Сборник задач по алгебре/II · Линейная алгебра и геометрия

Глава IX

Линейные операторы

[149/56%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

39 · Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора

40 · Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства

41 · Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен

42 · Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы

39 · Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора[24/58%]

Задача 39.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x \mapsto a$ ( $a$ — фиксированный вектор);

(б)

$x \mapsto x+a$ ( $a$ — фиксированный вектор);

(в)

$x \mapsto \alpha x$ ( $\alpha$ — фиксированный скаляр);

(г)

$x \mapsto (x, a) b$ ( $V$ — евклидово пространство, $a, b$ — фиксированные векторы);

(д)

$x \mapsto (a, x) x$ ( $V$ — евклидово пространство, $a$ — фиксированный вектор);

(е)

$f(x) \mapsto f(a x+b) \quad \left(f \in \mathbb {R}\left[x\right]_{n} ; a, b\right.$ — фиксированные числа);

(ж)

$f(x) \mapsto f(x+1)-f(x)\left(f \in \mathbb {R}\left[x\right]_{n}\right)$ ;

(з)

$f(x) \mapsto f^{(k)}(x) \quad \left(f \in \mathbb {R}\left[x\right]_{n}\right)$ ;

(и)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}+2, x_{2}+5, x_{3}\right)$ ;

(к)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}+3 x_{3}, x_{2}^{3}, x_{1}+x_{3}\right)$ ;

(л)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}, x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)$ ?

Задача 39.2

Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему векторов переводит в линейно зависимую систему.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.3

Доказать, что в $n$ -мерном пространстве для любой линейно независимой системы векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и произвольной системы векторов $b_{1}, \ldots , b_{n}$ найдется единственный линейный оператор, переводящий $a_{i}$ в $b_{i}(i=1, \ldots , n)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.4

Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор имеет вид $x \mapsto \alpha x$ , где $\alpha$ — некоторый скаляр.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.5

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)

Найти образы и ядра линейных операторов из задачи 39.1 (при значениях параметров, при которых соответствующее отображение является линейным оператором):

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x \mapsto a$ ( $a$ — фиксированный вектор, $a=0$ );

(б)

$x \mapsto x+a$ ( $a$ — фиксированный вектор, $a=0$ );

(в)

$x \mapsto \alpha x$ ( $\alpha$ — фиксированный скаляр);

(г)

$x \mapsto (x, a) b$ ( $V$ — евклидово пространство, $a, b$ — фиксированные векторы);

(д)

$x \mapsto (a, x) x$ ( $V$ — евклидово пространство, $a$ — фиксированный вектор, $a=0$ );

(е)

$f(x) \mapsto f(a x+b) \quad \left(f \in \mathbb {R}\left[x\right]_{n} ; a, b\right.$ — фиксированные числа);

(ж)

$f(x) \mapsto f(x+1)-f(x)\left(f \in \mathbb {R}\left[x\right]_{n}\right)$ ;

(з)

$f(x) \mapsto f^{(k)}(x) \quad \left(f \in \mathbb {R}\left[x\right]_{n}\right)$ ;

(и)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}, x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)$ .

Задача 39.6

(а)(б)

Доказать, что оператор дифференцирования:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

является вырожденным в пространстве многочленов степени $\leqslant n$ ;

(б)

является невырожденным в пространстве функций с базисом $(\cos t, \sin t)$ .

Задача 39.7

(а)(б)

Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

ядром некоторого линейного оператора;

(б)

образом некоторого линейного оператора.

Задача 39.8

Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они перестановочны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.9

Пусть $\mathcal{A}-F$ -линейный оператор на подпространстве $L$ пространства $V$ , отличном от $V$ . Доказать, что существует бесконечно много линейных операторов на $V$ , ограничение которых на подпространство $L$ совпадает с $\mathcal{A}$ , при условии, что поле $F$ бесконечно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.10

(а)(б)

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в пространстве $V, L$ подпространство $V$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

образ $\mathcal{A}(L)$ и полный прообраз $\mathcal{A}^{-1}(L)$ являются подпространствами в $V$ ;

(б)

если оператор $\mathcal{A}$ — невырожденный и $V$ конечномерно, то

\operatorname {dim} \mathcal{A}(L)=\operatorname {dim} \mathcal{A}^{-1}(L)=\operatorname {dim} L

Задача 39.11

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в пространстве $V, L$ подпространство $V$ и $L \cap \operatorname {Ker} \mathcal{A}=0$ . Доказать, что любая линейно независимая система векторов из $L$ оператором $\mathcal{A}$ переводится в линейно независимую систему.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.12

Доказать для линейных операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ неравенство Фробениуса

\operatorname {rk}(\mathcal{B} \mathcal{A})+\operatorname {rk}(\mathcal{A} \mathcal{C}) \leqslant \operatorname {rk} \mathcal{A}+\operatorname {rk}(\mathcal{B} \mathcal{A} \mathcal{C})

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.13

Линейный оператор $\mathcal{A}$ называется псевдоотражением, если $\operatorname {rk}(\mathcal{A}-\mathcal{E})=1$ .

Доказать, что в $n$ -мерном пространстве всякий линейный оператор является произведением не более чем $n$ псевдоотражений.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.14

Доказать, что для линейного оператора $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном пространстве множество операторов $\mathcal{X}$ таких, что $\mathcal{A X}=0$ , является векторным пространством, и найти его размерность.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.15

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)(н)

Найти матрицу оператора:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}, x_{1}+2 x_{2}, x_{2}+3 x_{3}\right)$ в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ в базисе из единичных векторов;

(б)

поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном базисе;

(в)

поворота трехмерного пространства на угол $2 \pi / 3$ вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями $x_{1}=x_{2}=x_{3}$ , в базисе из единичных векторов осей координат;

(г)

проектирования трехмерного пространства на координатную ось вектора $e_{2}$ параллельно координатной плоскости векторов $e_{1}$ и $e_{3}$ в базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ ;

(д)

$x \mapsto (x, a) a$ в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ при $a=e_{1}-2 e_{3}$ в указанном базисе;

(е)

$X \mapsto \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) X$ в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(ж)

$X \mapsto X\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(з)

$X \mapsto { }^{t} X$ в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(и)

$X \mapsto A X B$ ( $A, B$ — фиксированные матрицы) в пространстве $\mathrm{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе, состоящем из матричных единиц;

(к)

$X \mapsto A X+X B(A, B-$ фиксированные матрицы в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(л)

дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ в базисе $\left(1, x, \ldots , x^{n}\right)$ ;

(м)

дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ в базисе $\left(x^{n}, x^{n-1}, \ldots , 1\right)$ ;

(н)

дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ в базисе

\left(1, x-1, \frac{(x-1)^{2}}{2}, \ldots , \frac{(x-1)^{n}}{n!}\right)

Задача 39.16

Доказать, что в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ существует единственный линейный оператор, переводящий векторы $(1,1,1),(0,1,0)$ , $(1,0,2)$ соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$ , и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.17

Пусть векторное пространство $V$ является прямой суммой подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ с базисами $\left(a_{1}, \ldots , a_{k}\right)$ и $\left(a_{k+1}, \ldots , a_{n}\right)$ . Доказать, что проектирование на $L_{1}$ параллельно $L_{2}$ является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе $\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.18

Найти общий вид матриц линейных операторов в $n$ -мерном пространстве, переводящих заданные линейно независимые векторы $a_{1}, \ldots , a_{k}(k<n)$ в заданные векторы $b_{1}, \ldots , b_{k}$ в базисе вида $\left(a_{1}, \ldots , a_{k}, a_{k+1}, \ldots , a_{n}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.19

(а)(б)

Пусть линейный оператор в пространстве $V$ в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{4}\right)$ имеет матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 1 & -1 & 7 \end{smallmatrix}\right]

Найти матрицу этого оператора в базисах:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(e_{2}, e_{1}, e_{3}, e_{4}\right)$ ;

(б)

$\left(e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{1}+e_{2}+e_{3}, e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}\right)$ .

Задача 39.20

Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{2}$ имеет в базисе $\left(1, x, x^{2}\right)$ матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]

Найти его матрицу в базисе

\left(3 x^{2}+2 x+1, x^{2}+3 x+2,2 x^{2}+x+3\right)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.21

Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ имеет в базисе

((8,-6,7),(-16,7,-13),(9,-3,7))

матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22 \end{smallmatrix}\right]

Найти его матрицу в базисе

((1,-2,1),(3,-1,2),(2,1,2))

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.22

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном векторном пространстве $V$ переводит линейно независимые векторы $a_{1}, \ldots , a_{n}$ в векторы $b_{1}, \ldots , b_{n}$ соответственно. Доказать, что матрица этого оператора в некотором базисе $\mathbf{e}=\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ равна $B A^{-1}$ , где столбцы матриц $A$ и $B$ состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе е.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 39.23

(а)(б)

Найти общий вид матрицы линейного оператора $\mathcal{A}$ в базисе, первые $k$ векторов которого составляют:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

базис ядра оператора $\mathcal{A}$ ;

(б)

базис образа оператора $\mathcal{A}$ .

Задача 39.24

Доказать, что если $f(t)=f_{1}(t) f_{2}(t)$ — разложение многочлена $f(t)$ на взаимно простые множители и для линейного оператора $\mathcal{A}$ выполняется равенство $f(\mathcal{A})=0$ , то в некотором базисе матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет вид $\left(\begin{array}{cc}A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2}\end{array}\right)$ , где $f_{1}\left(A_{1}\right)=0, f_{2}\left(A_{2}\right)=0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

40 · Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства[44/66%]

Задача 40.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Найти собственные векторы и собственные значения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

оператора дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ ;

(б)

оператора $X \mapsto { }^{t} X$ в пространстве $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ ;

(в)

оператора $x \frac{d}{d x}$ в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ ;

(г)

оператора $\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t$ в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ ;

(д)

оператора $f \mapsto \frac{d^{n} f}{d x^{n}}$ в линейной оболочке

\langle 1, \cos x, \sin x, \ldots , \cos m x, \sin m x\rangle

(е)

