Избранные задачи по вещественному анализу

Глава VI

Асимптотика

[110/93%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

VI.1 · Асимптотика интегралов

VI.2 · Метод Лапласа

VI.3 · Асимптотика сумм

VI.4 · Асимптотика неявных функций и рекуррентных последовательностей

VI.1 · Асимптотика интегралов[27/96%]

Задача VI.1.1

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что ( $p, q \in \mathbb {R}$ )

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{1}^{x} t^{p} e^{t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } x^{p} e^{x}$ ;

(б)

$\int_{x}^{+\infty } t^{p} e^{-t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } x^{p} e^{-x}$ ;

(в)

$\int_{2}^{x} t^{p-1} \ln^{q} t d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{x^{p}}{p} \ln^{q} x \quad (p>0)$ ;

(г)

$\int_{0}^{x} t^{p-1}\left|\ln t\right|^{q} d t \underset {x \rightarrow 0}{\sim } \frac{x^{p}}{p}\left|\ln x\right|^{q} \quad (p>0)$ .

Задача VI.1.2

Вычислите интеграл $\int_{0}^{10} x^{x} d x$ с относительной погрешностью не более 5.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.3

(а)(б)

Пусть $-\infty <a<b \leqslant +\infty ; f, g, h \in C([a, b))$ , причём $f>0$ на $[a, b)$ и $g(t)=o(f(t)), h(t) \sim f(t)$ при $t \rightarrow b-0$ . Докажите, что при $t \rightarrow b-0$ справедливы соотношения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\int_{a}^{b} f(t) d t=+\infty$ , то

\int _{a}^{x} g(t) d t=o\left(\int _{a}^{x} f(t) d t\right), \quad \int _{a}^{x} h(t) d t \sim \int _{a}^{x} f(t) d t

(б)

если $\int_{a}^{b} f(t) d t<+\infty$ , то

\int _{x}^{b} g(t) d t=o\left(\int _{x}^{b} f(t) d t\right), \quad \int _{x}^{b} h(t) d t \sim \int _{x}^{b} f(t) d t

Задача VI.1.4

(а)(б)(в)

Найдите асимптотику при $t \rightarrow 1-0$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathscr {J}(t)=\int_{0}^{t} \frac{d x}{1-x^{a}} \quad (a \neq 0)$ ;

(б)

$\mathcal{K}(t)=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-t^{2} x^{2}\right)}}$ ;

(в)

$\mathscr {L}(t)=\int_{0}^{\pi } \frac{d x}{1-2 t \cos x+t^{2}}$ .

Задача VI.1.5

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{A}^{2 A} \frac{d x}{\ln x}$ ;

(б)

$\int_{A}^{2 A} x^{x} d x$ ;

(в)

$\int_{0}^{A} e^{e^{-x}} d x$ ;

(г)

$\int_{\pi }^{A}\left|\sin x\right| e^{a / x} d x \quad (a \in \mathbb {R})$ ;

(д)

$\int_{A}^{+\infty } e^{-x^{2}} d x$ ;

(е)

$\int_{A}^{+\infty } x^{a} e^{-x} d x \quad (a \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.1.6

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} e^{A x^{2}} d x$ ;

(б)

$\int_{1}^{+\infty } e^{-x^{p} / A} \frac{d x}{x} \quad (p>0)$ ;

(в)

$\int_{0}^{+\infty } e^{x-x^{2} / A} d x$ ;

(г)

$\int_{2}^{+\infty } e^{-x / A} \ln^{p} x d x \quad (p \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.1.7

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $n \rightarrow +\infty$ интегралов $(n \in \mathbb {N})$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\quad \int_{\pi n}^{\pi (n+2)} \frac{\sin x}{x^{p}} d x \quad (p \neq 0)$ ;

(б)

$\int_{\pi n}^{+\infty } \frac{\sin x}{x^{p}} d x \quad (p>0)$ ;

(в)

$\quad \int_{\pi n}^{\pi (n+1)} \frac{\cos x}{x^{p}} d x \quad (p \neq 0)$ ;

(г)

$\int_{\pi n}^{+\infty } \frac{\cos x}{x^{p}} d x \quad (p>0)$ .

Задача VI.1.8

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что при $\varepsilon \rightarrow +0$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin^{2} x}{x^{1+\varepsilon }} d x \sim \frac{1}{2 \varepsilon }$ ;

(б)

$\int_{1}^{+\infty } \frac{\cos^{2} x}{x^{1+\varepsilon }} d x \sim \frac{1}{2 \varepsilon }$ ;

(в)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin x}{x^{\varepsilon }} d x \rightarrow 1$ ;

(г)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\cos x}{x^{\varepsilon }} d x \sim \frac{\pi }{2} \varepsilon$ .

Задача VI.1.9

(а)(б)(в)

Найдите асимптотику при $\varepsilon \rightarrow +0$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-\varepsilon x^{2}} d x}{x+\varepsilon }$ ;

(б)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin \varepsilon x^{2} d x}{x^{2}+\varepsilon \sqrt{x}}$ ;

(в)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin \left(x^{2}+\varepsilon \right) d x}{x^{3}+\varepsilon \sqrt{x}}$ .

Задача VI.1.10

(а)(б)

Докажите, что при $A \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\infty } \sin \left(x^{A}\right) d x \sim \frac{\pi }{2 A}$ ;

(б)

$\int_{0}^{\infty } \cos \left(x^{A}\right) d x \rightarrow 1$ .

Задача VI.1.11

(а)(б)

Пусть $C_{x}=\int_{x}^{x+1} \cos t^{2} d t$ и $S_{x}=\int_{x}^{x+1} \sin t^{2} d t$ для $x>0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sqrt{C_{x}^{2}+S_{x}^{2}} \leqslant \frac{1}{x}$ для всех $x>0$ ;

(б)

$\sqrt{C_{x}^{2}+S_{x}^{2}}=\frac{1}{x}\left|\sin \left(x+\frac{1}{2}\right)\right|+O\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ при $x \rightarrow +\infty$ .

Задача VI.1.12

Пусть функция $\varphi$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и имеет период $T>0$ , причём $C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \varphi (t) d t \neq 0$ . Докажите, что

\int _{1}^{+\infty } \frac{\varphi (t)}{t^{1+\varepsilon }} d t \sim \frac{C_{\varphi }}{\varepsilon } \quad \text{ при } \quad \varepsilon \rightarrow +0

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.13

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{A} \frac{\sin^{2} x}{x^{p}} d x \quad (p \leqslant 1)$ ;

(б)

$\int_{1}^{A} \frac{\left|\sin x\right|^{p}\left|\cos x\right|}{x} d x \quad (p>-1)$ ;

(в)

$\int_{0}^{A} \frac{\left|\sin x\right|}{x^{p}} d x \quad (p \leqslant 1)$ ;

(г)

$\int_{A}^{+\infty } \frac{\left|\sin x\right|}{x^{p}} d x \quad (p>1)$ .

Задача VI.1.14

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что при $A \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\pi / 2}\left(\frac{\sin A x}{\sin x}\right)^{2} d x=\frac{\pi }{2} A+O(1)$ ;

(б)

$\int_{0}^{1} \frac{\cos A x}{\sqrt{x}} d x=\sqrt{\frac{\pi }{2 A}}+O\left(\frac{1}{A}\right)$ ;

(в)

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^{2} x d x}{1+\cos^{2} A x} \rightarrow \frac{\pi }{4 \sqrt{2}}$ ;

(г)

$\int_{0}^{\pi / 2}\left(\frac{\sin A x}{\sin x}\right)^{4} d x=\frac{\pi }{3} A^{3}+O(A)$ .

Задача VI.1.15

Используя интегральное представление Пуассона для функций Бесселя

J_{\nu }(A)=\frac{2}{\sqrt{\pi }} \frac{\left(\frac{A}{2}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +\frac{1}{2}\right)} \int _{0}^{\pi / 2} \cos (A \sin \varphi ) \cos ^{2 \nu } \varphi d \varphi \quad \left(\nu >-\frac{1}{2}\right)

докажите, что при $\boldsymbol {A} \rightarrow +\infty$

J_{0}(A)=\frac{\sin A+\cos A}{\sqrt{\pi A}}+O\left(A^{-3 / 2}\right), \quad J_{1}(A)=\frac{\sin A-\cos A}{\sqrt{\pi A}}+O\left(A^{-3 / 2}\right)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.16

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ следующих интегралов:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\cos A x d x}{x^{p}\left(1+x^{2}\right)} \quad (-2<p<1)$ ;

(б)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin A x d x}{x^{p}\left(1+x^{2}\right)} \quad (\left|p\right|<2)$ ;

(в)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\cos A x}{e^{x^{p}}} d x \quad (0<p<2)$ ;

(г)

$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin A x}{e^{x^{p}}} d x \quad (0<p<2)$ .

Задача VI.1.17

Пусть функция $f$ убывает к нулю на $[a,+\infty )$ , а функция $\varphi$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и имеет период $T>0$ , причём $\int_{0}^{T} \varphi (t) d t=0$ . Докажите, что

\left|\int _{A}^{+\infty } f(t) \varphi (t) d t\right| \leqslant f(A) \int _{0}^{T}\left|\varphi (t)\right| d t \quad \text{ при } \quad A \geqslant a

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.18

Пусть функция $f$ убывает к нулю на $[a,+\infty )$ , а функция $\varphi$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и имеет период $T>0$ . Докажите, что

\int _{a}^{A} f(t) \varphi (t) d t=C_{\varphi } \int _{a}^{A} f(t) d t+I+O(f(A))

где

C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int _{0}^{T} \varphi (t) d t, \quad I=\int _{a}^{+\infty }\left(\varphi (t)-C_{\varphi }\right) f(t) d t

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.19

(а)(б)

Пусть функция $f$ неотрицательна и монотонна на $[a,+\infty )$ , а функция $\varphi$ непрерывна на $\mathbb {R}$ и имеет период $T>0$ , причём $C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \varphi (t) d t \neq 0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\int_{a}^{\infty } f(t) d t=+\infty$ и $\int_{A}^{A+1} f(t) d t=o\left(\int_{a}^{A} f(t) d t\right)$ , то

\int _{a}^{A} f(t) \varphi (t) d t \sim C_{\varphi } \int _{a}^{A} f(t) d t \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

(б)

если $\int_{a}^{\infty } f(t) d t<+\infty$ и $\int_{A}^{A+1} f(t) d t=o\left(\int_{A}^{\infty } f(t) d t\right)$ , то

\int _{A}^{+\infty } f(t) \varphi (t) d t \sim C_{\varphi } \int _{A}^{+\infty } f(t) d t \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

Задача VI.1.20

(а)(б)

Пусть $f \in C(\left[a, b\right]), \varphi \in C(\mathbb {R})$ . Найдите пределы

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\lim_{A \rightarrow +\infty } \int_{a}^{b} f(t) \varphi (A t) d t$ , если $\varphi$ имеет период $T>0$ ;

(б)

$\lim_{A \rightarrow +\infty } A \int_{a}^{b} f(t) \varphi (A t) d t$ , если $\int_{\mathbb {R}}\left|\varphi (t)\right| d t<\infty$ .

Задача VI.1.21

Пусть $f \in C(\left[a, b\right] \times [-1,1])$ . Докажите, что

I(A)=\int _{a}^{b} f(x, \sin A x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\longrightarrow } \frac{1}{2 \pi } \int _{a}^{b}\left(\int _{0}^{2 \pi } f(x, \sin t) d t\right) d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.22

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $p(A) \geqslant 0$ и $p(A)=o\left(A^{2}\right)$ при $A \rightarrow +\infty$ . Докажите, что

I_{A}=\int _{0}^{\pi / 2} \frac{\sin A x}{\sin x} \cos ^{p(A)} x d x \rightarrow \frac{\pi }{2} \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

(б)

Вычислите интеграл

L_{A}=\int _{0}^{\pi / 2} \frac{\sin A x}{\sin x} \cos ^{A-1} x d x \quad (A>0)

Задача VI.1.23

(а)(б)

Найдите асимптотику при $\varepsilon \rightarrow +0$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{+\infty } e^{-x\left(1-x^{-\varepsilon }\right)} d x$ ;

(б)

$\int_{0}^{+\infty } e^{-x\left(x^{\varepsilon }-1\right)} d x$ .

Задача VI.1.24

(а)(б)(в)

Докажите, что при $\varepsilon \rightarrow +0$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} x^{\varepsilon x} d x=1-\frac{\varepsilon }{4}+\frac{\varepsilon^{2}}{27}+O\left(\varepsilon^{3}\right)$ ;

(б)

$\int_{0}^{1} e^{-\varepsilon / \sqrt{x}} d x=1-2 \varepsilon -\varepsilon^{2} \ln \varepsilon +O\left(\varepsilon^{2}\right)$ ;

(в)

$\int_{0}^{1} \exp \left(-\frac{\varepsilon }{x \ln^{2}(x / e)}\right) d x=1-\varepsilon -\frac{\varepsilon }{\ln \varepsilon }+o\left(\frac{\varepsilon }{\ln \varepsilon }\right)$ .

Задача VI.1.25

Пусть функция $f$ положительна и интегрируема на промежутке $(0,1)$ и для некоторого числа $p$ из промежутка $(1,2]$ конечен интеграл $\int_{0}^{1}\left|\ln f(x)\right|^{p} d x$ . Докажите, что при $\varepsilon \rightarrow +0$

\int _{0}^{1} f^{\varepsilon }(x) d x=1+\varepsilon \int _{0}^{1} \ln f(x) d x+O\left(\varepsilon ^{p}\right)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.1.26

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $n \rightarrow \infty$ следующих интегралов:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\pi }\left|\sin n x\right| \frac{d x}{x}$ ;

(б)

$\int_{0}^{\pi } \max_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|\sin k x\right| \frac{d x}{x}$ ;

(в)

$\int_{0}^{\pi } \max_{2 \leqslant k \leqslant n} \frac{\left|\sin k x\right|}{\ln k} \frac{d x}{x}$ ;

(г)

$\int_{0}^{\pi } \max_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{\left|\sin k x\right|}{k} \frac{d x}{x}$ .

Задача VI.1.27

Пусть $P(x)=a_{1} x+\ldots +a_{n} x^{n}$ — многочлен с вещественными коэффициентами, $I(P)=\int_{0}^{1} e^{i P(x)} d x$ . Докажите, что $\left|I(P)\right| \leqslant \frac{C_{n}}{\sqrt[n]{A}}$ , где $A=\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots +\left|a_{n}\right|$ , а коэффициент $C_{n}$ зависит лишь от $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

VI.2 · Метод Лапласа[23/100%]

Задача VI.2.1

Пусть $f \in C\left(\left[0, \frac{\pi }{2}\right]\right)$ . Найдите предел

\lim _{n \rightarrow +\infty } n \int _{0}^{\pi / 2} x f(x) \cos ^{n} x d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.2

(а)(б)

Пусть $c>0$ и $I_{c}=\int_{0}^{c} e^{-t^{2}} d t$ . Докажите, что при $A \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{c / \sqrt{A}}\left(1-x^{2}\right)^{A} d x \sim \frac{I_{c}}{\sqrt{A}}$ ;

(б)

$\int_{0}^{c / \sqrt{A}} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}} \sim \frac{I_{c}}{\sqrt{A}}$ .

Задача VI.2.3

Пусть $c>0$ . Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интеграла

\int _{0}^{c / \sqrt{A}} \cos ^{A} x d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.4

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Убедитесь в том, что асимптотика при $A \rightarrow +\infty$ следующих интегралов не зависит от параметра $c>0$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{c}\left(1-x^{2}\right)^{A} d x \quad (c \leqslant 1)$ ;

(б)

$\int_{0}^{c} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}}$ ;

(в)

$\int_{0}^{c} \cos^{A} x d x \quad \left(c \leqslant \frac{\pi }{2}\right)$ ;

(г)

$\int_{0}^{c} \frac{d x}{\left(1+x+x^{2}\right)^{A}}$ ;

(д)

$\int_{0}^{c}\left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{A} d x$ ;

(е)

$\int_{0}^{c}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{A} d x \quad (c \leqslant \pi )$ ;

(ж)

$\int_{1}^{1+c} x^{-A x} d x$ ;

(з)

$\int_{0}^{c} \ln^{A}(e-x) d x \quad (c \leqslant e-1)$ .

