Банк задач по математике

Задача VI.2.1

Пусть $f \in C\left(\left[0, \frac{\pi }{2}\right]\right)$ . Найдите предел

\lim _{n \rightarrow +\infty } n \int _{0}^{\pi / 2} x f(x) \cos ^{n} x d x

?

Задача VI.2.2

(а)(б)

Пусть $c>0$ и $I_{c}=\int_{0}^{c} e^{-t^{2}} d t$ . Докажите, что при $A \rightarrow +\infty$

?

(а)

$\int_{0}^{c / \sqrt{A}}\left(1-x^{2}\right)^{A} d x \sim \frac{I_{c}}{\sqrt{A}}$ ;

(б)

$\int_{0}^{c / \sqrt{A}} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}} \sim \frac{I_{c}}{\sqrt{A}}$ .

Задача VI.2.3

Пусть $c>0$ . Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интеграла

\int _{0}^{c / \sqrt{A}} \cos ^{A} x d x

?

Задача VI.2.4

Убедитесь в том, что асимптотика при $A \rightarrow +\infty$ следующих интегралов не зависит от параметра $c>0$ :

?

(а)

$\int_{0}^{c}\left(1-x^{2}\right)^{A} d x \quad (c \leqslant 1)$ ;

(б)

$\int_{0}^{c} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}}$ ;

(в)

$\int_{0}^{c} \cos^{A} x d x \quad \left(c \leqslant \frac{\pi }{2}\right)$ ;

(г)

$\int_{0}^{c} \frac{d x}{\left(1+x+x^{2}\right)^{A}}$ ;

(д)

$\int_{0}^{c}\left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{A} d x$ ;

(е)

$\int_{0}^{c}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{A} d x \quad (c \leqslant \pi )$ ;

(ж)

$\int_{1}^{1+c} x^{-A x} d x$ ;

(з)

$\int_{0}^{c} \ln^{A}(e-x) d x \quad (c \leqslant e-1)$ .

Характерная особенность задач $2.1-2.4$ заключается в явлении локализации - асимптотика интеграла зависит от поведения подынтегральной функции лишь в окрестности одной точки. Этот эффект отчетливо проявляется и в более общем случае при изучении важных интегралов вида

\Phi (A)=\int _{a}^{b} f(x) \varphi ^{A}(x) d x

где функции $f$ и $\varphi$ неотрицательны и $\varphi$ кусочно монотонна. При больших значениях параметра $A$ график функции $\varphi^{A}$ имеет резко выраженные «горбы» в окрестностях тех точек, в которых функция $\varphi$ имеет строгий локальный максимум. Разбивая при необходимости промежуток $\left[a, b\right]$ на несколько промежутков, можно считать, что $\varphi$ монотонна на $\left[a, b\right]$ . При этом достаточно рассмотреть лишь случай, когда $\varphi$ убывает. Тогда значения функции $\varphi^{A}$ в точках, далёких от точки $a$ , пренебрежимо малы по сравнению с её значениями в точках, близких к $a$ , которые и дают основной вклад в интеграл $\Phi (A)$ . Для нахождения главной части $\Phi (A)$ остаётся аппроксимировать в окрестности точки $a$ функции $f$ и $\varphi$ более простыми и вычислить получившийся интеграл. В реализации изложенной схемы и заключается метод Лапласа исследования интегралов вида $\Phi (A)$ , а также их модификаций. Чаще всего встречается случай, когда разность $\varphi (a)-\varphi (x)$ является бесконечно малой степенного типа, т. е.

\varphi (a)-\varphi (x) \underset {x \rightarrow a+0}{\sim } C(x-a)^{p} \quad (C, p>0) .

Он исследуется в задаче 2.7. Получающийся при этом результат называют асимптотической формулой Лапласа (в задаче 2.7 ради краткости формулировки предположено, что $\varphi (a)=1$ и $f \equiv 1$ ). Читатель без труда сформулирует аналогичное утверждение, если функция $\varphi$ возрастает на $\left[a, b\right]$ и

\varphi (b)-\varphi (x) \underset {x \rightarrow b-0}{\sim } C(b-x)^{p} .

Отсюда сразу вытекает асимптотическая формула Лапласа и для кусочно монотонной функции.

Подходящей заменой переменной в интеграле $\Phi (A)$ можно случай с непостоянной неотрицательной функцией $f$ свести к случаю $f \equiv 1$ (в качестве новой переменной надо взять первообразную $\int_{a}^{x} f(t) d t$ ). Результат задачи 2.8 позволяет существенно уменьшить возникающие при этом технические трудности.

В задачах 2.5-2.8 мы будем предполагать, что $\varphi$ — положительная невозрастающая функция на промежутке $[a, b)(-\infty <a<b \leqslant +\infty )$ , причём $\varphi (a)=\lim_{x \rightarrow a+0} \varphi (x)=1$ — строгий максимум $\varphi$ на $[a, b)$ . Будем считать также, что $f \in C((a, b)), f \geqslant 0$ на $(a, b)$ и $f \not\equiv 0$ вблизи точки $a$ , а интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \varphi^{A}(x) d x$ конечен для достаточно больших $A$ .

Задача VI.2.5

Докажите следующие свойства интеграла $\Phi (A)=\int_{a}^{b} f(x) \varphi^{A}(x) d x$ при $A \rightarrow +\infty$ :

?

(а)

$\boldsymbol {\Phi }(A)$ убывает к нулю;

(б)

$\Phi (A)$ не может экспоненциально убывать: $\ln \Phi (A)=o(A)$ ;

(в)

усилить утверждение б), вообще говоря, нельзя: для любой функции $\omega (A)$ , убывающей к нулю при $A \rightarrow +\infty$ , и такой, что $\ln \omega (A)=o(A)$ , найдётся такая неотрицательная убывающая на $[0,1)$ функция $\varphi , \lim_{x \rightarrow 0} \varphi (x)=1$ , что $\int_{0}^{1} \varphi^{A}(x) d x=o(\omega (A))$ ;

(г)

$\Phi (A)$ может убывать сколь угодно медленно: для любой функции $\omega (A)$ , убывающей к нулю при $A \rightarrow +\infty$ , существует такая функция $\varphi$ , что $\int_{a}^{b} \varphi^{A}(x) d x \geqslant \omega (A)$ для достаточно больших $A$ ;

(д)

асимптотика $\Phi (A)$ определяется поведением функций $\varphi$ и $f$ в сколь угодно малой окрестности точки $a$ :

\Phi (A) \sim \int _{a}^{\beta } f(x) \varphi ^{A}(x) d x \quad \text{ для любого числа } \beta \in (a, b) ;

(е)

$\Phi (A) \sim \Phi (A+H)$ для любого числа $H \in \mathbb {R}$ .

Заметим, что утверждение е) позволяет, не умаляя общности, считать, что $\int_{a}^{b} f(x) d x<\infty$ , так как в противном случае, не меняя асимптотики интеграла $\Phi (A)$ , функцию $f(x)$ можно заменить на $f(x) \varphi^{H}(x)$ при достаточно большом $H$ .

Задача VI.2.6

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\Phi (A)=\int_{a}^{b} \varphi^{A}(x) d x$ . Докажите, что

?

(а)

если при некоторых $L, p>0$ вблизи точки $a$ выполняется неравенство $\varphi (x) \geqslant 1-L(x-a)^{p}$ , то

A^{1 / p} \Phi (A) \geqslant \frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{p}\right)}{L^{1 / p}}+o(1) \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty ;

(б)

если $\frac{1-\varphi (x)}{(x-a)^{p}} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow a+0$ , то $A^{1 / p} \Phi (A) \rightarrow +\infty$ при $A \rightarrow +\infty$ ;

(в)

если при некоторых $l, p>0$ вблизи точки $a$ выполняется неравенство $\varphi (x) \leqslant 1-l(x-a)^{p}$ , то

A^{1 / p} \Phi (A) \leqslant \frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{p}\right)}{l^{1 / p}}+o(1) \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty ;

(г)

если $\frac{1-\varphi (x)}{(x-a)^{p}} \rightarrow +\infty$ при $x \rightarrow a+0$ , то

A^{1 / p} \Phi (A) \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty .

Задача VI.2.7

Пусть $1-\varphi (x) \underset {x \rightarrow a+0}{\sim } C(x-a)^{p}(C, p>0)$ . Докажите асимптотическую формулу Лапласа

\Phi (A)=\int _{a}^{b} \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{p}\right)}{(A C)^{1 / p}}

В частности,

\Phi (A) \sim \frac{1}{A C} \quad \text{ при } p=1, \quad \Phi (A) \sim \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi }{A C}} \quad \text{ при } p=2 .

Дополните формулу Лапласа, доказав, что для любого $q>-1$

\int _{a}^{b}(x-a)^{q} \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{1}{q+1} \frac{\Gamma \left(1+\frac{q+1}{p}\right)}{(A C)^{\frac{q+1}{p}}}

?

Задача VI.2.8

Пусть $g \in C((a, b))$ и функция $g(x) \varphi^{A}(x)$ абсолютно интегрируема на $(a, b)$ , если $A$ достаточно велико. Докажите, что

\int _{a}^{b} f(x) \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow \infty }{\sim } \int _{a}^{b} g(x) \varphi ^{A}(x) d x, \quad \text{ если } f(x) \underset {x \rightarrow a+0}{\sim } g(x)

В частности, если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и $f(a) \neq 0$ , то для любого $\beta \in (a, b)$

\Phi (A)=\int _{a}^{b} f(x) \varphi ^{A}(x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\sim } f(a) \int _{a}^{\beta } \varphi ^{A}(x) d x

?

Задача VI.2.9

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ следующих интегралов:

?

(а)

$\int_{0}^{1}\left(1-x^{p}\right)^{A} d x(p>0)$ ;

(б)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{\left(1+x^{p}\right)^{A}}(p>0)$ ;

(в)

$\int_{0}^{\pi / 2} x^{p} \cos^{A} x d x(p>-1)$ ;

(г)

$\int_{0}^{\pi / 2} x^{p} \sin^{A} x d x(p \in \mathbb {R})$ ;

(д)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}} d x$ ;

(е)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\cos x}{\left(1+x^{2}\right)^{A}} d x$ ;

(ж)

$\int_{0}^{A} e^{x}(A-x)^{A} d x ;$

(з)

$\int_{0}^{+\infty } e^{A\left(x-x^{p}\right)} d x(p>1)$ ;

(и)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin x}{x^{p}} \cdot \frac{d x}{e^{A x}} \cdot (p<2)$ ;

(к)

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{e^{A \sqrt{\sin 2 x}}} d x$ ;

(л)

$\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{x \cos \left(\frac{\pi }{2} x\right)}{1-x^{5}} \cdot \frac{d x}{e^{A x^{2}}}$ ;

(м)

$\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{x \sin (\pi x)}{1-x^{1999}} \cdot \frac{d x}{e^{A x^{2}}}$ ;

(н)

$\int_{0}^{1} x^{A x} d x$ ;

(о)

$\int_{0}^{1}(A x)^{p x} d x \quad (p \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.2.10

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $n \rightarrow +\infty (n \in \mathbb {N})$ следующих интегралов:

?

(а)

$\int_{0}^{\pi }(a+\cos x)^{n} d x(a>0)$ ;

(б)

$\int_{0}^{+\infty }\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{n} d x$ ;

(в)

$\int_{0}^{2}\left(1-4 x+2 x^{2}\right)^{n} \frac{d x}{\sqrt{x}}$ ;

(г)

$\int_{0}^{+\infty } \cos^{n} x \frac{d x}{e^{x}}$ .

