VI.1

Асимптотика интегралов

[27/96%]
Показать
LaTeX
Задача VI.1.1

Докажите, что (p,q∈Rp, q \in \mathbb {R})

?
(а)

∫1xtpetdt∼x→+∞xpex\int_{1}^{x} t^{p} e^{t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } x^{p} e^{x};

(б)

∫x+∞tpe−tdt∼x→+∞xpe−x\int_{x}^{+\infty } t^{p} e^{-t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } x^{p} e^{-x};

(в)

∫2xtp−1ln⁡qtdt∼x→+∞xppln⁡qx(p>0)\int_{2}^{x} t^{p-1} \ln^{q} t d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{x^{p}}{p} \ln^{q} x \quad (p>0);

(г)

∫0xtp−1∣ln⁡t∣qdt∼x→0xpp∣ln⁡x∣q(p>0)\int_{0}^{x} t^{p-1}\left|\ln t\right|^{q} d t \underset {x \rightarrow 0}{\sim } \frac{x^{p}}{p}\left|\ln x\right|^{q} \quad (p>0).

Задача VI.1.2

Вычислите интеграл ∫010xxdx\int_{0}^{10} x^{x} d x с относительной погрешностью не более 5.

?
Задача VI.1.3

Пусть −∞<a<b⩽+∞;f,g,h∈C([a,b))-\infty <a<b \leqslant +\infty ; f, g, h \in C([a, b)), причём f>0f>0 на [a,b)[a, b) и g(t)=o(f(t)),h(t)∼f(t)g(t)=o(f(t)), h(t) \sim f(t) при t→b−0t \rightarrow b-0. Докажите, что при t→b−0t \rightarrow b-0 справедливы соотношения:

?
(а)

если ∫abf(t)dt=+∞\int_{a}^{b} f(t) d t=+\infty, то

∫axg(t)dt=o(∫axf(t)dt),∫axh(t)dt∼∫axf(t)dt \int _{a}^{x} g(t) d t=o\left(\int _{a}^{x} f(t) d t\right), \quad \int _{a}^{x} h(t) d t \sim \int _{a}^{x} f(t) d t
(б)

если ∫abf(t)dt<+∞\int_{a}^{b} f(t) d t<+\infty, то

∫xbg(t)dt=o(∫xbf(t)dt),∫xbh(t)dt∼∫xbf(t)dt \int _{x}^{b} g(t) d t=o\left(\int _{x}^{b} f(t) d t\right), \quad \int _{x}^{b} h(t) d t \sim \int _{x}^{b} f(t) d t
Задача VI.1.4

Найдите асимптотику при t→1−0t \rightarrow 1-0 интегралов

?
(а)

J(t)=∫0tdx1−xa(a≠0)\mathscr {J}(t)=\int_{0}^{t} \frac{d x}{1-x^{a}} \quad (a \neq 0);

(б)

K(t)=∫01dx(1−x2)(1−t2x2)\mathcal{K}(t)=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-t^{2} x^{2}\right)}};

(в)

L(t)=∫0πdx1−2tcos⁡x+t2\mathscr {L}(t)=\int_{0}^{\pi } \frac{d x}{1-2 t \cos x+t^{2}}.

Задача VI.1.5

Найдите асимптотику при A→+∞A \rightarrow +\infty интегралов

?
(а)

∫A2Adxln⁡x\int_{A}^{2 A} \frac{d x}{\ln x};

(б)

∫A2Axxdx\int_{A}^{2 A} x^{x} d x;

(в)

∫0Aee−xdx\int_{0}^{A} e^{e^{-x}} d x;

(г)

∫πA∣sin⁡x∣ea/xdx(a∈R)\int_{\pi }^{A}\left|\sin x\right| e^{a / x} d x \quad (a \in \mathbb {R});

(д)

∫A+∞e−x2dx\int_{A}^{+\infty } e^{-x^{2}} d x;

(е)

∫A+∞xae−xdx(a∈R)\int_{A}^{+\infty } x^{a} e^{-x} d x \quad (a \in \mathbb {R}).