Характерная особенность задач $2.1-2.4$ заключается в явлении локализации - асимптотика интеграла зависит от поведения подынтегральной функции лишь в окрестности одной точки. Этот эффект отчетливо проявляется и в более общем случае при изучении важных интегралов вида

\Phi (A)=\int _{a}^{b} f(x) \varphi ^{A}(x) d x

где функции $f$ и $\varphi$ неотрицательны и $\varphi$ кусочно монотонна. При больших значениях параметра $A$ график функции $\varphi^{A}$ имеет резко выраженные «горбы» в окрестностях тех точек, в которых функция $\varphi$ имеет строгий локальный максимум. Разбивая при необходимости промежуток $\left[a, b\right]$ на несколько промежутков, можно считать, что $\varphi$ монотонна на $\left[a, b\right]$ . При этом достаточно рассмотреть лишь случай, когда $\varphi$ убывает. Тогда значения функции $\varphi^{A}$ в точках, далёких от точки $a$ , пренебрежимо малы по сравнению с её значениями в точках, близких к $a$ , которые и дают основной вклад в интеграл $\Phi (A)$ . Для нахождения главной части $\Phi (A)$ остаётся аппроксимировать в окрестности точки $a$ функции $f$ и $\varphi$ более простыми и вычислить получившийся интеграл. В реализации изложенной схемы и заключается метод Лапласа исследования интегралов вида $\Phi (A)$ , а также их модификаций. Чаще всего встречается случай, когда разность $\varphi (a)-\varphi (x)$ является бесконечно малой степенного типа, т. е.

\varphi (a)-\varphi (x) \underset {x \rightarrow a+0}{\sim } C(x-a)^{p} \quad (C, p>0) .

Он исследуется в задаче 2.7. Получающийся при этом результат называют асимптотической формулой Лапласа (в задаче 2.7 ради краткости формулировки предположено, что $\varphi (a)=1$ и $f \equiv 1$ ). Читатель без труда сформулирует аналогичное утверждение, если функция $\varphi$ возрастает на $\left[a, b\right]$ и

\varphi (b)-\varphi (x) \underset {x \rightarrow b-0}{\sim } C(b-x)^{p} .

Отсюда сразу вытекает асимптотическая формула Лапласа и для кусочно монотонной функции.

Подходящей заменой переменной в интеграле $\Phi (A)$ можно случай с непостоянной неотрицательной функцией $f$ свести к случаю $f \equiv 1$ (в качестве новой переменной надо взять первообразную $\int_{a}^{x} f(t) d t$ ). Результат задачи 2.8 позволяет существенно уменьшить возникающие при этом технические трудности.

В задачах 2.5-2.8 мы будем предполагать, что $\varphi$ — положительная невозрастающая функция на промежутке $[a, b)(-\infty <a<b \leqslant +\infty )$ , причём $\varphi (a)=\lim_{x \rightarrow a+0} \varphi (x)=1$ — строгий максимум $\varphi$ на $[a, b)$ . Будем считать также, что $f \in C((a, b)), f \geqslant 0$ на $(a, b)$ и $f \not\equiv 0$ вблизи точки $a$ , а интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \varphi^{A}(x) d x$ конечен для достаточно больших $A$ .

Задача VI.2.5

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Докажите следующие свойства интеграла $\Phi (A)=\int_{a}^{b} f(x) \varphi^{A}(x) d x$ при $A \rightarrow +\infty$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\boldsymbol {\Phi }(A)$ убывает к нулю;

(б)

$\Phi (A)$ не может экспоненциально убывать: $\ln \Phi (A)=o(A)$ ;

(в)

усилить утверждение б), вообще говоря, нельзя: для любой функции $\omega (A)$ , убывающей к нулю при $A \rightarrow +\infty$ , и такой, что $\ln \omega (A)=o(A)$ , найдётся такая неотрицательная убывающая на $[0,1)$ функция $\varphi , \lim_{x \rightarrow 0} \varphi (x)=1$ , что $\int_{0}^{1} \varphi^{A}(x) d x=o(\omega (A))$ ;

(г)

$\Phi (A)$ может убывать сколь угодно медленно: для любой функции $\omega (A)$ , убывающей к нулю при $A \rightarrow +\infty$ , существует такая функция $\varphi$ , что $\int_{a}^{b} \varphi^{A}(x) d x \geqslant \omega (A)$ для достаточно больших $A$ ;

(д)

асимптотика $\Phi (A)$ определяется поведением функций $\varphi$ и $f$ в сколь угодно малой окрестности точки $a$ :

\Phi (A) \sim \int _{a}^{\beta } f(x) \varphi ^{A}(x) d x \quad \text{ для любого числа } \beta \in (a, b) ;

(е)

$\Phi (A) \sim \Phi (A+H)$ для любого числа $H \in \mathbb {R}$ .

Заметим, что утверждение е) позволяет, не умаляя общности, считать, что $\int_{a}^{b} f(x) d x<\infty$ , так как в противном случае, не меняя асимптотики интеграла $\Phi (A)$ , функцию $f(x)$ можно заменить на $f(x) \varphi^{H}(x)$ при достаточно большом $H$ .

Задача VI.2.6

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\Phi (A)=\int_{a}^{b} \varphi^{A}(x) d x$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если при некоторых $L, p>0$ вблизи точки $a$ выполняется неравенство $\varphi (x) \geqslant 1-L(x-a)^{p}$ , то

A^{1 / p} \Phi (A) \geqslant \frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{p}\right)}{L^{1 / p}}+o(1) \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty ;

(б)

если $\frac{1-\varphi (x)}{(x-a)^{p}} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow a+0$ , то $A^{1 / p} \Phi (A) \rightarrow +\infty$ при $A \rightarrow +\infty$ ;

(в)

если при некоторых $l, p>0$ вблизи точки $a$ выполняется неравенство $\varphi (x) \leqslant 1-l(x-a)^{p}$ , то

A^{1 / p} \Phi (A) \leqslant \frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{p}\right)}{l^{1 / p}}+o(1) \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty ;

(г)

если $\frac{1-\varphi (x)}{(x-a)^{p}} \rightarrow +\infty$ при $x \rightarrow a+0$ , то

A^{1 / p} \Phi (A) \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty .

Задача VI.2.7

Пусть $1-\varphi (x) \underset {x \rightarrow a+0}{\sim } C(x-a)^{p}(C, p>0)$ . Докажите асимптотическую формулу Лапласа

\Phi (A)=\int _{a}^{b} \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{p}\right)}{(A C)^{1 / p}}

В частности,

\Phi (A) \sim \frac{1}{A C} \quad \text{ при } p=1, \quad \Phi (A) \sim \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi }{A C}} \quad \text{ при } p=2 .

Дополните формулу Лапласа, доказав, что для любого $q>-1$

\int _{a}^{b}(x-a)^{q} \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{1}{q+1} \frac{\Gamma \left(1+\frac{q+1}{p}\right)}{(A C)^{\frac{q+1}{p}}}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.8

Пусть $g \in C((a, b))$ и функция $g(x) \varphi^{A}(x)$ абсолютно интегрируема на $(a, b)$ , если $A$ достаточно велико. Докажите, что

\int _{a}^{b} f(x) \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow \infty }{\sim } \int _{a}^{b} g(x) \varphi ^{A}(x) d x, \quad \text{ если } f(x) \underset {x \rightarrow a+0}{\sim } g(x)

В частности, если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и $f(a) \neq 0$ , то для любого $\beta \in (a, b)$

\Phi (A)=\int _{a}^{b} f(x) \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\sim } f(a) \int _{a}^{\beta } \varphi ^{A}(x) d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.9

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)(н)(о)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ следующих интегралов:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1}\left(1-x^{p}\right)^{A} d x(p>0)$ ;

(б)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{\left(1+x^{p}\right)^{A}}(p>0)$ ;

(в)

$\int_{0}^{\pi / 2} x^{p} \cos^{A} x d x(p>-1)$ ;

(г)

$\int_{0}^{\pi / 2} x^{p} \sin^{A} x d x(p \in \mathbb {R})$ ;

(д)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}} d x$ ;

(е)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\cos x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}} d x$ ;

(ж)

$\int_{0}^{A} e^{x}(A-x)^{A} d x ;$

(з)

