Понятие векторного пространства. Базисы

$\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha =0$ или $x=0$;

$\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha =\beta$ или $x=y$.

из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1}, a_{2}\right\}$ вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2}, a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;

из линейной независимости системы $\left\{ a_{1}, \ldots , a_{n}\right\}$ вытекает линейная независимость системы

$\sin x, \cos x$;

$1, \sin x, \cos x$;

$\sin x, \sin 2 x, \ldots , \sin n x ;$

$1, \cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x$;

$1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \ldots , \cos n x, \sin n x$;

$1, \sin x, \sin^{2} x, \ldots , \sin^{n} x$;

$1, \cos x, \cos^{2} x, \ldots , \cos^{n} x$.

$e^{\alpha_{1} x}, e^{\alpha_{2} x}, \ldots , e^{\alpha_{n} x}$;

$x^{\alpha_{1}}, x^{\alpha_{2}}, \ldots , x^{\alpha_{n}}$;

$\left(1-\alpha_{1} x\right)^{-1}, \ldots ,\left(1-\alpha_{n} x\right)^{-1}$; где $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ — попарно различные вещественные числа.

В векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb {C}$ определим новое умножение векторов на комплексные числа по правилу $\alpha \circ x=\bar{\alpha } x$. Доказать, что относительно операций + и о пространство $V$ является векторным. Найти его размерность.

Пусть $\mathbb {C}^{n}$ — абелева группа всех строк $(a_{1}, \ldots , a_{n})$ длины $n$, $a_{i} \in \mathbb {C}$. Если $b \in \mathbb {C}$, то положим $b \circ \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)=\left(b \bar{a}_{1}, \ldots , b \bar{a}_{n}\right)$. Является ли $\mathbb {C}^{n}$ относительно операций + и о векторным пространством?

группа $\mathbb {Z}$ не изоморфна аддитивной группе никакого векторного пространства;

группа вычетов $\mathbf{Z}_{n}$ изоморфна аддитивной группе векторного пространства над некоторым полем тогда и только тогда, когда $n$ простое число;

коммутативную группу $A$ можно превратить в векторное пространство над полем $\mathbf{Z}_{p}$ тогда и только тогда, когда $p x=0$ для любого $x \in A$;

коммутативную группу $A$ можно превратить в векторное пространство над полем $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда в ней нет элементов конечного порядка (кроме нуля) и для любого натурального числа $n$ и любого $a \in A$ уравнение $n x=a$ имеет решение в группе $A$.

Доказать, что $F$ является векторным пространством над полем $E$.

Если $F$ конечно, то $\left|F\right|=\left|E\right|^{n}$, где $n$ — размерность $F$ как векторного пространства над $E$.

Если $F$ конечно, то $\left|F\right|=p^{m}$, где $p$ — характеристика $F$.

Найти базис и размерность поля $\mathbb {C}$ над полем $\mathbb {R}$.

Пусть $m_{1}, \ldots , m_{1}$ — различные натуральные числа, каждое из которых не делится на квадрат простого числа. Доказать, что числа $1, \sqrt{m_{1}}, \ldots , \sqrt{m_{n}}$ линейно независимы в пространстве $\mathbb {R}$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $r_{1}, \ldots , r_{n}$ — различные рациональные числа из интервала $(0,1)$. Доказать, что в пространстве $\mathbb {R}$ над полем $\mathbb {Q}$ числа $2^{r_{1}}, \ldots , 2^{r_{n}}$ независимы.

Пусть $\alpha$ — комплексный корень многочлена $p \in \mathbb {Q}\left[x\right]$, неприводимого над $\mathbb {Q}$. Найти размерность над $\mathbb {Q}$ пространства $\mathbb {Q}\left[\alpha \right]$, состоящего из чисел вида $f(\alpha ), f \in \mathbb {Q}\left[x\right]$.

Доказать, что относительно этих операций множество $2^{M}$ является векторным пространством над полем $\mathbf{Z}_{2}$, и найти его базис и размерность.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{k}$ — подмножества в $M$, причём ни одно из них не содержится в объединении остальных. Доказать, что $X_{1}, \ldots , X_{k}$ линейно независимая система.

$e_{1}=(1,1,1), \quad e_{2}=(1,1,2), \quad e_{3}=(1,2,3), \quad x=(6,9,14)$;

$e_{1}=(2,1,-3), \quad e_{2}=(3,2,-5), \quad e_{3}=(1,-1,1), \quad x=(6,2,-7)$;

$e_{1}=(1,2,-1,-2), \quad e_{2}=(2,3,0,-1), \quad e_{3}=(1,2,1,4)$, $e_{4}=(1,3,-1,0), \quad x=(7,14,-1,2)$. Доказать, что $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ — также базис пространства, и найти координаты вектора $x$ в этом базисе.

$S=((1,2,1),(2,3,3),(3,8,2))$, $S^{\prime }=((3,5,8),(5,14,13),(1,9,2)) ;$

$S=((1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,2,1),,(1,3,2,3))$, $S^{\prime }=((1,0,3,3),(-2,-3,-5,-4),(2,2,5,4),(-2,-3,-4,-4))$.

поменять местами два вектора первого базиса;

поменять местами два вектора второго базиса;

записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

$a_{1}=(2,2,7,-1), \quad a_{2}=(3,-1,2,4), \quad a_{3}=(1,1,3,1)$;

$a_{1}=(2,3,-4,-1), \quad a_{2}=(1,-2,1,3)$;

$a_{1}=(4,3,-1,1,1), \quad a_{2}=(2,1,-3,2,-5)$, $a_{3}=(1,-3,0,1,-2), \quad a_{4}=(1,5,2,-2,6) ;$

$a_{1}=(2,3,5,-4,1), \quad a_{2}=(1,-1,2,3,5)$.