Задача VI.1.6

Найдите асимптотику при A→+∞A \rightarrow +\infty интегралов

?
(а)

∫01eAx2dx\int_{0}^{1} e^{A x^{2}} d x;

(б)

∫1+∞e−xp/Adxx(p>0)\int_{1}^{+\infty } e^{-x^{p} / A} \frac{d x}{x} \quad (p>0);

(в)

∫0+∞ex−x2/Adx\int_{0}^{+\infty } e^{x-x^{2} / A} d x;

(г)

∫2+∞e−x/Aln⁡pxdx(p∈R)\int_{2}^{+\infty } e^{-x / A} \ln^{p} x d x \quad (p \in \mathbb {R}).

Задача VI.1.7

Найдите асимптотику при n→+∞n \rightarrow +\infty интегралов (n∈N)(n \in \mathbb {N})

?
(а)

∫πnπ(n+2)sin⁡xxpdx(p≠0)\quad \int_{\pi n}^{\pi (n+2)} \frac{\sin x}{x^{p}} d x \quad (p \neq 0);

(б)

∫πn+∞sin⁡xxpdx(p>0)\int_{\pi n}^{+\infty } \frac{\sin x}{x^{p}} d x \quad (p>0);

(в)

∫πnπ(n+1)cos⁡xxpdx(p≠0)\quad \int_{\pi n}^{\pi (n+1)} \frac{\cos x}{x^{p}} d x \quad (p \neq 0);

(г)

∫πn+∞cos⁡xxpdx(p>0)\int_{\pi n}^{+\infty } \frac{\cos x}{x^{p}} d x \quad (p>0).

Задача VI.1.8

Докажите, что при ε→+0\varepsilon \rightarrow +0

?
(а)

∫1+∞sin⁡2xx1+εdx∼12ε\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin^{2} x}{x^{1+\varepsilon }} d x \sim \frac{1}{2 \varepsilon };

(б)

∫1+∞cos⁡2xx1+εdx∼12ε\int_{1}^{+\infty } \frac{\cos^{2} x}{x^{1+\varepsilon }} d x \sim \frac{1}{2 \varepsilon };

(в)

∫0+∞sin⁡xxεdx→1\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin x}{x^{\varepsilon }} d x \rightarrow 1;

(г)

∫0+∞cos⁡xxεdx∼π2ε\int_{0}^{+\infty } \frac{\cos x}{x^{\varepsilon }} d x \sim \frac{\pi }{2} \varepsilon.

Задача VI.1.9

Найдите асимптотику при ε→+0\varepsilon \rightarrow +0 интегралов

?
(а)

∫0∞e−εx2dxx+ε\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-\varepsilon x^{2}} d x}{x+\varepsilon };

(б)

∫0∞sin⁡εx2dxx2+εx\int_{0}^{\infty } \frac{\sin \varepsilon x^{2} d x}{x^{2}+\varepsilon \sqrt{x}};

(в)

∫0∞sin⁡(x2+ε)dxx3+εx\int_{0}^{\infty } \frac{\sin \left(x^{2}+\varepsilon \right) d x}{x^{3}+\varepsilon \sqrt{x}}.

Задача VI.1.10

Докажите, что при A→+∞A \rightarrow +\infty

?
(а)

∫0∞sin⁡(xA)dx∼π2A\int_{0}^{\infty } \sin \left(x^{A}\right) d x \sim \frac{\pi }{2 A};

(б)

∫0∞cos⁡(xA)dx→1\int_{0}^{\infty } \cos \left(x^{A}\right) d x \rightarrow 1.

Задача VI.1.11

Пусть Cx=∫xx+1cos⁡t2dtC_{x}=\int_{x}^{x+1} \cos t^{2} d t и Sx=∫xx+1sin⁡t2dtS_{x}=\int_{x}^{x+1} \sin t^{2} d t для x>0x>0. Докажите, что

?
(а)

Cx2+Sx2⩽1x\sqrt{C_{x}^{2}+S_{x}^{2}} \leqslant \frac{1}{x} для всех x>0x>0;

(б)

Cx2+Sx2=1x∣sin⁡(x+12)∣+O(1x2)\sqrt{C_{x}^{2}+S_{x}^{2}}=\frac{1}{x}\left|\sin \left(x+\frac{1}{2}\right)\right|+O\left(\frac{1}{x^{2}}\right) при x→+∞x \rightarrow +\infty.