$\int_{0}^{+\infty } e^{A\left(x-x^{p}\right)} d x(p>1)$ ;

(и)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin x}{x^{p}} \cdot \frac{d x}{e^{A x}} \cdot (p<2)$ ;

(к)

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{e^{A \sqrt{\sin 2 x}}} d x$ ;

(л)

$\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{x \cos \left(\frac{\pi }{2} x\right)}{1-x^{5}} \cdot \frac{d x}{e^{A x^{2}}}$ ;

(м)

$\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{x \sin (\pi x)}{1-x^{1999}} \cdot \frac{d x}{e^{A x^{2}}}$ ;

(н)

$\int_{0}^{1} x^{A x} d x$ ;

(о)

$\int_{0}^{1}(A x)^{p x} d x \quad (p \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.2.10

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $n \rightarrow +\infty (n \in \mathbb {N})$ следующих интегралов:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\pi }(a+\cos x)^{n} d x(a>0)$ ;

(б)

$\int_{0}^{+\infty }\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{n} d x$ ;

(в)

$\int_{0}^{2}\left(1-4 x+2 x^{2}\right)^{n} \frac{d x}{\sqrt{x}}$ ;

(г)

$\int_{0}^{+\infty } \cos^{n} x \frac{d x}{e^{x}}$ .

Задача VI.2.11

Пусть $p, q, C>0$ и $r \in \mathbb {R}$ . Докажите, что

I(A)=\int _{0}^{+\infty } x^{r} e^{-C / x^{q}} e^{-A x^{p}} d x \sim \frac{C_{0}}{A^{\sigma }} e^{-\gamma (A)} \quad \text{ при } A \rightarrow +\infty

где $\sigma =\frac{1+r+\frac{q}{2}}{p+q}, \gamma (A)=(p+q)\left(\frac{C}{p}\right)^{\frac{p}{p+q}}\left(\frac{A}{q}\right)^{\frac{q}{p+q}}, C_{0}=\left(\frac{C q}{p}\right)^{\sigma } \sqrt{\frac{2 \pi }{C q(p+q)}}$ . В частности, при $A \rightarrow +\infty$

\int _{0}^{\infty } x^{r} e^{-C / x^{p}} e^{-A x^{p}} d x \sim \frac{\sqrt{\pi }}{p}\left(\frac{C}{A}\right)^{\frac{1+r}{2 p}} \frac{e^{-2 \sqrt{A C}}}{\sqrt[4]{A C}}

Отметим, что экспоненциальный множитель $e^{-\gamma (A)}$ не зависит от $r$ и, следовательно, этот параметр не влияет на асимптотику $\ln I(A)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.12

Вычислите интеграл

\int _{-\infty }^{+\infty } \frac{d x}{\left(x^{4}+4 x+4\right)^{100}}

с относительной погрешностью не более $10 \%$ . В следующих задачах рассматриваются интегралы $\Phi (A)=\int_{a}^{b} f_{A}(x) d x$ , где функция $f_{A}$ , не будучи теперь функцией вида, рассмотренного в задачах $2.5-2.8$ , сохраняет, однако, её характерную особенность: с ростом $A$ график функции $f_{A}$ имеет всё более резко выраженный «горб» в окрестности той точки $x_{A}$ , где $f_{A}$ достигает наибольшего значения. Хотя результат задачи 2.7 здесь не применим, тем не менее идея решения сохраняется: представив функцию $f_{A}$ в виде $e^{\ln f_{A}}$ и заменив в некоторой окрестности точки $x_{A}$ функцию $\ln f_{A}$ её тейлоровским разложением, а интеграл по промежутку $(a, b)$ — интегралом по окрестности точки $x_{A}$ , находим главную часть $\Phi (A)$ . Основную трудность при этом представляет выбор окрестности. С одной стороны, она должна быть не слишком большой, так как в противном случае скажется погрешность, вызванная применением формулы Тейлора. С другой стороны, для нейтрализации погрешности, возникающей при замене интеграла по промежутку ( $a, b$ ) интегралом по окрестности, её нельзя брать слишком малой. Удачный выбор окрестности, который позволил бы хорошо оценить обе указанные погрешности, и составляет главное содержание решения. Отметим также, что в случае, когда $x_{A} \rightarrow x_{0}$ при $A \rightarrow +\infty$ , может оказаться более удобным рассматривать тейлоровское разложение функции $\ln f_{A}$ в окрестности точки $x_{0}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.13

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{\infty }\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)^{A} \frac{d x}{e^{x \sqrt{A}}}$ ;

(б)

$\int_{0}^{A} e^{x^{p}}(A-x)^{A} d x(0<p<1)$ ;

(в)

$\int_{0}^{1 / e} e^{A / \ln x} d x$ ;

(г)

$\int_{0}^{1 / e}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right)^{A} d x$ .

Задача VI.2.14

(а)(б)

Докажите, что при $A \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1 / 2} x^{A x} d x \sim \frac{1}{A \ln A}$ ;

(б)

$\int_{0}^{1}\left|\ln x\right|^{p}(1-x)^{A} d x \sim \frac{\ln^{p} A}{A} \quad (p \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.2.15

Пусть функции $\psi , \theta$ строго возрастают и не превосходят 1 на $\left[0,1\right], \lim_{x \rightarrow 0} \psi (x)=\lim_{x \rightarrow 0} \theta (x)=0$ . Докажите, что если $\psi^{-1}(y) \sim \theta^{-1}(y)$ при $y \rightarrow +0$ , то

\int _{0}^{1}(1-\psi (x))^{A} d x \sim \int _{0}^{1}(1-\theta (x))^{A} d x \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.16

Пусть

\Psi (A)=\int _{a}^{b} f(x) e^{-A \psi (x)} d x \quad \text{ и } \quad \Theta (A)=\int _{a}^{b} f(x) e^{-A \theta (x)} d x

где функция $f$ неотрицательна и интегрируема, а функции $\psi$ и $\theta$ непрерывны и возрастают на $[a, b), \psi (a)=\theta (a)=0$ . Предположим, что

$\psi (x)-\theta (x)=O\left(\psi^{2}(x)\right)$ при $x \rightarrow a$ ;
интеграл $\Psi (A)$ не слишком быстро убывает к нулю:
$\ln \Psi (A)=o(\sqrt{A}) \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty .$

Докажите, что $\Psi (A) \sim \Theta (A)$ при $A \rightarrow +\infty$ . В частности, если $\psi <1$ , то, взяв $\theta =-\ln (1-\psi )$ , получим

\int _{a}^{b} f(x)(1-\psi (x))^{A} d x \sim \int _{a}^{b} f(x) e^{-A \psi (x)} d x \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

Можно ли ослабить условие 2), заменив его на $\ln \Phi (A)=O(\sqrt{A})$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.17

Пусть $f, \psi \in C((a, b)), \int_{a}^{b} f(x) d x<\infty , 0<\psi <1, \psi$ возрастает и $\psi (x)=O\left((x-a)^{p}\right)$ при $x \rightarrow a(p>0)$ . Докажите, что если функция $f$ положительна и не слишком мала вблизи точки $a$ , точнее, $\ln f(x)=o\left((x-a)^{-p}\right)$ при $x \rightarrow a$ , то

\int _{a}^{b} f(x)(1-\psi (x))^{A} d x \sim \int _{a}^{b} f(x) e^{-A \psi (x)} d x \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty .

В задачах 2.18-2.21 изучаются асимптотические свойства $\Gamma$ -функции Эйлера

\Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty } t^{x-1} e^{-t} d t, \quad x>0

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.18

Докажите формулу Стирлинга

\Gamma (1+x) \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \sqrt{2 \pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^{x}

Дополните этот результат, доказав, что для любого $r \in \mathbb {N}$

\Gamma ^{(r)}(1+x)=\Gamma (1+x) \ln ^{r} x\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{x} \ln x}\right)\right) \quad \text{ при } \quad x \rightarrow +\infty .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.19

Докажите, что $\Gamma (x+c) \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } x^{c} \Gamma (x)(c \in \mathbb {R})$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.20

Докажите, что $\int_{0}^{x} t^{x} e^{-t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{1}{2} \Gamma (1+x)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.21

(а)(б)(в)

Пусть $\varphi$ — положительная функция, определённая на $(0,+\infty )$ . Докажите, что при $x \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow \frac{1}{2}$ ;

(б)

$\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow +\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow 1$ ;

(в)

$\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow -\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow 0$ .