оператора $f \rightarrow \int_{-x}^{x} f(t) d t$ в линейной оболочке

\langle \cos x, \sin x, \ldots , \cos m x, \sin m x\rangle

Задача 40.2

Доказать, что в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ линейный оператор $f \mapsto f(a x+b)$ имеет множество собственных значений $1, a, \ldots , a^{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.3

Доказать, что собственный вектор линейного оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ является собственным вектором оператора $f(\mathcal{A})$ , где $f(t)$ — многочлен с собственным значением $f(\lambda )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.4

Доказать, что если оператор $\mathcal{A}$ невырожденный, то операторы $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^{-1}$ имеют одни и те же собственные векторы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.5

Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ — оператор подобия $x \mapsto \alpha x$ , где $\alpha$ — некоторый фиксированный скаляр.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.6

Доказать, что если линейный оператор $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном пространстве имеет $n$ различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с $\mathcal{A}$ , имеет базис, состоящий из его собственных векторов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.7

Доказать, что подпространство $V_{\lambda }(\mathcal{A})$ , состоящее из всех собственных векторов оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ и нулевого вектора, инвариантно относительно любого линейного оператора $\mathcal{B}$ , перестановочного с $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.8

(а)(б)

Доказать, что для любой (быть может, бесконечной) совокупности перестановочных линейных операторов конечномерного комплексного пространства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

существует общий собственный вектор;

(б)

существует базис, в котором матрицы всех этих операторов верхние треугольные.

Задача 40.9

Доказать, что если оператор $\mathcal{A}^{2}$ имеет собственное значение $\lambda^{2}$ , то одно из чисел $\lambda$ и $-\lambda$ является собственным значением оператора $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.10

(а)(б)

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

коэффициенты $c_{1}, \ldots , c_{n}$ многочлена

\left|A-\lambda E\right|=(-\lambda )^{n}+c_{1}(-\lambda )^{n-1}+\ldots +c_{n}

являются суммами главных миноров соответствующего порядка матрицы $A$ ;

(б)

сумма и произведение характеристических чисел матрицы $A$ равны её следу и определителю соответственно.

Задача 40.11

Доказать, что всякий многочлен степени $n$ со старшим коэффициентом $(-1)^{n}$ является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.12

Доказать, что если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одинаковых порядков, то матрицы $A B$ и $B A$ имеют совпадающие характеристические многочлены.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.13

Найти характеристические числа матрицы ${ }^{t} A \cdot A$ , где $A$ -матрица-строка $\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.14

Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.15

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 2\end{array}\right) ;$

(в)

$\left(\begin{array}{lll}4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrr}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{rrr}4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 5 & -3 \\ 4 & -1 & 3 & -1\end{array}\right)$ .

Задача 40.16

(а)(б)(в)(г)

Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем $\mathbb {R}$ или над полем $\mathbb {C}$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrr}4 & 7 & -5 \\ -4 & 5 & 0 \\ 1 & 9 & -4\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & -5 \\ 6 & 4 & -9 \\ 5 & 3 & -7\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ .

Найти этот базис и соответствующий вид матрицы.

Задача 40.17

При каких условиях матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, элементов $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ побочной диагонали, равны нулю, подобна диагональной матрице?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.18

Для матрицы $A$ порядка $n$ , у которой элементы побочной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю, найти такую матрицу $T$ , что матрица $B=T^{-1} A T$ диагональна. Вычислить матрицу $B$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.19

Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ не больше кратности $\lambda$ как корня характеристического многочлена оператора $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.20

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения линейного оператора $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном комплексном пространстве. Найти собственные значения оператора $\mathcal{A}$ как оператора в соответствующем $2 n$ -мерном вещественном пространстве.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.21

(а)(б)

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — корни характеристического многочлена матрицы $A$ . Найти собственные значения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

линейного оператора $X \mapsto A X^{t} A$ в пространстве $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ ;

(б)

линейного оператора $X \mapsto A X A^{-1}$ в пространстве $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ (матрица $A$ невырожденная).

Задача 40.22

Найти все инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.23

Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора $\mathcal{A}$ инвариантна относительно $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.24

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

ядро и образ линейного оператора $\mathcal{A}$ инвариантны относительно $\mathcal{A}$ ;

(б)

всякое подпространство, содержащее образ оператора $\mathcal{A}$ , инвариантно относительно $\mathcal{A}$ ;

(в)

если подпространство $L$ инвариантно относительно $\mathcal{A}$ , то его образ и полный прообраз инвариантны относительно $\mathcal{A}$ ;

(г)

если линейный оператор $\mathcal{A}$ невырожденный, то всякое подпространство, инвариантное относительно $\mathcal{A}$ , инвариантно относительно $\mathcal{A}^{-1}$ .

Задача 40.25

Доказать, что в $n$ -мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности $n-1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.26

Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем $K$ , имеющий в некотором базисе матрицу

\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{2} & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \\ a_{n-1} & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ a_{n} & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right]

где многочлен $x^{n}-a_{1} x^{n-1}-\ldots -a_{n-1} x-a_{n}$ неприводим над $K$ , не имеет нетривиальных инвариантных подпространств.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.27

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.28

Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.29

Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей

\left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.30

Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

\left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ 3 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right]

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.31

(а)(б)

В $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ и $\mathbb {C}\left[x\right]_{n}$ найти все подпространства, инвариантные относительно оператора:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathcal{A}(f)=x \frac{d f}{d x}$ ;

(б)

$\mathcal{A}(f)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t$ .