Задача VI.2.11

Пусть $p, q, C>0$ и $r \in \mathbb {R}$ . Докажите, что

I(A)=\int _{0}^{+\infty } x^{r} e^{-C / x^{q}} e^{-A x^{p}} d x \sim \frac{C_{0}}{A^{\sigma }} e^{-\gamma (A)} \quad \text{ при } A \rightarrow +\infty

где $\sigma =\frac{1+r+\frac{q}{2}}{p+q}, \gamma (A)=(p+q)\left(\frac{C}{p}\right)^{\frac{p}{p+q}}\left(\frac{A}{q}\right)^{\frac{q}{p+q}}, C_{0}=\left(\frac{C q}{p}\right)^{\sigma } \sqrt{\frac{2 \pi }{C q(p+q)}}$ . В частности, при $A \rightarrow +\infty$

\int _{0}^{\infty } x^{r} e^{-C / x^{p}} e^{-A x^{p}} d x \sim \frac{\sqrt{\pi }}{p}\left(\frac{C}{A}\right)^{\frac{1+r}{2 p}} \frac{e^{-2 \sqrt{A C}}}{\sqrt[4]{A C}}

Отметим, что экспоненциальный множитель $e^{-\gamma (A)}$ не зависит от $r$ и, следовательно, этот параметр не влияет на асимптотику $\ln I(A)$ .

?

Задача VI.2.12

Вычислите интеграл

\int _{-\infty }^{+\infty } \frac{d x}{\left(x^{4}+4 x+4\right)^{100}}

с относительной погрешностью не более $10 \%$ . В следующих задачах рассматриваются интегралы $\Phi (A)=\int_{a}^{b} f_{A}(x) d x$ , где функция $f_{A}$ , не будучи теперь функцией вида, рассмотренного в задачах $2.5-2.8$ , сохраняет, однако, её характерную особенность: с ростом $A$ график функции $f_{A}$ имеет всё более резко выраженный «горб» в окрестности той точки $x_{A}$ , где $f_{A}$ достигает наибольшего значения. Хотя результат задачи 2.7 здесь не применим, тем не менее идея решения сохраняется: представив функцию $f_{A}$ в виде $e^{\ln f_{A}}$ и заменив в некоторой окрестности точки $x_{A}$ функцию $\ln f_{A}$ её тейлоровским разложением, а интеграл по промежутку $(a, b)$ — интегралом по окрестности точки $x_{A}$ , находим главную часть $\Phi (A)$ . Основную трудность при этом представляет выбор окрестности. С одной стороны, она должна быть не слишком большой, так как в противном случае скажется погрешность, вызванная применением формулы Тейлора. С другой стороны, для нейтрализации погрешности, возникающей при замене интеграла по промежутку ( $a, b$ ) интегралом по окрестности, её нельзя брать слишком малой. Удачный выбор окрестности, который позволил бы хорошо оценить обе указанные погрешности, и составляет главное содержание решения. Отметим также, что в случае, когда $x_{A} \rightarrow x_{0}$ при $A \rightarrow +\infty$ , может оказаться более удобным рассматривать тейлоровское разложение функции $\ln f_{A}$ в окрестности точки $x_{0}$ .

?

Задача VI.2.13

(а)(б)(в)(г)

Найдите асимптотику при $A \rightarrow +\infty$ интегралов

?

(а)

$\int_{0}^{\infty }\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)^{A} \frac{d x}{e^{x \sqrt{A}}}$ ;

(б)

$\int_{0}^{A} e^{x^{p}}(A-x)^{A} d x(0<p<1)$ ;

(в)

$\int_{0}^{1 / e} e^{A / \ln x} d x$ ;

(г)

$\int_{0}^{1 / e}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right)^{A} d x$ .

Задача VI.2.14

(а)(б)

Докажите, что при $A \rightarrow +\infty$

?

(а)

$\int_{0}^{1 / 2} x^{A x} d x \sim \frac{1}{A \ln A}$ ;

(б)

$\int_{0}^{1}\left|\ln x\right|^{p}(1-x)^{A} d x \sim \frac{\ln^{p} A}{A} \quad (p \in \mathbb {R})$ .

