Почти периодические функции и последовательности

Докажите, что если $\lambda$ - иррациональное число, то для любых $a \in [0,1)$ и $\varepsilon >0$ найдётся такое $n \in \mathbb {Z}$, что $n \lambda \stackrel{\varepsilon }{=} a(\bmod 1)$. Проверьте, что множество таких $n$ относительно плотно на прямой (сравните с задачей I.3.2).

а) Докажите, что если $\lambda_{1}, \lambda_{2} \neq 0$ и отношение $\lambda_{1} / \lambda_{2}$ иррационально, то для любых $a_{1}, a_{2} \in [0,1)$ и $\varepsilon >0$ найдётся такое $t \in \mathbb {R}$, что

Обратно, если система (1) разрешима относительно $t$ при любых $a_{1}$, $a_{2}, \varepsilon$, то частное $\lambda_{1} / \lambda_{2}$ иррационально. б) Докажите, что если $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ независимы над $\mathbb {Q}$ по модулю 1 , то существует относительно плотное на прямой множество целых решений системы (1).

Какому условию должны удовлетворять вещественные числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$, чтобы при любом $\varepsilon >0$ система уравнений

имела решение $t$, удовлетворяющее условию $\left|t\right|>\left|\lambda_{j}\right|^{-1}$ для некоторого $j$ ?

Какому условию должны удовлетворять вещественные числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$, чтобы для любых $a_{1}, \ldots , a_{k} \in [0,1)$ и $\varepsilon >0$ система уравнений

имела

1. вещественное решение $t$;

2. относительно плотное множество решений?

Какому условию должны удовлетворять вещественные числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$, чтобы для любых $a_{1}, \ldots , a_{k} \in [0,1)$ и $\varepsilon >0$ система уравнений

имела

1. целое решение $m$;

2. относительно плотное множество целых решений?

Пусть $f(x)=\sin (a x+b)+\sin (c x+d), x \in \mathbb {R}$, причём $a c \neq 0$. Докажите, что если функция $f$ не равна тождественно нулю, то она принимает значения разных знаков.

Определённая на $\mathbb {R}$ комплекснозначная функция $f$ называется равномерно почти периодической (р.п.п.), если для любого $\varepsilon >0$ существует такое число $L=L(\varepsilon )>0$, что в каждом интервале длины $L$ найдётся по крайней мере одно число $\tau$ ($\varepsilon$-почти период), для которого

Докажите, что каждый квазитригонометрический многочлен

обладает свойством равномерной почти периодичности. Проверьте, что многочлен $f$ периодичен тогда и только тогда, когда множители $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ попарно соизмеримы (т.е. их отношения рациональны).

Пусть $f \in C\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ - функция, имеющая период 1 по каждому аргументу, $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \in \mathbb {R}$ - линейно независимые над $\mathbb {Q}$ числа, $\beta_{1}, \ldots , \beta_{n} \in \mathbb {R}$. Докажите, что функция

равномерно почти периодична.

Докажите, что если $f$ - непрерывная р. п. п. функция и её $\varepsilon$-почти периоды ограничены при малых $\varepsilon$, то $f$ периодична.

Докажите, что р.п.п. непрерывная на $\mathbb {R}$ функция равномерно непрерывна на прямой и ограничена. Существуют ли неограниченные непериодические р. п. п. функции? Следует ли непрерывность из ограниченности?

Докажите, что предел равномерно сходящейся на $\mathbb {R}$ последовательности р.п.п. функций - р.п.п. функция.

Докажите, что если у р. п. п. функции производная существует и равномерно непрерывна, то она также является р. п. п. функцией.

Докажите, что если первообразная $F$ непрерывной р. п. п. функции $f$ ограничена, то она также является р. п. п. функцией.

Пусть $f \in C(\mathbb {R}), h \in \mathbb {R}, f_{h}(x)=f(x+h)$. Докажите, что функция $f$ обладает свойством р. п. п. тогда и только тогда, когда для каждой числовой последовательности $\left\{ h_{n}\right\}$ из последовательности $\left\{ f_{h_{n}}\right\}$ можно выбрать равномерно сходящуюся на $\mathbb {R}$ подпоследовательность (компактность семейства сдвигов).