Задача 40.32

(а)(б)

В линейной оболочке функций

\langle \cos x, \sin x, \ldots , \cos n x, \sin n x\rangle

найти все подпространства, инвариантные относительно оператора:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathcal{A}(f)=\frac{d f}{d x}$ ;

(б)

$\mathcal{A}(f)=\int_{-x}^{x} f(t) d t$ .

Задача 40.33

Доказать, что если для операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ конечномерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {C}$ выполняются равенства $\mathcal{A}^{2}=\mathcal{B}^{2}=\mathcal{E}$ , то в $V$ существует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.34

Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора $\mathcal{A}$ , неразложимо в прямую сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.35

(а)(б)(в)(г)

Найти собственные значения и корневые подпространства линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{lll}4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lll}1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{ccc}2 & 6 & -15 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -6\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}0 & -2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 40.36

Доказать, что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все его корневые векторы являются собственными.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.37

Доказать, если что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу, то его ограничение на любое инвариантное подпространство $L$ также имеет диагональную матрицу в некотором базисе подпространства $L$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.38

Доказать, что всякое корневое подпространство линейного оператора $\mathcal{A}$ инвариантно относительно любого линейного оператора $\mathcal{B}$ , перестановочного с $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.39

Доказать, что если матрица линейного оператора приводится к жордановой форме, то всякое инвариантное подпространство является прямой суммой своих пересечений с его корневыми подпространствами.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.40

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ . Рассмотрим в пространстве $\mathbf{M}_{n \times m}(\mathbb {C})$ оператор $L_{A}$ , где $L_{A}(X)=A X$ . Найти собственные значения $L_{A}$ . Найти корневые подпространства оператора $L_{A}$ , где $A$ — верхнетреугольная матрица.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.41

(а)(б)

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}), B \in \mathbf{M}_{m}(\mathbb {C})$ , причём $A$ и $B$ не имеют общих собственных значений. Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $X$ — матрица размера $n \times m$ и $A X-X B=0$ , то $X=0$ ;

(б)

уравнение $A X-X B=C$ , где $X, C$ — матрицы размера $n \times m$ , имеет и притом единственное решение.

Задача 40.42

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в конечномерном комплексном векторном пространстве $V$ . Доказать, что в $V$ существует базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ верхнетреугольная.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.43

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в конечномерном вещественном пространстве $V$ . Доказать, что в $V$ существует базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет блочно-верхнетреугольный вид

\left[\begin{smallmatrix} \boxed {A_{1}} & & & * \\ & \boxed {A_{2}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \boxed {A_{n}} \end{smallmatrix}\right],

где квадратные блоки $A_{1}, \ldots , A_{n}$ имеют размер не выше 2.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 40.44

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — линейные операторы в конечномерном комплексном векторном пространстве и ранг оператора $\mathcal{A B}-\mathcal{B} \mathcal{A}$ не превосходит 1. Доказать, что существует общий собственный вектор для $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

41 · Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен[47/66%]

Задача 41.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)(н)

Найти жорданову форму матрицы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrr}4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrr}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrr}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{rrr}-2 & 8 & 6 \\ -4 & 10 & 6 \\ 4 & -8 & -4\end{array}\right) ; \quad$

(е)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & -3 & 0 & 3 \\ -2 & -6 & 0 & 13 \\ 0 & -3 & 1 & 3 \\ -1 & -4 & 0 & 8\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -3 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -4\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{rrrrrrr}1 & -1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(и)

$\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right) ; \quad$

(к)

$\left(\begin{array}{ccccc}n & n-1 & n-2 & \ldots & 1 \\ 0 & n & n-1 & \ldots & 2 \\ 0 & 0 & n & \ldots & 3 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{array}\right) ;$

(л)

$\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n\end{array}\right) ; \quad$

(м)

$\left(\begin{array}{cccccc}0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right)$ ;

(н)

$\left(\begin{array}{ccccc}\alpha & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 n} \\ 0 & \alpha & a_{23} & \ldots & a_{2 n} \\ 0 & 0 & \alpha & \ldots & a_{3 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha \end{array}\right)$ , где $a_{12}, a_{23}, \ldots , a_{n-1, n} \neq 0$ .

Задача 41.2

Доказать, что жорданова форма матрицы $A+\alpha E$ равна $A_{j}+\alpha E$ , где $A_{j}$ — жорданова форма матрицы $A$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.3

(а)(б)

Пусть $A$ — жорданова клетка порядка $n$ с элементом $\alpha$ на главной диагонали.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Найти матрицу $f(A)$ , где $f(x)$ — многочлен.

(б)

Найти жорданову форму матрицы $A^{2}$ .

Задача 41.4

Найти жорданову форму матрицы

\left[\begin{smallmatrix} \alpha & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \alpha \end{smallmatrix}\right].

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.5

(а)(б)

Найти жорданову форму матрицы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A^{2}$ ;

(б)

$A^{-1}(A$ — невырожденная матрица); если $A$ имеет жорданову форму $A_{j}$ .