Задача VI.2.15

Пусть функции $\psi , \theta$ строго возрастают и не превосходят 1 на $\left[0,1\right], \lim_{x \rightarrow 0} \psi (x)=\lim_{x \rightarrow 0} \theta (x)=0$ . Докажите, что если $\psi^{-1}(y) \sim \theta^{-1}(y)$ при $y \rightarrow +0$ , то

\int _{0}^{1}(1-\psi (x))^{A} d x \sim \int _{0}^{1}(1-\theta (x))^{A} d x \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

?

Задача VI.2.16

Пусть

\Psi (A)=\int _{a}^{b} f(x) e^{-A \psi (x)} d x \quad \text{ и } \quad \Theta (A)=\int _{a}^{b} f(x) e^{-A \theta (x)} d x

где функция $f$ неотрицательна и интегрируема, а функции $\psi$ и $\theta$ непрерывны и возрастают на $[a, b), \psi (a)=\theta (a)=0$ . Предположим, что

$\psi (x)-\theta (x)=O\left(\psi^{2}(x)\right)$ при $x \rightarrow a$ ;
интеграл $\Psi (A)$ не слишком быстро убывает к нулю:
$\ln \Psi (A)=o(\sqrt{A}) \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty .$

Докажите, что $\Psi (A) \sim \Theta (A)$ при $A \rightarrow +\infty$ . В частности, если $\psi <1$ , то, взяв $\theta =-\ln (1-\psi )$ , получим

\int _{a}^{b} f(x)(1-\psi (x))^{A} d x \sim \int _{a}^{b} f(x) e^{-A \psi (x)} d x \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty

Можно ли ослабить условие 2), заменив его на $\ln \Phi (A)=O(\sqrt{A})$ ?

?

Задача VI.2.17

Пусть $f, \psi \in C((a, b)), \int_{a}^{b} f(x) d x<\infty , 0<\psi <1, \psi$ возрастает и $\psi (x)=O\left((x-a)^{p}\right)$ при $x \rightarrow a(p>0)$ . Докажите, что если функция $f$ положительна и не слишком мала вблизи точки $a$ , точнее, $\ln f(x)=o\left((x-a)^{-p}\right)$ при $x \rightarrow a$ , то

\int _{a}^{b} f(x)(1-\psi (x))^{A} d x \sim \int _{a}^{b} f(x) e^{-A \psi (x)} d x \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty .

В задачах 2.18-2.21 изучаются асимптотические свойства $\Gamma$ -функции Эйлера

\Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty } t^{x-1} e^{-t} d t, \quad x>0

?

Задача VI.2.18

Докажите формулу Стирлинга

\Gamma (1+x) \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \sqrt{2 \pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^{x}

Дополните этот результат, доказав, что для любого $r \in \mathbb {N}$

\Gamma ^{(r)}(1+x)=\Gamma (1+x) \ln ^{r} x\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{x} \ln x}\right)\right) \quad \text{ при } \quad x \rightarrow +\infty .

?

Задача VI.2.19

Докажите, что $\Gamma (x+c) \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } x^{c} \Gamma (x)(c \in \mathbb {R})$ .

?

Задача VI.2.20

Докажите, что $\int_{0}^{x} t^{x} e^{-t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{1}{2} \Gamma (1+x)$ .

?

Задача VI.2.21

(а)(б)(в)

Пусть $\varphi$ — положительная функция, определённая на $(0,+\infty )$ . Докажите, что при $x \rightarrow +\infty$

?

(а)

$\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow \frac{1}{2}$ ;

(б)

$\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow +\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow 1$ ;

(в)

$\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow -\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow 0$ .

Задача VI.2.22

Пусть $f$ — канторова функция (см. задачу III.3.14 и текст перед ней). Докажите, что

\int _{0}^{1} f^{2^{n}}(t) d t \sim \frac{C}{3^{n}} \quad \text{ при } \quad n \rightarrow +\infty

?

Задача VI.2.23

Пусть $f$ — канторова функция. Докажите, что

\int _{0}^{1} t^{3^{n}} d f(t) \sim \frac{C}{2^{n}} \quad \text{ при } \quad n \rightarrow +\infty

?

Метод Лапласа