Докажите, что сумма и произведение непрерывных р. п. п. функций - снова р. п. п. функция.

Докажите, что для каждой р. п. п. функции $f$ существует среднее значение

Пусть $\langle f, g\rangle =M(f \bar{g})$, где $f, g$ - непрерывные р. п. п. функции, а функционал $M$ определён в предыдущей задаче. Докажите, что

1. $\langle f, g\rangle$ обладает свойствами скалярного произведения (в частности, $\langle f, f\rangle =0$ тогда и только тогда, когда $f \equiv 0$);

2. функции $\varphi_{\lambda }(x)=e^{i \lambda x}, \lambda \in \mathbb {R}$, образуют несчётное семейство, ортогональное относительно этого скалярного произведения;

3. величины $c_{\lambda }=M\left(f \overline{\varphi_{\lambda }}\right)$ при попарно различных вещественных числах $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ удовлетворяют неравенству

   $$\sum _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|c_{\lambda _{k}}\right|^{2} \leqslant M\left(\left|f\right|^{2}\right)$$

   (неравенство Бесселя для системы $\left\{ \varphi_{\lambda }\right\}$). Выведите отсюда, что $c_{\lambda } \neq 0$ лишь для не более чем счётного множества значений $\lambda$. Может ли это множество быть произвольным счётным подмножеством $\mathbb {R}$?

Пусть $\left\{ a_{n}\right\} , a_{n} \in \left\{ 0,1,2\right\}$, - непериодическая последовательность. Последовательности $\left\{ b_{n}\right\}$ и $\left\{ c_{n}\right\}$ определим следующим образом:

Докажите, что хотя бы одна из последовательностей $\left\{ b_{n}\right\} ,\left\{ c_{n}\right\}$ непериодична.

Назовём двоичную последовательность $\varepsilon =\left\{ \varepsilon_{k}\right\}$ почти периодической, если для любого содержащегося в ней «слова» ($\varepsilon_{k+1}, \ldots , \varepsilon_{k+l}$) - будем также писать $\varepsilon_{k+1} \varepsilon_{k+2} \ldots \varepsilon_{k+l}$ - существует такое число $L \in \mathbb {N}$, что множество

пересекается со всеми отрезками натурального ряда длины $L$. Аналогично определяется почти периодичность для двусторонних последовательностей.

Пусть $\left\{ \varepsilon_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ - почти периодическая последовательность, $f(x)=\varepsilon_{\left[x\right]}(x \in \mathbb {R},\left[x\right]$ - целая часть числа $x)$. Является ли $f$ р. п. п. функцией?

Верно ли, что для всякой почти периодической последовательности $\left\{ \varepsilon_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ существует предел чезаровских средних $\lim \frac{1}{2 n+1} \sum_{-n \leqslant k \leqslant n} \varepsilon_{k} ?$

Пусть $k>0$ - иррациональное число, $S=\left\{ (x, y) \mid k x \leqslant y<k(x+1)+1\right\}$ - полоса в $\mathbb {R}^{2}$, а $\Sigma =S \cap \mathbb {Z}^{2}$ - множество целых точек в $S$. Проверьте, что ортогональные проекции точек из $\Sigma$ на сторону полосы (рис. 10) разбивают её на отрезки, длины которых принимают лишь два значения: $a$ и $b$. Перенумеровав отрезки целыми числами в порядке их расположения на прямой, положим $\varepsilon_{i}=0$, если $i$-й отрезок имеет длину $a$, и $\varepsilon_{i}=1$ в противном случае. Докажите, что последовательность $\left\{ \varepsilon_{i}\right\}_{i \in \mathbb {Z}}$ почти периодична.

Рис. 10

Рассмотрим последовательность Морса

определяемую равенствами $\varepsilon_{1}=0, \quad \varepsilon_{2}=1, \quad \varepsilon_{k}=1-\varepsilon_{k-2^{n}} \quad$ при $2^{n}<k \leqslant 2^{n+1}(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что она почти периодична.

Пусть для конечной последовательности («слова»)

из нулей и единиц $A^{0}$ означает $A, A^{1}=\bar{\varepsilon }_{1} \bar{\varepsilon }_{2} \ldots \bar{\varepsilon }_{n}$, где $\bar{\varepsilon }_{k}=1-\varepsilon_{k}$. Определим последовательность $\varepsilon$, задавая её начальные отрезки $A_{p}$, которые определяются рекуррентно: $A_{0}$ - любое слово, $A_{0}=\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \ldots \varepsilon_{n}$,

где $\xi_{1} \ldots \xi_{l}$ - некоторое слово из нулей и единиц,

и т. д. Таким образом, $A_{0}$ служит началом $A_{1}, A_{1}$ - началом $A_{2}$ и т.д. Бесконечная последовательность $\left\{ A_{p}\right\}$ определяет некоторую последовательность $\varepsilon$. Докажите, что она периодична или почти периодична.

Последовательностью складок называется последовательность $s=\left\{ s_{n}\right\}$ нулей и единиц, начальные отрезки которой $A_{n}$ длины $2 k-1\left(k=2^{n}\right)$ имеют вид

Название последовательности объясняется тем, что со словом $A_{n}$ можно связать последовательность складок бумажной полоски, образующихся на ней в результате $(n+1)$-кратного ее сгибания (сначала пополам, потом еще раз пополам и т.д.). Если, двигаясь по полоске, каждой складке, приводящей к повороту налево, поставить в соответствие единицу, а складке «поворот направо» - нуль, то получится $A_{n}$ (рис. 11). Последовательность однозначно определяется заданием чисел $s_{2^{n}}, n=0,1,2, \ldots$

Рис. 11

Докажите, что всякая последовательность складок почти периодична, но не периодична, даже если ограничиться членами со сколь угодно большими номерами.

Докажите, что последовательности складок (см. задачу 4.24) обладают следующим свойством (почти периодичность по Безиковичу): для каждого $\varepsilon >0$ найдутся такое число $L>0$ и такие числа $\tau_{m} \in \mathbb {N}(m \in \mathbb {N})$, что

1. если $\nu (\Delta )$- число тех $\tau_{m}$, которые попадают в интервал $\Delta \subset \mathbb {R}_{+}$, то $v\left(\Delta_{1}\right)<2 v\left(\Delta_{2}\right)$ для всех интервалов $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ длины $L$;

2. $\varlimsup_{n} \frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant j \leqslant n}\left|s_{j+\tau_{m}}-s_{j}\right|<\varepsilon$ для каждого $m \in \mathbb {N}$;

3. $\varlimsup_{n} \varlimsup_{p} \frac{1}{n p} \sum_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum_{1 \leqslant m \leqslant p}\left|s_{j+\tau_{m}}-s_{j}\right|<\varepsilon$.

Докажите, что если $x_{n}=(-1)^{s_{n}}, n \in \mathbb {N}$, где $\left\{ s_{n}\right\}$ - последовательность складок, то при любом $t \in \mathbb {R}$ существует предел

(«коэффициент Фурье»), причём

и $c_{t}=0$ в остальных случаях. Убедитесь в том, что справедливо «равенство Парсеваля»

Рассмотрим двоичную последовательность

(последовательность Рудина-Шапиро), у которой начальные отрезки $A_{n}$ длины $2^{n}$ имеют вид $A_{n}=C_{n} D_{n}$, где $C_{n}$ и $D_{n}$ - слова длины $2^{n-1}$, причем $A_{1}=C_{1} D_{1}=00$, а при $n>1$ слова $A_{n}, C_{n}, D_{n}$ определяются рекуррентно:

$\left(D_{n-1}^{1}\right.$ получается из $D_{n-1}$ заменой $\left.0 \leftrightarrow 1\right)$. Докажите почти периодичность этой последовательности.

Заметим, что последовательность $\left\{ (-1)^{r_{n}}\right\}$ является последовательностью коэффициентов многочленов Рудина-Шапиро (см. задачу IX.4.25).