Задача VI.2.22

Пусть $f$ — канторова функция (см. задачу III.3.14 и текст перед ней). Докажите, что

\int _{0}^{1} f^{2^{n}}(t) d t \sim \frac{C}{3^{n}} \quad \text{ при } \quad n \rightarrow +\infty

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.2.23

Пусть $f$ — канторова функция. Докажите, что

\int _{0}^{1} t^{3^{n}} d f(t) \sim \frac{C}{2^{n}} \quad \text{ при } \quad n \rightarrow +\infty

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

VI.3 · Асимптотика сумм[41/88%]

Задача VI.3.1

(а)(б)(в)(г)

Пусть $Q>1, p, q \in \mathbb {R}$ . Докажите, что при $n \rightarrow +\infty$ справедливы соотношения

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{p} \ln^{q} k \sim \frac{n^{p+1}}{p+1} \ln^{q} n \quad (p>-1)$ ;

(б)

$\sum_{k \geqslant n} \frac{\ln^{q} k}{k^{p}} \sim \frac{\ln^{q} n}{(p-1) n^{p-1}} \quad (p>1)$ ;

(в)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{p} Q^{k} \sim \frac{Q}{Q-1} n^{p} Q^{n}$ ;

(г)

$\sum_{k \geqslant n} \frac{k^{p}}{Q^{k}} \sim \frac{Q}{Q-1} \frac{n^{p}}{Q^{n}}$ .

Задача VI.3.2

Пусть $\alpha >0$ и $x_{n}=\sum_{1 \leqslant k \leqslant n^{\alpha }} \frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k}$ . Докажите, что $x_{n} \sim \min (1, \alpha ) \ln n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.3

(а)(б)

Пусть $a_{n}>0, b_{n}=o\left(a_{n}\right), c_{n} \sim a_{n}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\sum a_{n}=+\infty$ , то

\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} b_{k}=o\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}\right), \quad \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} \sim \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} ;

(б)

если $\sum a_{n}<+\infty$ , то

\sum _{k \geqslant n} b_{k}=o\left(\sum _{k \geqslant n} a_{k}\right), \quad \sum _{k \geqslant n} c_{k} \sim \sum _{k \geqslant n} a_{k} .

Примечание.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Напомним, что $\sum a_{n}$ — обозначение ряда $\sum_{n \geqslant 1} a_{n}$ .

Задача VI.3.4

(а)(б)(в)(г)

Пусть $a_{n} \downarrow 0, p \geqslant 0, \alpha \in \mathbb {R}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha } a_{k}=O\left(n^{p}\right)$ , то $a_{n}=O\left(n^{p-\alpha -1}\right)$ ;

(б)

если $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha } a_{k}=o\left(n^{p}\right)$ , то $a_{n}=o\left(n^{p-\alpha -1}\right)$ ;

(в)

если $\quad \sum_{k \geqslant n} k^{\alpha } a_{k}=O\left(n^{-p}\right)$ , то $a_{n}=O\left(n^{-p-\alpha -1}\right)$ ;

(г)

если $\quad \sum_{k \geqslant n} k^{\alpha } a_{k}=o\left(n^{-p}\right)$ , то $a_{n}=o\left(n^{-p-\alpha -1}\right)$ .

Задача VI.3.5

(а)(б)(в)

Пусть $p>0, \alpha \in \mathbb {R}$ и $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha } x_{k} \sim n^{p}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $p>\alpha$ , то $S_{n}=x_{1}+\ldots +x_{n} \sim \frac{p}{p-\alpha } n^{p-\alpha }$ ;

(б)

если $p=\alpha$ , то $S_{n}=x_{1}+\ldots +x_{n} \sim p \ln n$ ;

(в)

если $p<\alpha$ , то ряд $\sum x_{n}$ сходится и $\sigma_{n}=\sum_{k \geqslant n} x_{k} \sim \frac{p}{\alpha -p} n^{p-\alpha }$ .

Задача VI.3.6

(а)(б)(в)

Пусть $p>0, \quad \alpha \in \mathbb {R} \quad$ и $\quad$ ряд $\sum k^{\alpha } x_{k} \quad$ сходится, причём $\sum_{k \geqslant n} k^{\alpha } x_{k} \sim n^{-p}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $p<-\alpha$ , то $S_{n}=x_{1}+\ldots +x_{n} \sim \frac{p}{\left|p+\alpha \right|} n^{\left|p+\alpha \right|}$ ;

(б)

если $p=-\alpha$ , то $S_{n}=x_{1}+\ldots +x_{n} \sim p \ln n$ ;

(в)

если $p>-\alpha$ , то ряд $\sum x_{n}$ сходится и $\sigma_{n}=\sum_{k \geqslant n} x_{k} \sim \frac{p}{p+\alpha } n^{-(p+\alpha )}$ .

Задача VI.3.7

(а)(б)

Пусть $a_{n}>0$ и $\sqrt[n]{a_{n}} \uparrow +\infty$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{p} a_{n} \sim n^{p} a_{n}$ ;

(б)

$\sum_{k \geqslant n} \frac{k^{p}}{a_{k}} \sim \frac{n^{p}}{a_{n}}$ .

Задача VI.3.8

(а)(б)

Пусть $a_{n} \downarrow 0, S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n} \sim \frac{n^{1-p}}{1-p}$ , где $0<p<1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что $a_{n} \sim n^{-p}$ .

(б)

Можно ли утверждать, что $a_{n} \sim \frac{1}{n}$ , если $S_{n} \sim \ln n$ ?

Задача VI.3.9

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}<+\infty$ , причём $\sum_{k \geqslant n} a_{k} \sim n^{-p}$ , где $p>0$ . Докажите, что $a_{n} \sim p n^{-1-p}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.10

(а)(б)

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\varlimsup_{\varepsilon \cdot \rightarrow +0} \frac{1}{\ln (1 / \varepsilon )} \sum a_{n}^{1+\varepsilon }=\varlimsup_{N \rightarrow \infty } \frac{1}{\ln \ln \left(1 / a_{N}\right)} \sum_{1 \leqslant n \leqslant N} a_{n}$ ;

(б)

$\overline{\lim }_{\varepsilon \rightarrow +0} \varepsilon \sum a_{n}^{1+\varepsilon } \leqslant \overline{\lim }_{N \rightarrow \infty } \frac{1}{\ln \left(1 / a_{N}\right)} \sum_{1 \leqslant n \leqslant N} a_{n} \leqslant e \overline{\lim }_{\varepsilon \rightarrow +0} \varepsilon \sum a_{n}^{1+\varepsilon }$ .

Можно ли уменьшить коэффициент $e$ в неравенстве б)?

Задача VI.3.11

Пусть $\alpha_{n}>0, \sum \alpha_{n}<+\infty$ и $f(t)=t \sum \frac{\alpha_{n}}{1+t^{2} \alpha_{n}}$ при $t \geqslant 0$ . Докажите, что поведение функции $f$ при $t \rightarrow +\infty$ тесно связано с поведением последовательности $\left\{ n \sqrt{\alpha_{n}}\right\}$ :

\frac{\pi }{2} \lim n \sqrt{\alpha _{n}} \leqslant \lim _{t \rightarrow +\infty } f(t) \leqslant \varlimsup _{t \rightarrow +\infty } f(t) \leqslant \frac{\pi }{2} \overline{\lim } n \sqrt{\alpha _{n}}

Кроме того,

\sup _{t \geqslant 0} f(t) \leqslant \frac{\pi }{2} \sup n \sqrt{\alpha _{n}}

причём коэффициент $\frac{\pi }{2}$ уменьшить нельзя.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.12

Пусть $f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательная невозрастающая функция, $h>0$ . Докажите, что

\lim _{h \rightarrow +0} h \sum f(k h)=\int _{0}^{+\infty } f(t) d t

Верно ли это, если функция $f$ непрерывна, но не монотонна?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.13

(а)(б)(в)

Определите асимптотику следующих сумм при $A \rightarrow +\infty$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{k \geqslant 1} \frac{1}{k^{2}+A^{2}}$ ;

(б)

$\sum_{k \geqslant 1} e^{-k^{2} / A^{2}}$ ;

(в)

$\sum_{k \geqslant 1} \frac{k^{p-1}}{k^{q}+A^{q}}(0<p<q)$ .

