Векторные пространства

$\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha =0$ или $x=0$;

$\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha =\beta$ или $x=y$.

из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1}, a_{2}\right\}$ вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2}, a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;

из линейной независимости системы $\left\{ a_{1}, \ldots , a_{n}\right\}$ вытекает линейная независимость системы

$\sin x, \cos x$;

$1, \sin x, \cos x$;

$\sin x, \sin 2 x, \ldots , \sin n x ;$

$1, \cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x$;

$1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \ldots , \cos n x, \sin n x$;

$1, \sin x, \sin^{2} x, \ldots , \sin^{n} x$;

$1, \cos x, \cos^{2} x, \ldots , \cos^{n} x$.

$e^{\alpha_{1} x}, e^{\alpha_{2} x}, \ldots , e^{\alpha_{n} x}$;

$x^{\alpha_{1}}, x^{\alpha_{2}}, \ldots , x^{\alpha_{n}}$;

$\left(1-\alpha_{1} x\right)^{-1}, \ldots ,\left(1-\alpha_{n} x\right)^{-1}$; где $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ — попарно различные вещественные числа.

В векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb {C}$ определим новое умножение векторов на комплексные числа по правилу $\alpha \circ x=\bar{\alpha } x$. Доказать, что относительно операций + и о пространство $V$ является векторным. Найти его размерность.

Пусть $\mathbb {C}^{n}$ — абелева группа всех строк $(a_{1}, \ldots , a_{n})$ длины $n$, $a_{i} \in \mathbb {C}$. Если $b \in \mathbb {C}$, то положим $b \circ \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)=\left(b \bar{a}_{1}, \ldots , b \bar{a}_{n}\right)$. Является ли $\mathbb {C}^{n}$ относительно операций + и о векторным пространством?

группа $\mathbb {Z}$ не изоморфна аддитивной группе никакого векторного пространства;

группа вычетов $\mathbf{Z}_{n}$ изоморфна аддитивной группе векторного пространства над некоторым полем тогда и только тогда, когда $n$ простое число;

коммутативную группу $A$ можно превратить в векторное пространство над полем $\mathbf{Z}_{p}$ тогда и только тогда, когда $p x=0$ для любого $x \in A$;

коммутативную группу $A$ можно превратить в векторное пространство над полем $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда в ней нет элементов конечного порядка (кроме нуля) и для любого натурального числа $n$ и любого $a \in A$ уравнение $n x=a$ имеет решение в группе $A$.

Доказать, что $F$ является векторным пространством над полем $E$.

Если $F$ конечно, то $\left|F\right|=\left|E\right|^{n}$, где $n$ — размерность $F$ как векторного пространства над $E$.

Если $F$ конечно, то $\left|F\right|=p^{m}$, где $p$ — характеристика $F$.

Найти базис и размерность поля $\mathbb {C}$ над полем $\mathbb {R}$.

Пусть $m_{1}, \ldots , m_{1}$ — различные натуральные числа, каждое из которых не делится на квадрат простого числа. Доказать, что числа $1, \sqrt{m_{1}}, \ldots , \sqrt{m_{n}}$ линейно независимы в пространстве $\mathbb {R}$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $r_{1}, \ldots , r_{n}$ — различные рациональные числа из интервала $(0,1)$. Доказать, что в пространстве $\mathbb {R}$ над полем $\mathbb {Q}$ числа $2^{r_{1}}, \ldots , 2^{r_{n}}$ независимы.

Пусть $\alpha$ — комплексный корень многочлена $p \in \mathbb {Q}\left[x\right]$, неприводимого над $\mathbb {Q}$. Найти размерность над $\mathbb {Q}$ пространства $\mathbb {Q}\left[\alpha \right]$, состоящего из чисел вида $f(\alpha ), f \in \mathbb {Q}\left[x\right]$.

Доказать, что относительно этих операций множество $2^{M}$ является векторным пространством над полем $\mathbf{Z}_{2}$, и найти его базис и размерность.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{k}$ — подмножества в $M$, причём ни одно из них не содержится в объединении остальных. Доказать, что $X_{1}, \ldots , X_{k}$ линейно независимая система.

$e_{1}=(1,1,1), \quad e_{2}=(1,1,2), \quad e_{3}=(1,2,3), \quad x=(6,9,14)$;

$e_{1}=(2,1,-3), \quad e_{2}=(3,2,-5), \quad e_{3}=(1,-1,1), \quad x=(6,2,-7)$;

$e_{1}=(1,2,-1,-2), \quad e_{2}=(2,3,0,-1), \quad e_{3}=(1,2,1,4)$, $e_{4}=(1,3,-1,0), \quad x=(7,14,-1,2)$. Доказать, что $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ — также базис пространства, и найти координаты вектора $x$ в этом базисе.

$S=((1,2,1),(2,3,3),(3,8,2))$, $S^{\prime }=((3,5,8),(5,14,13),(1,9,2)) ;$

$S=((1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,2,1),,(1,3,2,3))$, $S^{\prime }=((1,0,3,3),(-2,-3,-5,-4),(2,2,5,4),(-2,-3,-4,-4))$.

поменять местами два вектора первого базиса;

поменять местами два вектора второго базиса;

записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

$a_{1}=(2,2,7,-1), \quad a_{2}=(3,-1,2,4), \quad a_{3}=(1,1,3,1)$;

$a_{1}=(2,3,-4,-1), \quad a_{2}=(1,-2,1,3)$;

$a_{1}=(4,3,-1,1,1), \quad a_{2}=(2,1,-3,2,-5)$, $a_{3}=(1,-3,0,1,-2), \quad a_{4}=(1,5,2,-2,6) ;$

$a_{1}=(2,3,5,-4,1), \quad a_{2}=(1,-1,2,3,5)$.

векторы плоскости с началом $O$, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке $O$;

векторы плоскости с началом $O$, концы которых лежат на данной прямой;

векторы плоскости с началом $O$, концы которых не лежат на данной прямой;

векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти;

векторы пространства $\mathbb {R}^{n}$, координаты которых — целые числа;

векторы арифметического пространства $F^{n}, F$ — поле, являющиеся решениями данной системы линейных уравнений;

векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$;

ограниченные последовательности комплексных чисел;

последовательности вещественных чисел, имеющие предел;

последовательности вещественных чисел, имеющие предел $a$;

последовательности $u(n)$ элементов поля $F$, удовлетворяющие рекуррентному соотношению

где $(f(n))$ — фиксированная последовательность элементов поля $F$, $k$ — фиксированное натуральное число, $a_{i} \in F$;

многочлены чётной степени с коэффициентами из поля $F$;

многочлены с коэффициентами из поля $F$, не содержащие чётных степеней переменной $x$;

множества из пространства $2^{M}$ (см. 4.9), состоящие из чётного числа элементов;

множества из $2^{M}$, состоящие из нечётного числа элементов.

векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;

векторы, у которых координаты с чётными номерами равны 0 ;

векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой;

векторы вида $(\alpha , \beta , \alpha , \beta , \ldots )$;

векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.

все матрицы;

симметрические матрицы;

кососимметрические матрицы;

невырожденные матрицы;

вырожденные матрицы;

матрицы со следом, равным нулю;

матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами);

матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i} X+X B_{i}=0$, где $\left\{ A_{i}, B_{i}\right\}$ — заданный набор матриц.

функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s \in S$;

функции, принимающие значение $a$ во всех точках некоторого подмножества $T \subseteq S$;

функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$;

функции, имеющие предел $a$ при $x \rightarrow \infty$ (при $S=\mathbb {R}$);

функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb {R}$).

последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля;

последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю;

последовательности, в которых все элементы отличны от 1.

последовательности, удовлетворяющие условию Коши: для любого $\varepsilon >0$ найдется число $N \in \mathbb {N}$ такое, что при любых $n, k>N$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-x_{k}\right|<\varepsilon$;

последовательности, удовлетворяющие условию Гильберта: ряд $\sum_{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|^{2}$ сходится;

последовательности полиномиального роста, т.е. $\left|x_{n}\right| \leqslant C n^{k}$, где $C, k$ — натуральные числа, зависящие от последовательности;

последовательности экспоненциального роста, т.е. $\left|x_{n}\right| \leqslant C e^{n}$, где $C$ — положительное вещественное число, зависящее от последовательности.

многочлены, имеющие данный корень $\alpha \in \mathbb {R}$;

многочлены, имеющие данный корень $\alpha \in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R}$;

многочлены, имеющие данные корни $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{k} \in \mathbb {R}$;

многочлены, имеющие данный простой корень $\alpha \in \mathbb {R}$.

размерность подпространства всех однородных многочленов степени $k$;

размерность его подпространства, состоящего из всех многочленов степени $\leqslant k$.

число векторов в пространстве $V$;

число базисов пространства $V$;

число невырожденных матриц порядка $n$ над полем $F$;

число вырожденных матриц порядка $n$ над полем $F$;

число $k$-мерных подпространств пространства $V$;

число решений уравнения $A X=0$, где $A$ — прямоугольная матрица ранга $r, X$ — столбец неизвестных длины $n$.

$a_{1}=(1,0,0,-1), \quad a_{2}=(2,1,1,0), \quad a_{3}=(1,1,1,1)$, $a_{4}=(1,2,3,4), \quad a_{5}=(0,1,2,3) ;$

$a_{1}=(1,1,1,1,0), \quad a_{2}=(1,1,-1,-1,-1), \quad a_{3}=(2,2,0,0,-1)$, $a_{4}=(1,1,5,5,2), \quad a_{5}=(1,-1,-1,0,0)$.

если $L_{1} \subseteq L_{2}$, то $\operatorname {dim} L_{1} \leqslant \operatorname {dim} L_{2}$, причём равенство имеет место только при $L_{1}=L_{2}$;

если $\operatorname {dim}\left(L_{1}+L_{2}\right)=1+\operatorname {dim}\left(L_{1} \cap L_{2}\right)$, то сумма $L_{1}+L_{2}$ равна одному из этих подпространств, а пересечение $L_{1} \cap L_{2}$ — другому;

если $\operatorname {dim} L_{1}+\operatorname {dim} L_{2}>\operatorname {dim} V$, то $L_{1} \cap L_{2} \neq 0$.

Можно ли утверждать, что $U \cap (V+W)=(U \cap V)+(U \cap W)$?

Доказать, что предыдущее равенство верно, если $V \subseteq U$.

Доказать, что $(U+W) \cap (W+V) \cap (V+U)=[(W+V) \cap U]+[(V+U) \cap W]$.

Доказать, что $\operatorname {dim}[(U+V) \cap W]+\operatorname {dim}(U \cap V)=\operatorname {dim}[(V+W) \cap U]+\operatorname {dim}(V \cap W)$.

Доказать, что $(U \cap V)+(V \cap W)+(W \cap U) \subseteq (U+V) \cap (V+W) \cap (W+U)$ и разность размерностей этих подпространств является чётным числом.

$S=\langle (1,2,0,1),(1,1,1,0)\rangle$, $T=\langle (1,0,1,0),(1,3,0,1)\rangle ;$

$S=\langle (1,1,1,1),(1,-1,1,-1),(1,3,1,3)\rangle$, $T=\langle (1,2,0,2),(1,2,1,2),(3,1,3,1)\rangle ;$

$S=\langle (2,-1,0,-2),(3,-2,1,0),(1,-1,1,-1)\rangle$, $T=\langle (3,-1,-1,0),(0,-1,2,3),(5,-2,-1,0)\rangle$.

$a_{1}=(1,2,1), \quad b_{1}=(1,2,2)$, $a_{2}=(1,1,-1), \quad b_{2}=(2,3,-1)$, $a_{3}=(1,3,3), \quad b_{3}=(1,1,-3) ;$

$a_{1}=(-1,6,4,7,-2), \quad b_{1}=(1,1,2,1,-1)$, $a_{2}=(-2,3,0,5,-2), \quad b_{2}=(0,-2,0,-1,-5)$, $a_{3}=(-3,6,5,6,-5), \quad b_{3}=(2,0,2,1,-3)$;

$a_{1}=(1,1,0,0,-1), \quad b_{1}=(1,0,1,0,1)$, $a_{2}=(0,1,1,0,1), \quad b_{2}=(0,2,1,1,0)$, $a_{3}=(0,0,1,1,1), \quad b_{3}=(1,2,1,2,-1) ;$

$a_{1}=(1,2,1,0), \quad b_{1}=(2,-1,0,1)$, $a_{2}=(-1,1,1,1), \quad b_{2}=(1,-1,3,7) ;$

$a_{1}=(1,2,-1,-2), \quad b_{1}=(2,5,-6,-5)$, $a_{2}=(3,1,1,1), \quad b_{2}=(-1,2,-7,-3)$. $a_{3}=(-1,0,1,-1)$,

$\langle (1,-1,1,0),(1,1,0,1),(2,0,1,1)\rangle$;

$\langle (1,-1,1,-1,1),(1,1,0,0,3),(3,1,1,-1,7)\rangle$.

сумма этих подпространств является прямой тогда и только тогда, когда хотя бы один ее вектор однозначно представляется в виде

условие $L_{i} \cap L_{j}=0$ для любых различных $i$ и $j$ от 1 до $k$ не является достаточным для того, чтобы сумма этих подпространств была прямой.

Доказать, что $U \oplus V=\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$.

Найти проекцию матриц $E_{i j}$ на $U$ и $V$.

Доказать, что $U \oplus V=\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$.

Найти проекцию матрицы $E_{i j}$ на $U$ и $V$.

число линейных отображений $F^{n}$ в пространство $F^{k}$;

число линейных инъективных отображений $F^{n}$ в $F^{k}$;

число линейных сюръективных отображений $F^{n}$ в $F^{k}$.

$\operatorname {Ker} \mathcal{A} \leqslant \operatorname {Ker} \mathcal{B}$;

$\mathcal{B}=\mathcal{C} \mathcal{A}$ для некоторого оператора $\mathcal{C}$ в $W$.

$\operatorname {Im} \mathcal{A} \subseteq \operatorname {Im} \mathcal{B}$;

$\mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{D}$ для некоторого оператора $\mathcal{D}$ в $V$.

$\alpha^{0}, \alpha^{1}, \ldots , \alpha^{n}$;

$\beta^{0}, \beta^{1}, \ldots , \beta^{n}$;

$\gamma^{0}, \gamma^{1}, \ldots , \gamma^{n}$; являются базисами сопряжённого пространства $V^{*}$.

Доказать, что для каждого базиса сопряжённого пространства $V^{*}$ существует единственный базис пространства $V$, для которого данный базис является сопряжённым.

Найти этот базис в задаче 36.9, а).

Найти этот базис в задаче 36.9, б).

$U$ — максимальное подпространство $V$, т.е. не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от $V$;

$V=U \oplus \langle a\rangle$ для любого $a \notin U$.