Задача 41.6

(а)(б)

Найти жорданову форму матрицы $A$ и выяснить геометрический смысл соответствующего линейного оператора $\mathcal{A}$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A^{2}=E$ ;

(б)

$A^{2}=A$ .

Задача 41.7

Доказать, что всякая периодическая комплексная матрица подобна диагональной матрице, и найти вид этой диагональной матрицы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.8

Доказать, что матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа равны нулю.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.9

Доказать, что для всякого линейного оператора $\mathcal{A}$ ранга 1 в комплексном векторном пространстве существует такое число $k$ , что $\mathcal{A}^{2}=k \mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.10

(а)(б)(в)(г)

Найти жорданову форму матрицы линейного оператора $\mathcal{A}$ и базис $(f_{1}, \ldots , f_{n})$ , в котором $\mathcal{A}$ имеет эту матрицу, если в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ оператор $\mathcal{A}$ задается матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -3 \\ 4 & 10 & -12 \\ 3 & 6 & -7\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ -3 & -3 & 3 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{cccc}6 & -9 & 5 & 4 \\ 7 & -13 & 8 & 7 \\ 8 & -17 & 11 & 8 \\ 1 & -2 & 1 & 3\end{array}\right)$ .

Задача 41.11

Найти жорданову форму матрицы линейного оператора в комплексном векторном пространстве, имеющем только одну инвариантную прямую.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.12

Доказать, что максимальное число линейно независимых собственных векторов линейного оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ равно числу клеток с диагональным элементом $\lambda$ в жордановой форме матрицы оператора $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.13

Доказать, что множество линейных операторов в $n$ -мерном комплексном векторном пространстве, перестановочных с данным оператором $\mathcal{A}$ , является векторным пространством размерности $\geqslant n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.14

Доказать, что если линейный оператор $\mathcal{B}$ в комплексном векторном пространстве перестановочен с любым линейным оператором, перестановочным с оператором $\mathcal{A}$ , то $\mathcal{B}$ — многочлен от $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.15

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ удовлетворяют соотношению $A B-B A=B$ , то матрица $B$ нильпотентна.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.16

В пространстве комплексных многочленов степени не выше 2 по $x$ и $y$ действует оператор $\mathcal{A}: f(x, y) \rightarrow f(x+1, y+1)$ . Найти жорданову форму оператора $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.17

В пространстве комплексных полиномов от $x, y$ степени не выше $n$ действует оператор $\mathcal{A}=\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}$ . Найти жорданову форму $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.18

Доказать, что любая матрица подобна своей транспонированной.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.19

В пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ рассмотрим линейный оператор $L_{A}(X)=A X$ , где $X \in \mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ и $A$ — фиксированная матрица из $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ . Найти жорданову форму оператора $L_{A}$ , зная жорданову форmy $A$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.20

Доказать, что для любой невырожденной квадратной комплексной матрицы $A$ и любого натурального числа $k$ уравнение $X^{k}=A$ имеет решение.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.21

(а)(б)

Решить уравнения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$X^{2}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ ;

(б)

$X^{2}=\left(\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 3 & 7\end{array}\right)$ .

Задача 41.22

(а)(б)

Используя жорданову форму и задачи 17.7-17.9, вычислить:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)^{50}$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rr}7 & -4 \\ 14 & -8\end{array}\right)^{64}$ .

Задача 41.23

Найти минимальный многочлен диагональной матрицы с различными элементами на главной диагонали.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.24

Найти минимальный многочлен жордановой клетки порядка $n$ с числом $\alpha$ на главной диагонали.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.25

Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов её клеток.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.26

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

Найти минимальный многочлен:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

тождественного оператора;

(б)

нулевого оператора;

(в)

оператора проектирования $n$ -мерного пространства $V$ на $k$ -мерное подпространство $L(0<k<n)$ ;

(г)

оператора отражения;

(д)

нильпотентного оператора индекса $k$ ;

(е)

оператора $\mathcal{A}$ из 40.31, а);

(ж)

оператора $\mathcal{A}$ из 40.31, б);

(з)

оператора $\mathcal{A}$ из 40.32, а);

(и)

оператора $\mathcal{A}$ из 40.32, б);

(к)

оператора $L_{A}$ из 40.40;

(л)

оператора $\mathcal{A}$ из 41.16.

Задача 41.27

(а)(б)

Найти минимальный многочлен матрицы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrr}4 & -2 & 2 \\ -5 & 7 & -5 \\ -6 & 6 & -4\end{array}\right)$ .

Задача 41.28

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ в базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ пространства $V$ имеет матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]

Найти минимальный многочлен $g(t)$ оператора $\mathcal{A}$ и разложить пространство $V$ в прямую сумму инвариантных подпространств в соответствии с разложением минимального многочлена на взаимно простые множители.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.29

Доказать, что минимальный многочлен матрицы порядка $\geqslant 2$ и ранга 1 имеет степень 2.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.30

Что можно сказать о жордановой форме матрицы линейного оператора $\mathcal{A}$ в комплексном пространстве, если $\mathcal{A}^{3}=\mathcal{A}^{2}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.31

Доказать, что некоторая степень минимального многочлена матрицы делится на её характеристический многочлен.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.32

Доказать, что для подобия двух матриц необходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.33

Доказать, что если степень минимального многочлена линейного оператора $\mathcal{A}$ равна размерности пространства, то всякий оператор, перестановочный с $\mathcal{A}$ , является многочленом от $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.34

(а)(б)(в)

Линейный оператор называется полупростым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнительное подпространство.

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

ограничение полупростого оператора на инвариантное подпространство также является полупростым оператором;

(б)

линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда пространство является прямой суммой минимальных инвариантных подпространств;

(в)

если для линейного оператора $\mathcal{A}$ существует разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, на каждом из которых ограничение оператора $\mathcal{A}$ полупросто, то $\mathcal{A}$ полупрост на всем пространстве.

Задача 41.35

Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора $\mathcal{A}$ в пространстве $V$ является произведением взаимно простых многочленов $g_{1}(x)$ и $g_{2}(x)$ , то $V$ может быть разложено в прямую сумму двух инвариантных подпространств таких, что ограничения оператора $\mathcal{A}$ на эти подпространства имеют минимальные многочлены $g_{1}(x)$ и $g_{2}(x)$ соответственно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.36

Доказать, что для любого линейного оператора существует такое разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, что минимальные многочлены его ограничений на эти подпространства являются степенями различных неприводимых многочленов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.37

Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора $\mathcal{A}$ является неприводимым многочленом степени $k$ , то для любого $x \neq 0$ векторы $x, \mathcal{A} x, \ldots , \mathcal{A}^{k-1} x$ составляют базис минимального инвариантного подпространства.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.38

Доказать, что линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных неприводимых множителей.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.39

Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем $K$ характеристики 0 полупрост тогда и только тогда, когда он обладает собственным базисом над некоторым расширением поля $K$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.40

Доказать, что сумма двух перестановочных полупростых линейных операторов над полем характеристики 0 является полупростым оператором.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.41

(а)(б)(в)

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в векторном пространстве над полем $K$ характеристики 0 и $K[\mathcal{A}]$ — кольцо линейных операторов, представимых в виде многочленов от $\mathcal{A}$ . Доказать, что если минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}$ является степенью неприводимого многочлена $p(x)$ , то:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

элементы кольца $K[\mathcal{A}]$ , делящиеся в этом кольце на элемент $p(\mathcal{A})$ , образуют идеал $I$ , отличный от $K[\mathcal{A}]$ ;

(б)

для всякого оператора $\mathcal{B} \in I$ минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ делится на $p(x) ;$

(в)

существует оператор $\mathcal{B} \in I$ такой, что минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ равен $p(x)$ .

Задача 41.42

Доказать, что всякий линейный оператор $\mathcal{A}$ в векторном пространстве над полем характеристики 0 может быть представлен в виде суммы полупростого и нильпотентного операторов, являющихся многочленами от $\mathcal{A}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.43

Доказать, что всякий линейный оператор $\mathcal{A}$ можно единственным образом представить в виде суммы перестановочных полупростого и нильпотентного операторов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.44

(а)(б)

Доказать, что если степень минимального многочлена $g(x)$ линейного оператора $\mathcal{A}$ в векторном пространстве $V$ над полем $K$ равна размерности пространства и $g(t)$ является степенью многочлена, неприводимого над $K$ , то:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$V$ нельзя разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств;

(б)

$V$ является циклическим относительно $\mathcal{A}$ .

Задача 41.45

(а)(б)(в)

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения матрицы $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

для любого натурального числа $k$

\operatorname {tr} A^{k}=\lambda _{1}^{k}+\ldots +\lambda _{n}^{k}

(б)

коэффициенты характеристического полинома матрицы $A$ являются многочленами от $\operatorname {tr} A, \ldots , \operatorname {tr} A^{n}$ ;

(в)

если $\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{2}=\ldots =\operatorname {tr} A^{n}=0$ , то матрица $A$ нильпотентна.

Задача 41.46

Пусть

B=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})

и $S=\frac{1}{\sqrt{2}}(E+i B)$ . Доказать, что для жордановой клетки $J(n, \lambda ) \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ справедливо равенство $S J(n, \lambda ) S^{-1}=\lambda E+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1}\left[E_{k, k+1}+E_{k+1, k}+i\left(E_{n-k+1, k+1}-E_{n-k, k}\right)\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 41.47

Доказать, что каждая комплексная матрица подобна симметрической.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

42 · Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы[34/29%]

Задача 42.1

(а)(б)(в)

Пусть $K$ — нормированное поле (см. 66.35) с нормой $\left|x\right|$ . Доказать, что следующие функции в $K^{n}$ являются нормами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\| \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)\right\| =\left|a_{1}\right|+\ldots +\left|a_{n}\right|$ ;

(б)

$\left\| \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)\right\| =\max \left(\left|a_{1}\right|, \ldots ,\left|a_{n}\right|\right)$ ;

(в)

$\left\| \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)\right\| =\sqrt{\left|a_{1}\right|^{2}+\ldots +\left|a_{n}\right|^{2}}$ .

