Асимптотика неявных функций и рекуррентных последовательностей

Пусть $y(x)=\int_{x}^{+\infty } e^{-t^{2} / 2} d t(x \in \mathbb {R}), x(y)$ — обратная к $y(x)$ функция. Докажите, что $x(y) \underset {y \rightarrow +0}{\sim } \sqrt{2 \ln \frac{1}{y}}$.

Докажите, что каждое из следующих уравнений определяет в некоторой окрестности точки $\left(x_{0}, c_{0}\right)$ бесконечно дифференцируемую неявную функцию $y$, и найдите первые $n$ коэффициентов разложения $y(x)=c_{0}+c_{1}\left(x-x_{0}\right)+\ldots +c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\ldots$

Убедитесь в том, что область определения неявных функций, рассматриваемых в задаче 4.2 , содержит полуось $\left[x_{0},+\infty \right)$, и докажите, что при $x \rightarrow +\infty$

Докажите, что уравнение $y^{x}+y=1$ определяет при всех $x>0$ единственную неявную функцию $y$ и что

Сколько существует непрерывных решений $y$ уравнения $x^{5}+x^{2} y=y^{3}$, стремящихся к нулю при $x \rightarrow 0$ ? Какова их асимптотика при $x \rightarrow 0$ ?

Докажите, что уравнение Кеплера $y=M+x \sin y$, где $M$ — фиксированный положительный параметр, определяет в окрестности точки $(0, M)$ бесконечно дифференцируемую функцию $y$, причём

Задача про «земной шар в авоське». Земной шар опоясали нерастяжимой нитью. Затем нить удлинили на 1 см и натянули, потянув за узелок. Вычислите высоту, на которую он поднялся, с относительной погрешностью не более одной десятитысячной процента (радиус шара считаем равным $6400 к м$).

Найдите производные по $\varepsilon$ длин полуосей эллипсоида $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x=1+\varepsilon x y$ при $\varepsilon =0$.

Пусть $x_{n}$ — корень уравнения $x=\operatorname {tg} x$, лежащий в интервале ($\pi n, \pi n+\pi$), $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $x_{n}=h\left(x_{n-1}\right)$, где $h(x)=\frac{x}{\left(1+a x^{p}\right)^{1 / p}}$ при $x \geqslant 0(a, p$ — положительные постоянные, $n \in \mathbb {N}, x_{0}>0$). Докажите, что $x_{n} \sim (a n)^{-1 / p}$.

Пусть $x_{0}=10^{-3}, x_{n}=x_{n-1}-x_{n-1}^{2} \quad (n \in \mathbb {N})$. Докажите, что $x_{1000} \approx \frac{1}{2} 10^{-3}$ с точностью $10^{-6}$.

Найдите асимптотику рекуррентных последовательностей $x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)\left(n \in \mathbb {N}, x_{0}>0\right)$ в следующих случаях:

Пусть $C, p, x_{0}>0$ и $x_{n}=x_{n-1}+C x_{n-1}^{1-p}(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что

Постройте такую положительную на ($0,+\infty$) функцию $f$, что последовательность $x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)\left(n \in \mathbb {N}, x_{0}>0\right)$ удовлетворяет соотношению $x_{n} \sim \frac{1}{\ln n}$.

Найдите асимптотику рекуррентных последовательностей в следующих случаях ($n \in \mathbb {N}, x_{0}>0$):

Пусть $\quad x_{0} \in (-1,2), \quad x_{n}=x_{n-1}\left(x_{n-1}-1\right) \quad (n \in \mathbb {N})$. Найдите асимптотику последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$.

Пусть $x_{0}=1, x_{n}=x_{n-1}+\left(\sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}\right)^{-1}(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что $x_{n} \sim \sqrt{2 \ln n}$.

Пусть $\left|p\right|<1, x_{0}=1, x_{n}=x_{n-1}+\left(\sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}\right)^{-p}(n \in \mathbb {N})$. Найдите асимптотику последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$.

Пусть $p \in \mathbb {R}, x_{0}=1, x_{n}=x_{n-1}+\left(\sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}^{p}\right)^{-1}(n \in \mathbb {N})$. Найдите асимптотику последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$.