Задача VI.3.14

(а)(б)

Пусть функция $f$ неотрицательна и убывает на $[1,+\infty )$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\int_{1}^{+\infty } f(t) d t=+\infty$ , то

\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} f(k)=\int _{1}^{n+1} f(t) d t+C+o(1), \quad 0 \leqslant C \leqslant f(1)

в частности $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f(k) \sim \int_{1}^{n} f(t) d t$ ;

(б)

если $\int_{1}^{+\infty } f(t) d t<+\infty$ , то

\sum _{k \geqslant n} f(k)=\int _{n}^{+\infty } f(t) d t+O(f(n))

в частности, если $f(x)=o\left(\int_{x}^{+\infty } f(t) d t\right)$ при $x \rightarrow +\infty$ , то

\sum _{k \geqslant n} f(k) \sim \int _{n}^{+\infty } f(t) d t

Задача VI.3.15

Если функция $f$ монотонна на $\left[m, n\right](m, n \in \mathbb {Z})$ , то

\left|\sum _{m \leqslant k \leqslant n} f(k)-\int _{m}^{n} f(t) d t\right| \leqslant \max (\left|f(n)\right|,\left|f(m)\right|)

В частности, если функция $f$ монотонна на $[1, \infty ), \int_{1}^{\infty } f(t) d t=+\infty$ и

f(x)=o\left(\int _{1}^{x} f(t) d t\right) \text{ при } x \rightarrow +\infty , \text{ то } \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} f(k) \sim \int _{1}^{n} f(t) d t .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.16

(а)(б)(в)

Пусть $M, N \in \mathbb {Z}, M \leqslant N$ , функция $f$ (вообще говоря, комплекснозначная) интегрируема на промежутке $\left[M-\frac{1}{2}, N+\frac{1}{2}\right]$ , и пусть

\Delta =\sum _{M \leqslant k \leqslant N} f(k)-\int _{M-1 / 2}^{N+1 / 2} f(t) d t

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что $\left|\Delta \right| \leqslant \frac{1}{2} \underset {M-\frac{1}{2}}{\stackrel{N+\frac{1}{2}}{\mathrm{~ V}}}(f)$ . В частности, если $f$ монотонна, то

\left|\Delta \right| \leqslant \frac{1}{2}\left|f\left(N+\frac{1}{2}\right)-f\left(M-\frac{1}{2}\right)\right| .

(б)

Если $f \in C^{1}\left(\left[M-\frac{1}{2}, N+\frac{1}{2}\right]\right)$ , то

\Delta =\int _{M-1 / 2}^{N+1 / 2}\left(t-\left[t\right]-\frac{1}{2}\right) f^{\prime }(t) d t

(в)

Если $f \in C^{2}\left(\left[M-\frac{1}{2}, N+\frac{1}{2}\right]\right)$ , то

\Delta =-\frac{1}{2} \int _{M-1 / 2}^{N+1 / 2}\left(t-\left[t\right]-\frac{1}{2}\right)^{2} f^{\prime \prime }(t) d t

и следовательно, $\left|\Delta \right| \leqslant \frac{1}{8} \int_{M-1 / 2}^{N+1 / 2}\left|f^{\prime \prime }(t)\right| d t$ . В частности, если $f$ выпукла или вогнута, то $\left|\Delta \right| \leqslant \frac{1}{8}\left|f^{\prime }\left(N+\frac{1}{2}\right)-f^{\prime }\left(M-\frac{1}{2}\right)\right|$ .

Задача VI.3.17

Пусть $f(p)=\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}$ при $p>0$ . Докажите, что

f(p)=\frac{1}{2}+O(p) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.18

Докажите, что при $p \rightarrow +0$

\sum _{n \geqslant 1} \frac{1}{n^{p+1}}=\frac{1}{p}+\gamma +o(1) \quad (\gamma -\text{ постоянная Эйлера }) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.19

Докажите, что

\begin{aligned} \prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{k}}\right) & \sim A \frac{\exp (2 \sqrt{n})}{\sqrt{n}}, \\ \prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{k}}\right) & \sim B \sqrt[3]{n} \exp \left(\frac{3}{2}\left(n^{2 / 3}-n^{1 / 3}\right)\right) \end{aligned}

для некоторых положительных чисел $A$ и $B$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.20

Пусть $\alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {N}$ . Докажите, что

\binom {n-\alpha }{n}=\frac{(n-\alpha )(n-\alpha -1) \ldots (1-\alpha )}{n!} \sim \frac{C_{\alpha }}{n^{\alpha }} \quad \left(C_{\alpha } \neq 0\right) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.21

(а)(б)(в)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sqrt[n^{2}]{1 \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \ldots n^{n}} \sim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[4]{e}}$ ;

(б)

$\sqrt[n^{3}]{1!\cdot (2!)^{2} \cdot (3!)^{3} \ldots (n!)^{n}} \sim \frac{\sqrt[3]{n}}{e^{4 / 9}}$ ;

(в)

$\sqrt[n]{1 \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \ldots n^{n}} \sim \left(\frac{n}{\sqrt{e}}\right)^{n / 2} \sqrt{n}$ .

Задача VI.3.22

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\alpha >0$ . Докажите, что при $n \rightarrow +\infty (n \in \mathbb {N})$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha k / n} \sim \frac{n^{1+\alpha }}{\alpha \ln n}$ ;

(б)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{-\alpha k / n} \sim \frac{n}{\alpha \ln n}$ ;

(в)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}(k!)^{-\alpha / n} \sim \frac{n}{\alpha \ln n}$ ;

(г)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha n} \sim \frac{n^{\alpha n}}{1-e^{-\alpha }}$ .

Задача VI.3.23

Докажите, что $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{n^{k}}{k!} \sim \frac{1}{2} e^{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.24

(а)(б)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sqrt{C_{n}^{k}} \sim \sqrt[4]{2 \pi n} 2^{n / 2}$ ;

(б)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} C_{n}^{k} \sqrt{\left|2 k-n\right|} \sim \frac{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\sqrt{\pi }} \sqrt[4]{2 n} 2^{n}$ .

Задача VI.3.25

Пусть $N \in \mathbb {N}$ и $x>0$ . Докажите, что

\sum _{n \geqslant N} e^{-x \sqrt{n}}=\left(\frac{2}{x} \sqrt{N-\frac{1}{2}}+\frac{2}{x^{2}}+O\left(\frac{x}{\sqrt{N}}\right)\right) e^{-x \sqrt{N-1 / 2}}

где постоянная в оценке $O$ -члена не зависит от $x$ и $N$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.26

(а)(б)(в)

Пусть последовательность чисел $\left\{ x_{n}\right\}$ такова, что $\frac{x_{n}}{\sqrt{n}} \rightarrow C$ , $0 \leqslant C \leqslant +\infty$ . Найдите асимптотику суммы

\alpha _{N}=\sum _{n \geqslant N} e^{-x_{N} \sqrt{n}}

в следующих случаях:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$C=0$ ;

(б)

$C=+\infty$ ;

(в)

$0<C<+\infty$ .

Задача VI.3.27

Пусть $p>0$ и $S(x)=\sum_{k=0}^{\left[x\right]}(x-k)^{p}$ . Докажите, что при некотором $C>0$ для всех $x>0$ справедливо неравенство

\left|S(x)-\frac{1}{p+1} x^{p+1}\right| \leqslant C x^{p} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.28

Пусть $\psi \in C^{1}([a,+\infty )), \psi , \psi^{\prime }>0$ и $\psi =O\left(\psi^{\prime }\right)$ на $[a,+\infty )$ . Докажите, что

\int _{a}^{+\infty } e^{-\varepsilon \psi (t)} d t=\psi ^{-1}\left(\frac{1}{\varepsilon }\right)+O(1) \quad \text{ при } \quad \varepsilon \rightarrow +0

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.29

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Найдите асимптотику при $t \rightarrow 1-0$ сумм рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \frac{1}{n} t^{\ln^{p} n}(p>0)$ ;

(б)

$\sum t^{\ln^{p} n} \quad (p>1)$ ;

(в)

$\sum t^{n^{p}} \quad (p>0)$ ;

(г)

$\sum t^{a^{n}} \quad (a>1)$ ;

(д)

$\sum t^{(a n)^{n}}(a>0)$ ;

(е)

$\sum t^{n!}$ .