Задача VI.1.12

Пусть функция φ\varphi непрерывна на R\mathbb {R} и имеет период T>0T>0, причём Cφ=1T∫0Tφ(t)dt≠0C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \varphi (t) d t \neq 0. Докажите, что

∫1+∞φ(t)t1+εdt∼Cφε при ε→+0 \int _{1}^{+\infty } \frac{\varphi (t)}{t^{1+\varepsilon }} d t \sim \frac{C_{\varphi }}{\varepsilon } \quad \text{ при } \quad \varepsilon \rightarrow +0
?
Задача VI.1.13

Найдите асимптотику при A→+∞A \rightarrow +\infty интегралов

?
(а)

∫0Asin⁡2xxpdx(p⩽1)\int_{0}^{A} \frac{\sin^{2} x}{x^{p}} d x \quad (p \leqslant 1);

(б)

∫1A∣sin⁡x∣p∣cos⁡x∣xdx(p>−1)\int_{1}^{A} \frac{\left|\sin x\right|^{p}\left|\cos x\right|}{x} d x \quad (p>-1);

(в)

∫0A∣sin⁡x∣xpdx(p⩽1)\int_{0}^{A} \frac{\left|\sin x\right|}{x^{p}} d x \quad (p \leqslant 1);

(г)

∫A+∞∣sin⁡x∣xpdx(p>1)\int_{A}^{+\infty } \frac{\left|\sin x\right|}{x^{p}} d x \quad (p>1).

Задача VI.1.14

Докажите, что при A→+∞A \rightarrow +\infty

?
(а)

∫0π/2(sin⁡Axsin⁡x)2dx=π2A+O(1)\int_{0}^{\pi / 2}\left(\frac{\sin A x}{\sin x}\right)^{2} d x=\frac{\pi }{2} A+O(1);

(б)

∫01cos⁡Axxdx=π2A+O(1A)\int_{0}^{1} \frac{\cos A x}{\sqrt{x}} d x=\sqrt{\frac{\pi }{2 A}}+O\left(\frac{1}{A}\right);

(в)

∫0π/2cos⁡2xdx1+cos⁡2Ax→π42\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^{2} x d x}{1+\cos^{2} A x} \rightarrow \frac{\pi }{4 \sqrt{2}};

(г)

∫0π/2(sin⁡Axsin⁡x)4dx=π3A3+O(A)\int_{0}^{\pi / 2}\left(\frac{\sin A x}{\sin x}\right)^{4} d x=\frac{\pi }{3} A^{3}+O(A).

Задача VI.1.15

Используя интегральное представление Пуассона для функций Бесселя

Jν(A)=2π(A2)νΓ(ν+12)∫0π/2cos⁡(Asin⁡φ)cos⁡2νφdφ(ν>−12) J_{\nu }(A)=\frac{2}{\sqrt{\pi }} \frac{\left(\frac{A}{2}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +\frac{1}{2}\right)} \int _{0}^{\pi / 2} \cos (A \sin \varphi ) \cos ^{2 \nu } \varphi d \varphi \quad \left(\nu >-\frac{1}{2}\right)

докажите, что при A→+∞\boldsymbol {A} \rightarrow +\infty

J0(A)=sin⁡A+cos⁡AπA+O(A−3/2),J1(A)=sin⁡A−cos⁡AπA+O(A−3/2) J_{0}(A)=\frac{\sin A+\cos A}{\sqrt{\pi A}}+O\left(A^{-3 / 2}\right), \quad J_{1}(A)=\frac{\sin A-\cos A}{\sqrt{\pi A}}+O\left(A^{-3 / 2}\right)
?
Задача VI.1.16

Найдите асимптотику при A→+∞A \rightarrow +\infty следующих интегралов:

?
(а)

∫0∞cos⁡Axdxxp(1+x2)(−2<p<1)\int_{0}^{\infty } \frac{\cos A x d x}{x^{p}\left(1+x^{2}\right)} \quad (-2<p<1);

(б)

∫0∞sin⁡Axdxxp(1+x2)(∣p∣<2)\int_{0}^{\infty } \frac{\sin A x d x}{x^{p}\left(1+x^{2}\right)} \quad (\left|p\right|<2);

(в)

∫0∞cos⁡Axexpdx(0<p<2)\int_{0}^{\infty } \frac{\cos A x}{e^{x^{p}}} d x \quad (0<p<2);

(г)

∫0∞sin⁡Axexpdx(0<p<2)\int_{0}^{\infty } \frac{\sin A x}{e^{x^{p}}} d x \quad (0<p<2).