Задача 42.2

Пусть $K$ — локально компактное нормированное поле, $V$ конечномерное векторное пространство над $K$ . Доказать, что любые две нормы $\left\| x\right\|_{1},\left\| x\right\|_{2}$ в $V$ эквивалентны, т.е. существуют такие положительные действительные числа $C_{1}, C_{2}$ , что для всех $x \in V$

C_{1}\left\| x\right\| _{1} \leqslant \left\| x\right\| _{2} \leqslant C_{2}\left\| x\right\| _{1}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.3

Пусть $K$ — нормированное поле, $V$ — конечномерное векторное пространство с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{m}\right)$ . Пусть $x_{n}=x_{n 1} e_{1}+\ldots +x_{n m} e_{m} \in V, x_{i j} \in K, n \geqslant 1$ . Доказать, что последовательность векторов $x_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности $x_{n i}$ для $i=1, \ldots , m$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.4

Пусть $K$ — полное нормированное поле и $V$ — конечномерное нормированное векторное пространство над $K$ . Доказать, что $V$ полно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.5

(а)(б)(в)

Пусть $K$ — нормированное поле и $V$ — нормированное векторное пространство над $K$ . Обозначим через $L(V)$ множество всех таких линейных операторов $\mathcal{A}$ в $V$ , что число $\left\| \mathcal{A}(x)\right\|$ ограничено, если $\left\| x\right\| =1$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$L(V)$ — подпространство в пространстве всех линейных операторов в $V$ ;

(б)

$L(V)$ является нормированной алгеброй с нормой

\left\| \mathcal{A}\right\| =\sup _{\left\| x\right\| =1}\left\| \mathcal{A}(x)\right\| ;

(в)

если $V$ конечномерно, то $L(V)$ — пространство всех операторов в $V$ .

Задача 42.6

(а)(б)

Пусть $K$ — нормированное поле и в $K^{n}$ заданы нормы а), б) из задачи 42.1. Доказать, что (согласно задаче 42.5) нормы в $\mathbf{M}_{n}(K)=L(V)$ имеют вид:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\| A\right\| =\max_{1 \leqslant j \leqslant n}\left(\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right|\right)$ ;

(б)

$\left\| A\right\| =\max_{1 \leqslant i \leqslant n}\left(\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|\right)$ .

Задача 42.7

(а)(б)(в)

Пусть $K$ — нормированное поле. Для $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{M}_{n}(K)$ положим:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\| A\right\|_{1}=\sum_{i, j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|$ ;

(б)

$\left\| A\right\|_{2}=\sqrt{\sum_{i, j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}}$ ;

(в)

$\left\| A\right\|_{3}=n \cdot \max_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\left|a_{i j}\right|$ .

Доказать, что каждая из этих функций задает в $\mathrm{M}_{n}(K)$ структуру нормированной алгебры.

Задача 42.8

Доказать, что для любой матрицы $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ определены матрицы $e^{A}, \sin A, \cos A$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.9

(а)(б)(в)(г)

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sin 2 A=2 \sin A \cos A$ ;

(б)

$e^{i A}=\cos A+i \sin A$ ;

(в)

$\sin A=\frac{1}{2}\left(e^{i A}-e^{-i A}\right)$ ;

(г)

$\cos A=\frac{1}{2}\left(e^{i A}+e^{-i A}\right)$ .

Задача 42.10

Если $A, B \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и $A B=B A$ , то $e^{A+B}=e^{A} e^{B}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.11

Пусть $A$ — нормированная алгебра над полным нормированным полем $K$ . Доказать, что если $x \in A$ , то существует предел

\rho (x)=\lim _{n \rightarrow \infty }\left\| x^{n}\right\| ^{1 / n}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.12

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированным полем $K$ . Доказать, что радиус сходимости ряда $\sum_{n \geqslant 0} t^{n} x^{n} \in A[[t]]$ равен $\rho (x)^{-1}$ (см. задачу 42.11).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.13

(а)(б)

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированным полем $K$ . Спектром $\operatorname {Sp}(x)$ называется множество всех таких $\lambda \in K$ , что элемент $x-\lambda$ необратим в $A$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

радиус наименьшего круга в $K$ с центром в нуле, содержащего $\operatorname {Sp}(x)$ , равен $\rho (x)$ ;

(б)

множество $\operatorname {Sp}(x)$ компактно в $K$ .

Задача 42.14

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — все собственные значения матрицы $A$ . Доказать, что

\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|\lambda _{i}\right|=\rho (A) \leqslant \left\| A\right\|

где $\left\| A\right\|$ — произвольная норма в алгебре $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ , индуцированная в силу 42.5, б) некоторой нормой в $\mathbb {C}^{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.15

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированном полем $K$ и $f(t) \in K[[t]]$ . Доказать, что если $\rho (x)$ меньше радиуса сходимости $f(t)$ , то ряд $f(x)$ сходится.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.16

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированным полем $K, g$ — обратимый элемент $A$ и $f(t) \in K[[t]]$ . Доказать, что ряд $f(x)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $f\left(g x g^{-1}\right)$ , причём $f\left(g x g^{-1}\right)=g f(x) g^{-1}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.17

Пусть $a$ — элемент банаховой алгебры над полным нормированным полем $K$ . Предположим, что $f(t) \in K[[t]]$ , причём ряд $f(a)$ сходится. Пусть у а имеется аннулирующий многочлен степени $n$ . Доказать, что $f(a) \in \left\langle 1, a, a^{2}, \ldots , a^{n-1}\right\rangle$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.18

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и $\lambda_{0}, \ldots , \lambda_{n}$ — все корни характеристического многочлена матрицы $A$ кратностей $k_{0}, \ldots , k_{n}$ . Предположим, что $\lambda_{0}, \ldots , \lambda_{n}$ лежат внутри круга сходимости ряда $u(t) \in \mathbb {C}\left[\left[t\right]\right]$ .

