Докажите, что если последовательность производных $\left\{ f^{(n)}(x)\right\}_{n \geqslant 0}$ ограничена в каждой точке $x \in [a, b]$, то она равномерно ограничена: $\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant C$, где $C$ не зависит от $n$ и $x$.

Пусть $f \in C^{\infty }(\left[a, b\right])$ и всюду на $\left[a, b\right]$ существует конечный предел $\varphi (x)=\lim f^{(n)}(x)$. Докажите, что функция $\varphi$ имеет вид $\varphi (x)=$ const $\cdot e^{x}$.

Докажите, что если в каждой точке вещественной оси хотя бы одна из производных бесконечно дифференцируемой функции обращается в нуль, то эта функция есть многочлен.

Докажите, что любая функция вида

бесконечно дифференцируема на $\mathbb {R}$ и что за счёт надлежащего выбора чисел $c_{n}$ можно добиться, чтобы все её производные в точке $x=0$ имели любые наперёд заданные значения (теорема Бореля).

Пусть $a=\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n}, f \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$. Докажите, что если $f(a)=0$, то $f$ можно представить в виде

где $g_{j} \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right), g_{j}(a)=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(a) \quad (j=1, \ldots , n)$.

Пусть $a \in \mathbb {R}^{n}$ и $F$ - отображение множества $C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ в $\mathbb {R}$, удовлетворяющее трём условиям ($f, g \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$): 1) $F(f+g)=F(f)+F(g)$; 2) $F(\alpha f)=\alpha F(f)(\alpha \in \mathbb {R})$; 3) $F(f g)=F(f) g(a)+f(a) F(g)$.

Докажите, что $F(f)=\sum_{1 \leqslant j \leqslant n} c_{j} \frac{\partial f}{\partial x_{j}}(a)$ для некоторых $c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {R}$.

Пусть $f, g$ - неотрицательные непрерывные функции, заданные на $[0,+\infty )$. Докажите, что если для некоторого числа $C \geqslant 0$ выполняется неравенство

то

(перавенство Гронуолла). Выведите отсюда, что если функция $h \in C^{1}([0, \infty ))$ и число $M \geqslant 0$ таковы, что $h(0)=0$ и $\left|h^{\prime }(t)\right| \leqslant M\left|h(t)\right|$ при $t \geqslant 0$, то $h \equiv 0$.

Функция $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {C}$ называется положительно определённой, если

для любых векторов $t_{1}, \ldots , t_{m} \in \mathbb {R}^{n}, z_{1}, \ldots , z_{m} \in \mathbb {C}$ и любого $m \in \mathbb {N}$. Функция $f$ называется условно положительно определённой, если неравенство (1) выполняется при дополнительном условии $z_{1}+\ldots +z_{m}=0$.

Пусть $a \in \mathbb {R}^{n}, A, B \in \mathbb {R}$. Докажите, что

Докажите, что если $\mu$ - конечная мера в $\mathbb {R}^{n}$, то функция

(преобразование Фурье меры $\mu$) положительно определена.

Докажите, что положительно определены функции

Докажите, что

Докажите, что если функция $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {C}$ положительно опредслена, то

Докажите, что если функция $f(t)=e^{s \varphi (t)}$ положительно определена при всех $s>0$, то функция $\varphi : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {C}$ является условно положительно определенной.

Пусть $\Delta =\left[a, b\right], f \in C^{3}(\Delta ), f^{\prime }(x) \neq 0(x \in \Delta )$. Производная Шварца (шварциан) $S f$ функции $f$ определяется формулой

Проверьте, что для вещественных функций $f, g$, удовлетворяющих перечисленным выше условиям, справедливы утверждения:

Пусть $R(w, x, y, z)=\frac{(z-w)(y-x)}{(z-y)(x-w)}(w, x, y, z-$ попарно различные числа). Докажите, что если $f \in C^{1}(\Delta ), f^{\prime }$ кусочно монотонна и для любых точек $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$, принадлежащих одному интервалу монотонности функции $f$, выполняется неравенство

то функция $\left|f^{\prime }\right|$ не имеет строго положительного локального минимума во внутренних точках промежутка $\Delta$.