Задача VI.1.17

Пусть функция ff убывает к нулю на [a,+∞)[a,+\infty ), а функция φ\varphi непрерывна на R\mathbb {R} и имеет период T>0T>0, причём ∫0Tφ(t)dt=0\int_{0}^{T} \varphi (t) d t=0. Докажите, что

∣∫A+∞f(t)φ(t)dt∣⩽f(A)∫0T∣φ(t)∣dt при A⩾a \left|\int _{A}^{+\infty } f(t) \varphi (t) d t\right| \leqslant f(A) \int _{0}^{T}\left|\varphi (t)\right| d t \quad \text{ при } \quad A \geqslant a
?
Задача VI.1.18

Пусть функция ff убывает к нулю на [a,+∞)[a,+\infty ), а функция φ\varphi непрерывна на R\mathbb {R} и имеет период T>0T>0. Докажите, что

∫aAf(t)φ(t)dt=Cφ∫aAf(t)dt+I+O(f(A)) \int _{a}^{A} f(t) \varphi (t) d t=C_{\varphi } \int _{a}^{A} f(t) d t+I+O(f(A))

где

Cφ=1T∫0Tφ(t)dt,I=∫a+∞(φ(t)−Cφ)f(t)dt C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int _{0}^{T} \varphi (t) d t, \quad I=\int _{a}^{+\infty }\left(\varphi (t)-C_{\varphi }\right) f(t) d t
?
Задача VI.1.19

Пусть функция ff неотрицательна и монотонна на [a,+∞)[a,+\infty ), а функция φ\varphi непрерывна на R\mathbb {R} и имеет период T>0T>0, причём Cφ=1T∫0Tφ(t)dt≠0C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \varphi (t) d t \neq 0. Докажите, что

?
(а)

если ∫a∞f(t)dt=+∞\int_{a}^{\infty } f(t) d t=+\infty и ∫AA+1f(t)dt=o(∫aAf(t)dt)\int_{A}^{A+1} f(t) d t=o\left(\int_{a}^{A} f(t) d t\right), то

∫aAf(t)φ(t)dt∼Cφ∫aAf(t)dt при A→+∞ \int _{a}^{A} f(t) \varphi (t) d t \sim C_{\varphi } \int _{a}^{A} f(t) d t \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty
(б)

если ∫a∞f(t)dt<+∞\int_{a}^{\infty } f(t) d t<+\infty и ∫AA+1f(t)dt=o(∫A∞f(t)dt)\int_{A}^{A+1} f(t) d t=o\left(\int_{A}^{\infty } f(t) d t\right), то

∫A+∞f(t)φ(t)dt∼Cφ∫A+∞f(t)dt при A→+∞ \int _{A}^{+\infty } f(t) \varphi (t) d t \sim C_{\varphi } \int _{A}^{+\infty } f(t) d t \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty
Задача VI.1.20

Пусть f∈C([a,b]),φ∈C(R)f \in C(\left[a, b\right]), \varphi \in C(\mathbb {R}). Найдите пределы

?
(а)

lim⁡A→+∞∫abf(t)φ(At)dt\lim_{A \rightarrow +\infty } \int_{a}^{b} f(t) \varphi (A t) d t, если φ\varphi имеет период T>0T>0;

(б)

lim⁡A→+∞A∫abf(t)φ(At)dt\lim_{A \rightarrow +\infty } A \int_{a}^{b} f(t) \varphi (A t) d t, если ∫R∣φ(t)∣dt<∞\int_{\mathbb {R}}\left|\varphi (t)\right| d t<\infty.

Задача VI.1.21

Пусть f∈C([a,b]×[−1,1])f \in C(\left[a, b\right] \times [-1,1]). Докажите, что

I(A)=∫abf(x,sin⁡Ax)dx⟶A→+∞12π∫ab(∫02πf(x,sin⁡t)dt)dx I(A)=\int _{a}^{b} f(x, \sin A x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\longrightarrow } \frac{1}{2 \pi } \int _{a}^{b}\left(\int _{0}^{2 \pi } f(x, \sin t) d t\right) d x
?
Задача VI.1.22
?
(а)

Пусть p(A)⩾0p(A) \geqslant 0 и p(A)=o(A2)p(A)=o\left(A^{2}\right) при A→+∞A \rightarrow +\infty. Докажите, что

IA=∫0π/2sin⁡Axsin⁡xcos⁡p(A)xdx→π2 при A→+∞ I_{A}=\int _{0}^{\pi / 2} \frac{\sin A x}{\sin x} \cos ^{p(A)} x d x \rightarrow \frac{\pi }{2} \quad \text{ при } \quad A \rightarrow +\infty
(б)

Вычислите интеграл

LA=∫0π/2sin⁡Axsin⁡xcos⁡A−1xdx(A>0) L_{A}=\int _{0}^{\pi / 2} \frac{\sin A x}{\sin x} \cos ^{A-1} x d x \quad (A>0)
Задача VI.1.23

Найдите асимптотику при ε→+0\varepsilon \rightarrow +0 интегралов

?
(а)

∫0+∞e−x(1−x−ε)dx\int_{0}^{+\infty } e^{-x\left(1-x^{-\varepsilon }\right)} d x;

(б)

∫0+∞e−x(xε−1)dx\int_{0}^{+\infty } e^{-x\left(x^{\varepsilon }-1\right)} d x.

Задача VI.1.24

Докажите, что при ε→+0\varepsilon \rightarrow +0

?
(а)

∫01xεxdx=1−ε4+ε227+O(ε3)\int_{0}^{1} x^{\varepsilon x} d x=1-\frac{\varepsilon }{4}+\frac{\varepsilon^{2}}{27}+O\left(\varepsilon^{3}\right);

(б)

∫01e−ε/xdx=1−2ε−ε2ln⁡ε+O(ε2)\int_{0}^{1} e^{-\varepsilon / \sqrt{x}} d x=1-2 \varepsilon -\varepsilon^{2} \ln \varepsilon +O\left(\varepsilon^{2}\right);

(в)

∫01exp⁡(−εxln⁡2(x/e))dx=1−ε−εln⁡ε+o(εln⁡ε)\int_{0}^{1} \exp \left(-\frac{\varepsilon }{x \ln^{2}(x / e)}\right) d x=1-\varepsilon -\frac{\varepsilon }{\ln \varepsilon }+o\left(\frac{\varepsilon }{\ln \varepsilon }\right).

Задача VI.1.25

Пусть функция ff положительна и интегрируема на промежутке (0,1)(0,1) и для некоторого числа pp из промежутка (1,2](1,2] конечен интеграл ∫01∣ln⁡f(x)∣pdx\int_{0}^{1}\left|\ln f(x)\right|^{p} d x. Докажите, что при ε→+0\varepsilon \rightarrow +0

∫01fε(x)dx=1+ε∫01ln⁡f(x)dx+O(εp) \int _{0}^{1} f^{\varepsilon }(x) d x=1+\varepsilon \int _{0}^{1} \ln f(x) d x+O\left(\varepsilon ^{p}\right)
?
Задача VI.1.26

Найдите асимптотику при n→∞n \rightarrow \infty следующих интегралов:

?
(а)

∫0π∣sin⁡nx∣dxx\int_{0}^{\pi }\left|\sin n x\right| \frac{d x}{x};

(б)

∫0πmax⁡1⩽k⩽n∣sin⁡kx∣dxx\int_{0}^{\pi } \max_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|\sin k x\right| \frac{d x}{x};

(в)

∫0πmax⁡2⩽k⩽n∣sin⁡kx∣ln⁡kdxx\int_{0}^{\pi } \max_{2 \leqslant k \leqslant n} \frac{\left|\sin k x\right|}{\ln k} \frac{d x}{x};

(г)

∫0πmax⁡1⩽k⩽n∣sin⁡kx∣kdxx\int_{0}^{\pi } \max_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{\left|\sin k x\right|}{k} \frac{d x}{x}.

Задача VI.1.27

Пусть P(x)=a1x+…+anxnP(x)=a_{1} x+\ldots +a_{n} x^{n} — многочлен с вещественными коэффициентами, I(P)=∫01eiP(x)dxI(P)=\int_{0}^{1} e^{i P(x)} d x. Докажите, что ∣I(P)∣⩽CnAn\left|I(P)\right| \leqslant \frac{C_{n}}{\sqrt[n]{A}}, где A=∣a1∣+∣a2∣+…+∣an∣A=\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots +\left|a_{n}\right|, а коэффициент CnC_{n} зависит лишь от nn.

?