Доказать, что

u(A)=\sum _{i=0}^{n} G_{i}(A) \sum _{k=0}^{k_{i}} \sum _{l=0}^{k} \frac{1}{l!}\left[\left.\frac{d^{l} u}{d x^{l}}\left(\lambda _{i}\right) \cdot \frac{d^{l}}{d x^{l}} G_{i}(x)^{-1}\right|_{x=\lambda _{i}}\left(A-\lambda _{i} E\right)^{k}\right]

где $G_{i}(t)=\prod_{j \neq i}\left(t-\lambda_{j}\right)^{k_{j}}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.19

(а)(б)(в)(г)(д)

Вычислить:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\exp \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\exp \left(\begin{array}{ll}4 & -2 \\ 6 & -3\end{array}\right)$ ;

(в)

$\exp \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -5 \\ 6 & 4 & -9 \\ 5 & 3 & 7\end{array}\right)$ ;

(г)

$\ln \left(\begin{array}{ccc}4 & -15 & 6 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -5 & 3\end{array}\right)$ ;

(д)

$\sin \left(\begin{array}{cc}\pi -1 & 1 \\ -1 & \pi +1\end{array}\right)$ .

Задача 42.20

Найти определитель матрицы $e^{A}$ , где $A$ — квадратная матрица порядка $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.21

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и

x(t)=\left[\begin{smallmatrix} x_{1}(t) \\ \vdots \\ x_{n}(t) \end{smallmatrix}\right]

— непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Доказать, что решением системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

\frac{d}{d t} x(t)=A x(t)

с начальным условием $x\left(t_{0}\right)$ является вектор-функция $x(t)=e^{A t} x\left(t_{0}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.22

Пусть $A$ — неотрицательная матрица и $A^{k}$ — положительная матрица для некоторого натурального числа $k$ . Доказать, что $\rho (A)>0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.23

Привести пример такой неотрицательной $2 \times 2$ -матрицы, не являющейся положительной, что $A^{2}$ является положительной матрицей.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.24

Пусть неотрицательная матрица $A$ имеет положительный собственный вектор. Доказать, что матрица $A$ подобна неотрицательной матрице, у которой суммы элементов каждой строки одинаковы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.25

Пусть $A, B$ — положительные матрицы, причём матрица $A-B$ также положительна. Доказать, что $\rho (A)>\rho (B)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.26

Пусть $A$ — невырожденная неотрицательная матрица, причём и обратная матрица $A^{-1}$ также неотрицательна. Доказать, что $A=D P$ , где $D$ — диагональная неотрицательная обратимая матрица, $P$ — перестановочная матрица.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.27

Пусть $A$ — неотрицательная матрица, $x$ — такой ненулевой комплексный вектор, что $A x-\alpha x$ — неотрицательный вектор для некоторого вещественного числа $\alpha$ . Доказать, что $\rho (A)>\alpha$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.28

Пусть $A$ — неотрицательная матрица, причём ${ }^{t} A$ имеет положительный собственный вектор. Доказать, что если $A x-\rho (A) x-$ неотрицательный вектор для некоторого ненулевого вектора $x$ , то $A x=\rho (A) x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.29

(а)(б)

Пусть $A$ — неотрицательная матрица, причём матрица $A^{k}$ положительна для некоторого натурального числа $k$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A$ имеет положительный собственный вектор;

(б)

$\rho (A)$ — собственное значение $A$ кратности 1.

Задача 42.30

Пусть неотрицательная матрица $A$ имеет собственный вектор $x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ , где $x_{1}, \ldots , x_{r}>0, x_{r+1}=\ldots =x_{n}=0$ . Доказать, что тогда существует такая перестановочная матрица $P$ , что $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ 0 & D\end{array}\right)$ , где $B \in \mathbf{M}_{r}(\mathbb {R}), D \in \mathbf{M}_{n-r}(\mathbb {R})$ , причём $B$ имеет положительный собственный вектор.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.31

Пусть $A$ — неотрицательная матрица. Доказать, что существует положительная матрица $B$ , перестановочная с $A$ , в том и только том случае, если существуют положительные собственные векторы у матриц $A$ и ${ }^{t} A$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.32

Пусть $A$ — неотрицательная трехдиагональная матрица. Доказать, что все собственные значения $A$ вещественны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.33

Пусть $A$ — неотрицательная матрица. Доказать, что $\rho (E+A)=1+\rho (A)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 42.34

(а)(б)(в)(г)

Для неотрицательных матриц $A$ найти неотрицательные собственные векторы $x$ и $\rho (A)$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 2\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 8 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{llll}3 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 5 & 7 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 4\end{array}\right)$ .