Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен

Найти жорданову форму матрицы:

Доказать, что жорданова форма матрицы $A+\alpha E$ равна $A_{j}+\alpha E$, где $A_{j}$ — жорданова форма матрицы $A$.

Пусть $A$ — жорданова клетка порядка $n$ с элементом $\alpha$ на главной диагонали.

Найти жорданову форму матрицы

Найти жорданову форму матрицы:

Найти жорданову форму матрицы $A$ и выяснить геометрический смысл соответствующего линейного оператора $\mathcal{A}$, если:

Доказать, что всякая периодическая комплексная матрица подобна диагональной матрице, и найти вид этой диагональной матрицы.

Доказать, что матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа равны нулю.

Доказать, что для всякого линейного оператора $\mathcal{A}$ ранга 1 в комплексном векторном пространстве существует такое число $k$, что $\mathcal{A}^{2}=k \mathcal{A}$.

Найти жорданову форму матрицы линейного оператора $\mathcal{A}$ и базис $(f_{1}, \ldots , f_{n})$, в котором $\mathcal{A}$ имеет эту матрицу, если в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ оператор $\mathcal{A}$ задается матрицей:

Найти жорданову форму матрицы линейного оператора в комплексном векторном пространстве, имеющем только одну инвариантную прямую.

Доказать, что максимальное число линейно независимых собственных векторов линейного оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ равно числу клеток с диагональным элементом $\lambda$ в жордановой форме матрицы оператора $\mathcal{A}$.

Доказать, что множество линейных операторов в $n$-мерном комплексном векторном пространстве, перестановочных с данным оператором $\mathcal{A}$, является векторным пространством размерности $\geqslant n$.

Доказать, что если линейный оператор $\mathcal{B}$ в комплексном векторном пространстве перестановочен с любым линейным оператором, перестановочным с оператором $\mathcal{A}$, то $\mathcal{B}$ — многочлен от $\mathcal{A}$.

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ удовлетворяют соотношению $A B-B A=B$, то матрица $B$ нильпотентна.

В пространстве комплексных многочленов степени не выше 2 по $x$ и $y$ действует оператор $\mathcal{A}: f(x, y) \rightarrow f(x+1, y+1)$. Найти жорданову форму оператора $\mathcal{A}$.

В пространстве комплексных полиномов от $x, y$ степени не выше $n$ действует оператор $\mathcal{A}=\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}$. Найти жорданову форму $\mathcal{A}$.

Доказать, что любая матрица подобна своей транспонированной.

В пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ рассмотрим линейный оператор $L_{A}(X)=A X$, где $X \in \mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ и $A$ — фиксированная матрица из $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$. Найти жорданову форму оператора $L_{A}$, зная жорданову форmy $A$.

Доказать, что для любой невырожденной квадратной комплексной матрицы $A$ и любого натурального числа $k$ уравнение $X^{k}=A$ имеет решение.

Решить уравнения:

Используя жорданову форму и задачи 17.7-17.9, вычислить:

Найти минимальный многочлен диагональной матрицы с различными элементами на главной диагонали.

Найти минимальный многочлен жордановой клетки порядка $n$ с числом $\alpha$ на главной диагонали.

Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов её клеток.

Найти минимальный многочлен:

Найти минимальный многочлен матрицы:

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ в базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ пространства $V$ имеет матрицу

Найти минимальный многочлен $g(t)$ оператора $\mathcal{A}$ и разложить пространство $V$ в прямую сумму инвариантных подпространств в соответствии с разложением минимального многочлена на взаимно простые множители.

Доказать, что минимальный многочлен матрицы порядка $\geqslant 2$ и ранга 1 имеет степень 2.

Что можно сказать о жордановой форме матрицы линейного оператора $\mathcal{A}$ в комплексном пространстве, если $\mathcal{A}^{3}=\mathcal{A}^{2}$?

Доказать, что некоторая степень минимального многочлена матрицы делится на её характеристический многочлен.

Доказать, что для подобия двух матриц необходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены.

Доказать, что если степень минимального многочлена линейного оператора $\mathcal{A}$ равна размерности пространства, то всякий оператор, перестановочный с $\mathcal{A}$, является многочленом от $\mathcal{A}$.

Линейный оператор называется полупростым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнительное подпространство.

Доказать, что:

Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора $\mathcal{A}$ в пространстве $V$ является произведением взаимно простых многочленов $g_{1}(x)$ и $g_{2}(x)$, то $V$ может быть разложено в прямую сумму двух инвариантных подпространств таких, что ограничения оператора $\mathcal{A}$ на эти подпространства имеют минимальные многочлены $g_{1}(x)$ и $g_{2}(x)$ соответственно.

Доказать, что для любого линейного оператора существует такое разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, что минимальные многочлены его ограничений на эти подпространства являются степенями различных неприводимых многочленов.

Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора $\mathcal{A}$ является неприводимым многочленом степени $k$, то для любого $x \neq 0$ векторы $x, \mathcal{A} x, \ldots , \mathcal{A}^{k-1} x$ составляют базис минимального инвариантного подпространства.

Доказать, что линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных неприводимых множителей.

Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем $K$ характеристики 0 полупрост тогда и только тогда, когда он обладает собственным базисом над некоторым расширением поля $K$.

Доказать, что сумма двух перестановочных полупростых линейных операторов над полем характеристики 0 является полупростым оператором.

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в векторном пространстве над полем $K$ характеристики 0 и $K[\mathcal{A}]$ — кольцо линейных операторов, представимых в виде многочленов от $\mathcal{A}$. Доказать, что если минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}$ является степенью неприводимого многочлена $p(x)$, то:

Доказать, что всякий линейный оператор $\mathcal{A}$ в векторном пространстве над полем характеристики 0 может быть представлен в виде суммы полупростого и нильпотентного операторов, являющихся многочленами от $\mathcal{A}$.

Доказать, что всякий линейный оператор $\mathcal{A}$ можно единственным образом представить в виде суммы перестановочных полупростого и нильпотентного операторов.

Доказать, что если степень минимального многочлена $g(x)$ линейного оператора $\mathcal{A}$ в векторном пространстве $V$ над полем $K$ равна размерности пространства и $g(t)$ является степенью многочлена, неприводимого над $K$, то:

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения матрицы $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$.

Доказать, что:

Пусть

и $S=\frac{1}{\sqrt{2}}(E+i B)$. Доказать, что для жордановой клетки $J(n, \lambda ) \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ справедливо равенство $S J(n, \lambda ) S^{-1}=\lambda E+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1}\left[E_{k, k+1}+E_{k+1, k}+i\left(E_{n-k+1, k+1}-E_{n-k, k}\right)\right]$.

Доказать, что каждая комплексная матрица подобна симметрической.