Задача VI.3.30

(а)(б)

Найдите асимптотику при $t \rightarrow 1-0$ сумм рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum n^{p} t^{n}(p>-1)$ ;

(б)

$\sum_{n \geqslant 2}(\ln n)^{p} t^{n}(p \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.3.31

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)

Найдите асимптотику при $t \rightarrow 1-0$ сумм рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \frac{t^{n}}{1+t^{n}}$ ;

(б)

$\sum \frac{n t^{n}}{1+t^{n}}$ ;

(в)

$\quad \sum \frac{t^{n}}{\left(1+t^{n}\right)^{2}}$ ;

(г)

$\quad \sum \frac{n t^{n}}{\left(1+t^{n}\right)^{2}}$ ;

(д)

$\sum \frac{t^{n}}{1-t^{n}}$ ;

(е)

$\sum \frac{n t^{n}}{1-t^{n}}$ ;

(ж)

$\sum \frac{t^{n}}{\left(1-t^{n}\right)^{2}}$ ;

(з)

$\sum \frac{n t^{n}}{\left(1-t^{n}\right)^{2}}$ ;

(и)

$\quad \sum \frac{(-1)^{n} t^{n}}{1-t^{n}}$ ;

(к)

$\quad \sum \frac{(-1)^{n} n t^{n}}{1-t^{n}}$ ;

(л)

$\quad \sum \frac{(-1)^{n} t^{n}}{\left(1-t^{n}\right)^{2}}$ ;

(м)

$\quad \sum \frac{(-1)^{n} n t^{n}}{\left(1-t^{n}\right)^{2}}$ .

Задача VI.3.32

(а)(б)(в)(г)(д)

Найдите асимптотику при $t \rightarrow 1-0$ сумм рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \frac{t^{n}}{1+t^{2 n}}$ ;

(б)

$\sum \frac{t^{n}}{\left(1+t^{2 n}\right)^{2}}$ ;

(в)

$\quad \sum \frac{n t^{n}}{1-t^{2 n}}$ ;

(г)

$\quad \sum \frac{t^{n}}{1-t^{2 n}}$ ;

(д)

Задача VI.3.33

Пусть $\tau (k)$ — число делителей натурального числа $k$ . Докажите, что

\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} \tau (k)=n(\ln n+2 \gamma -1)+O(\sqrt{n}) .

Здесь $\gamma$ — константа Эйлера (см. задачу II.2.8).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.34

(а)(б)

Найдите асимптотику при $t \rightarrow 1-0$ сумм рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$T(t)=\sum \tau (n) t^{n}$ ,

(б)

$S(t)=\sum \sigma (n) t^{n}$ , $(\tau (n)$ — число делителей, $\sigma (n)$ — сумма делителей числа $n$ ).

Задача VI.3.35

(а)(б)

Пусть гладкая функция $\varphi$ выпукла или вогнута на $[1,+\infty )$ , $\lim_{x \rightarrow +\infty } \varphi (x)=+\infty$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\ln \varphi (x)=o(x)$ при $x \rightarrow +\infty$ , то

\sum \varphi (n) t^{n} \sim \frac{1}{1-t} \sum \varphi ^{\prime }(n) t^{n} \quad (t \rightarrow 1-0) ;

(б)

если $\varphi (x)=O(x)$ при $x \rightarrow +\infty$ , то

\sum \varphi (n) t^{n}=\frac{1}{1-t}\left(\sum \varphi ^{\prime }(n) t^{n}+C+o(1)\right) \quad (t \rightarrow 1-0),

где $C=\lim \left(\varphi (n)-\left(\varphi^{\prime }(1)+\ldots +\varphi^{\prime }(n)\right)\right)$ . В частности, взяв $\varphi (x)=\ln x$ , получим уточнение результата задачи 3.30 б) при $p=1$ :

\sum t^{n} \ln n=\left|\ln (1-t)\right|-\gamma +o(1)

Задача VI.3.36

(а)(б)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ сумм ( $C>0$ )

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum e^{-C n}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{A}$ ;

(б)

$\sum e^{-C n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{A}$ .

Задача VI.3.37

(а)(б)

Пусть $1<b<a$ . Докажите, что при $s \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{n \geqslant 1} \frac{b^{n}}{a^{n}+a^{s}} \sim \left(\frac{b}{a}\right)^{s} \varphi (s)$ ;

(б)

$\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{a^{n} \operatorname {sh}\left(b^{s-n}\right)} \sim \frac{\psi (s)}{a^{s}}$ ,

где $\varphi , \psi -1$ -периодические положительные гладкие функции:

\varphi (s)=\sum _{k \in \mathbb {Z}} \frac{b^{k-s}}{1+a^{k-s}}, \quad \psi (s)=\sum _{k \in \mathbb {Z}} \frac{a^{k-s}}{\operatorname {sh}\left(b^{k-s}\right)} .

Чему равно среднее значение функции $\psi$ при $a=b^{2}$ ?

Задача VI.3.38

Найдите асимптотику суммы

S_{m}=\sum _{n \geqslant 0} \frac{1}{2^{n}}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)^{2^{m}}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.39

Докажите, что

\max _{x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1} \sum _{k=1}^{n}\left(x_{1}+\frac{x_{2}}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{x_{k}}{\sqrt{k}}\right)^{2} \underset {n \rightarrow +\infty }{\sim } n \ln n .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.3.40

(а)(б)(в)

Пусть $s>1,\left\{ p_{k}\right\}$ — последовательность всех простых чисел, занумерованных в порядке возрастания. Для нечётного номера $2 n+1$ положим $\varphi (2 n+1)=(-1)^{n}$ .

Рассуждая так же, как при решении задач I.2.11 б) и I.2.12 б), докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\prod_{k \geqslant 2}\left(1-\frac{\varphi \left(p_{k}\right)}{p_{k}^{s}}\right)^{-1}=\sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)^{s}}$ ;

(б)

$\sum_{k \geqslant 1} \frac{\varphi \left(p_{k}\right)}{p_{k}^{s}}=O(1)$ .

(в)

С помощью результата задачи I.2.12б) выведите отсюда асимптотические соотношения

\sum _{p_{k}=1 \bmod 4} \frac{1}{p_{k}^{s}} \underset {s \rightarrow 1}{\sim } \frac{1}{2} \ln \frac{1}{s-1}, \quad \sum _{p_{k}=-1 \bmod 4} \frac{1}{p_{k}^{s}} \underset {s \rightarrow 1}{\sim } \frac{1}{2} \ln \frac{1}{s-1} .

Из п. в) следует, что каждая из арифметических прогрессий $\left\{ 4 m \pm 1\right\}$ содержит бесконечно много простых чисел. Это частный случай знаменитой теоремы Дирихле, согласно которой любая арифметическая прогрессия $\left\{ a m+b\right\}$ с взаимно простыми натуральными $a$ и $b$ содержит бесконечно много простых чисел (см. [ГЛ], [Ка], [Тр]). Интересные сведения, связанные с этой теоремой, можно найти в $[\mathrm{Kn}]$ . Видно также, что прогрессии $\left\{ 4 m \pm 1\right\}$ содержат «примерно поровну» простых чисел. Этот результат (а также задачу I.2.15) можно дополнить следующими асимптотическими соотношениями.

Задача VI.3.41

Докажите, что

\sum _{\substack {p_{k}=1 \bmod 4 \\ p_{k} \leqslant N}} \frac{1}{p_{k}} \underset {N \rightarrow \infty }{\sim } \frac{\ln \ln N}{2}, \quad \sum _{\substack {p_{k}=-1 \bmod 4 \\ p_{k} \leqslant N}}^{\frac{1}{p_{k}}} \underset {N \rightarrow \infty }{\sim } \frac{\ln \ln N}{2} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

VI.4 · Асимптотика неявных функций и рекуррентных последовательностей[19/89%]

Задача VI.4.1

Пусть $y(x)=\int_{x}^{+\infty } e^{-t^{2} / 2} d t(x \in \mathbb {R}), x(y)$ — обратная к $y(x)$ функция. Докажите, что $x(y) \underset {y \rightarrow +0}{\sim } \sqrt{2 \ln \frac{1}{y}}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.2

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Докажите, что каждое из следующих уравнений определяет в некоторой окрестности точки $\left(x_{0}, c_{0}\right)$ бесконечно дифференцируемую неявную функцию $y$ , и найдите первые $n$ коэффициентов разложения $y(x)=c_{0}+c_{1}\left(x-x_{0}\right)+\ldots +c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\ldots$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$y e^{y}-x=0$ , $x_{0}=c_{0}=0, \quad n=3 ;$

(б)

$y^{2}+\ln^{2} y-x=0$ , $x_{0}=c_{0}=1, \quad n=3$ ;

(в)

$x y+e^{x y}-x=0$ , $x_{0}=1, c_{0}=0$ , $n=3 ;$

(г)

$y \ln y-x=0$ , $x_{0}=0, c_{0}=1$ , $n=3 ;$

(д)

$e^{x y}+x^{2}+y-1=0$ , $x_{0}=c_{0}=0$ , $n=6 ;$

(е)

$\operatorname {arctg}(x+y)-x-2 y=0$ , $x_{0}=c_{0}=0$ , $n=6$ .

Задача VI.4.3

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Убедитесь в том, что область определения неявных функций, рассматриваемых в задаче 4.2 , содержит полуось $\left[x_{0},+\infty \right)$ , и докажите, что при $x \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$y(x)=\ln x-\ln \ln x+c_{1} a_{1}(x)+c_{2} a_{2}(x)+O\left(\frac{a_{2}(x)}{\ln \ln x}\right)$ ;

(б)

$y(x)=\sqrt{x}\left(c_{0}+c_{1} a_{1}(x)+c_{2} a_{2}(x)+O\left(\frac{a_{2}(x)}{\ln x}\right)\right)$ ;

(в)

$y(x)=\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x}\left(c_{1} a_{1}(x)+c_{2} a_{2}(x)+O\left(\frac{a_{2}(x)}{\ln x}\right)\right)$ ;

(г)

$y(x)=\frac{x}{\ln x}\left(c_{0}+c_{1} a_{1}(x)+c_{2} a_{2}(x)+O\left(\frac{a_{2}(x)}{\ln \ln x}\right)\right)$ , где $c_{0}, c_{1}, c_{2}$ — постоянные, а $a_{k}$ — функции вида $\frac{(\ln x)^{m}}{x^{n}}$ или $\frac{(\ln \ln x)^{m}}{\ln^{n} x}$ при надлежащих $m, n \in \mathbb {N}$ ;

(д)

$y(x)=-x^{2}+1-e^{x-x^{3}}+O\left(x e^{2\left(x-x^{3}\right)}\right)$ ;

(е)

$y(x)=-\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}-\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ .

Задача VI.4.4

(а)(б)(в)

Докажите, что уравнение $y^{x}+y=1$ определяет при всех $x>0$ единственную неявную функцию $y$ и что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$y \in C^{\infty }((0, \infty )), 0<y<1, y^{\prime }>0$ ;

(б)

$y(x)=x\left|\ln x\right|+x \ln \left|\ln x\right|+o(x)$ при $x \rightarrow +0$ ;

(в)

$y(x)=1-\frac{\ln x}{x}+\frac{\ln \ln x}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ при $x \rightarrow +\infty$ .

Задача VI.4.5

Сколько существует непрерывных решений $y$ уравнения $x^{5}+x^{2} y=y^{3}$ , стремящихся к нулю при $x \rightarrow 0$ ? Какова их асимптотика при $x \rightarrow 0$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.6

Докажите, что уравнение Кеплера $y=M+x \sin y$ , где $M$ — фиксированный положительный параметр, определяет в окрестности точки $(0, M)$ бесконечно дифференцируемую функцию $y$ , причём

y(x)=M+x \sin M+\frac{1}{2} x^{2} \sin 2 M+O\left(x^{3}\right) \quad \text{ при } \quad x \rightarrow 0 .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.7

Задача про «земной шар в авоське». Земной шар опоясали нерастяжимой нитью. Затем нить удлинили на 1 см и натянули, потянув за узелок. Вычислите высоту, на которую он поднялся, с относительной погрешностью не более одной десятитысячной процента (радиус шара считаем равным $6400 к м$ ).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.8

Найдите производные по $\varepsilon$ длин полуосей эллипсоида $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x=1+\varepsilon x y$ при $\varepsilon =0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.9

(а)(б)

Пусть $x_{n}$ — корень уравнения $x=\operatorname {tg} x$ , лежащий в интервале ( $\pi n, \pi n+\pi$ ), $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{n}=\pi \left(n+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{\pi n}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ ;

(б)

$-\frac{1}{\pi \left(n+\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{(\pi n)^{3}}<x_{n}-\pi \left(n+\frac{1}{2}\right)<-\frac{1}{\pi \left(n+\frac{1}{2}\right)}$ .

Задача VI.4.10

Пусть $x_{n}=h\left(x_{n-1}\right)$ , где $h(x)=\frac{x}{\left(1+a x^{p}\right)^{1 / p}}$ при $x \geqslant 0(a, p$ — положительные постоянные, $n \in \mathbb {N}, x_{0}>0$ ). Докажите, что $x_{n} \sim (a n)^{-1 / p}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.11

Пусть $x_{0}=10^{-3}, x_{n}=x_{n-1}-x_{n-1}^{2} \quad (n \in \mathbb {N})$ . Докажите, что $x_{1000} \approx \frac{1}{2} 10^{-3}$ с точностью $10^{-6}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.12

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Найдите асимптотику рекуррентных последовательностей $x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)\left(n \in \mathbb {N}, x_{0}>0\right)$ в следующих случаях:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x)=x(1-x), x_{0}<1$ ;

(б)

$f(x)=\sin x, x_{0}<\pi$ ;

(в)

$f(x)=\frac{x}{1+x^{3}}$ ;

(г)

$f(x)=\operatorname {arctg} x$ ;

(д)

$f(x)=\ln (1+x)$ ;

(е)

$f(x)=1-e^{-x}$ ;

(ж)

$f(x)=\frac{x}{1+\sqrt{x}}$ ;

(з)

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{4}}}$ .

Задача VI.4.13

(а)(б)

Пусть $C, p, x_{0}>0$ и $x_{n}=x_{n-1}+C x_{n-1}^{1-p}(n \in \mathbb {N})$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{n} \sim (C p n)^{1 / p}$ ;

(б)

$x_{n}=(C p n)^{1 / p}\left(1+\frac{p-1}{2 p^{2}} \frac{\ln n}{n}+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ .

Задача VI.4.14

Постройте такую положительную на ( $0,+\infty$ ) функцию $f$ , что последовательность $x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)\left(n \in \mathbb {N}, x_{0}>0\right)$ удовлетворяет соотношению $x_{n} \sim \frac{1}{\ln n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.15

(а)(б)

Найдите асимптотику рекуррентных последовательностей в следующих случаях ( $n \in \mathbb {N}, x_{0}>0$ ):

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{n}=x_{n-1}+\ln \left(n+x_{n-1}^{2}\right)$ ;

(б)

$x_{n}=x_{n-1}+\frac{\ln n}{x_{n-1}^{2}}$ .

Задача VI.4.16

Пусть $\quad x_{0} \in (-1,2), \quad x_{n}=x_{n-1}\left(x_{n-1}-1\right) \quad (n \in \mathbb {N})$ . Найдите асимптотику последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.17

Пусть $x_{0}=1, x_{n}=x_{n-1}+\left(\sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}\right)^{-1}(n \in \mathbb {N})$ . Докажите, что $x_{n} \sim \sqrt{2 \ln n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.18

Пусть $\left|p\right|<1, x_{0}=1, x_{n}=x_{n-1}+\left(\sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}\right)^{-p}(n \in \mathbb {N})$ . Найдите асимптотику последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VI.4.19

Пусть $p \in \mathbb {R}, x_{0}=1, x_{n}=x_{n-1}+\left(\sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}^{p}\right)^{-1}(n \in \mathbb {N})$ . Найдите асимптотику последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику