Линейные функции и отображения

Пусть $V_{0} \xrightarrow {\mathcal{A}_{1}} V_{1} \xrightarrow {\mathcal{A}_{2}} \ldots \xrightarrow {\mathcal{A}_{m}} V_{m}$ — последовательность линейных отображений векторных пространств. Доказать, что

Пусть $F$ — поле из $q$ элементов. Найти:

Пусть линейное отображение $\mathcal{A}: V \rightarrow W$ в базисах $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ пространства $V$ и $\left(f_{1}, f_{2}\right)$ пространства $W$ имеет матрицу $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right)$. Найти матрицу отображения $\mathcal{A}$ в базисах $(e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{1}+e_{2}+e_{3})$ и $\left(f_{1}, f_{1}+f_{2}\right)$.

Пусть $L=K[x]_{1}$ (см. 34.12), $K$ — поле. Найти матрицу линейного отображения $\mathcal{A}: f(x) \mapsto f(S)$ пространства $L$ в пространство $M=\mathbf{M}_{2}(K)$, где $S=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ — фиксированная матрица, если в $L$ выбран базис $(1, x)$, а в $M$ — базис из матричных единиц.

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}: V \rightarrow W$ — линейные отображения, причём $\operatorname {dim}(\operatorname {Im} \mathcal{A}) \leqslant \operatorname {dim}(\operatorname {Im} \mathcal{B})$. Доказать, что существуют такие операторы $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ в $V$ и $W$, что $\mathcal{A}=\mathcal{D B C}$, причём $\mathcal{C}$ (или $\mathcal{D}$) можно выбрать невырожденным.

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}: V \rightarrow W$ — линейные отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}: V \rightarrow W$ — линейные отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $\mathcal{A}: V \rightarrow W$ — линейное отображение. Доказать, что существует такое линейное отображение $\mathcal{B}: W \rightarrow V$, что $\mathcal{A}=\mathcal{A B} \mathcal{A}$, $\mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A B}$.

Пусть $V=\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ и отображения $\alpha^{a}(a \in \mathbb {R}), \beta^{i}, \gamma^{i}$ пространства $V$ в $\mathbb {R}$ заданы правилами

Доказать, что системы:

Доказать, что для любой ненулевой линейной функции $f$ на $n$-мерном пространстве $V$ существует базис $(e_{1}, \ldots , e_{n})$ пространства $V$ такой, что

для любых коэффициентов $x_{1}, \ldots , x_{n}$.

Доказать, что всякое $k$-мерное подпространство $n$-мерного пространства является пересечением ядер некоторых $n-k$ линейных функций.

Пусть $f$ — ненулевая линейная функция на векторном пространстве $V$ (не обязательно конечномерном), $U=\operatorname {Ker} f$. Доказать, что:

Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются линейным множителем.

Доказать, что $n$ линейных функций на $n$-мерном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство.

Доказать, что векторы $e_{1}, \ldots , e_{k}$ конечномерного пространства $V$ линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции $f^{1}, \ldots , f^{k} \in V^{*}$ такие, что $\operatorname {det}\left(f^{i}\left(e_{j}\right)\right) \neq 0$.

Для всякого подмножества $U$ конечномерного пространства $V$ и для всякого подмножества $W$ сопряжённого пространства $V^{*}$ положим

Доказать, что:

Доказать, что пространство многочленов $\mathbb {Q}\left[x\right]$ не изоморфно своему сопряжённому.

Пусть $l_{1}, l_{2}$ — две линейные функции на линейном пространстве $V$, причём $l_{1}(x) l_{2}(x)=0$ для всех $x \in V$. Доказать, что одна из функций нулевая.

Пусть $l_{1}, \ldots , l_{k}$ — линейные функции на линейном векторном пространстве $V$ над бесконечным полем. Доказать, что если $l_{1}(x) \ldots l_{k}(x)=0$ для всех $x \in V$, то одна из функций нулевая.

Пусть $K$ — конечное поле из $q^{n}$ элементов, $F$ — подполе в $K$ из $q$ элементов, $l(x)=x+x^{q}+\ldots +x^{q^{n-1}}, x \in K$. Доказать, что: