Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы

Пусть $K$ — нормированное поле (см. 66.35) с нормой $\left|x\right|$. Доказать, что следующие функции в $K^{n}$ являются нормами:

Пусть $K$ — локально компактное нормированное поле, $V$ конечномерное векторное пространство над $K$. Доказать, что любые две нормы $\left\| x\right\|_{1},\left\| x\right\|_{2}$ в $V$ эквивалентны, т.е. существуют такие положительные действительные числа $C_{1}, C_{2}$, что для всех $x \in V$

Пусть $K$ — нормированное поле, $V$ — конечномерное векторное пространство с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{m}\right)$. Пусть $x_{n}=x_{n 1} e_{1}+\ldots +x_{n m} e_{m} \in V, x_{i j} \in K, n \geqslant 1$. Доказать, что последовательность векторов $x_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности $x_{n i}$ для $i=1, \ldots , m$.

Пусть $K$ — полное нормированное поле и $V$ — конечномерное нормированное векторное пространство над $K$. Доказать, что $V$ полно.

Пусть $K$ — нормированное поле и $V$ — нормированное векторное пространство над $K$. Обозначим через $L(V)$ множество всех таких линейных операторов $\mathcal{A}$ в $V$, что число $\left\| \mathcal{A}(x)\right\|$ ограничено, если $\left\| x\right\| =1$. Доказать, что:

Пусть $K$ — нормированное поле и в $K^{n}$ заданы нормы а), б) из задачи 42.1. Доказать, что (согласно задаче 42.5) нормы в $\mathbf{M}_{n}(K)=L(V)$ имеют вид:

Пусть $K$ — нормированное поле. Для $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{M}_{n}(K)$ положим:

Доказать, что для любой матрицы $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ определены матрицы $e^{A}, \sin A, \cos A$.

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$. Доказать, что:

Если $A, B \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и $A B=B A$, то $e^{A+B}=e^{A} e^{B}$.

Пусть $A$ — нормированная алгебра над полным нормированным полем $K$. Доказать, что если $x \in A$, то существует предел

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированным полем $K$. Доказать, что радиус сходимости ряда $\sum_{n \geqslant 0} t^{n} x^{n} \in A[[t]]$ равен $\rho (x)^{-1}$ (см. задачу 42.11).

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированным полем $K$. Спектром $\operatorname {Sp}(x)$ называется множество всех таких $\lambda \in K$, что элемент $x-\lambda$ необратим в $A$.

Доказать, что:

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — все собственные значения матрицы $A$. Доказать, что

где $\left\| A\right\|$ — произвольная норма в алгебре $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$, индуцированная в силу 42.5, б) некоторой нормой в $\mathbb {C}^{n}$.

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированном полем $K$ и $f(t) \in K[[t]]$. Доказать, что если $\rho (x)$ меньше радиуса сходимости $f(t)$, то ряд $f(x)$ сходится.

Пусть $x$ — элемент банаховой алгебры $A$ над полным нормированным полем $K, g$ — обратимый элемент $A$ и $f(t) \in K[[t]]$. Доказать, что ряд $f(x)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $f\left(g x g^{-1}\right)$, причём $f\left(g x g^{-1}\right)=g f(x) g^{-1}$.

Пусть $a$ — элемент банаховой алгебры над полным нормированным полем $K$. Предположим, что $f(t) \in K[[t]]$, причём ряд $f(a)$ сходится. Пусть у а имеется аннулирующий многочлен степени $n$. Доказать, что $f(a) \in \left\langle 1, a, a^{2}, \ldots , a^{n-1}\right\rangle$.

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и $\lambda_{0}, \ldots , \lambda_{n}$ — все корни характеристического многочлена матрицы $A$ кратностей $k_{0}, \ldots , k_{n}$. Предположим, что $\lambda_{0}, \ldots , \lambda_{n}$ лежат внутри круга сходимости ряда $u(t) \in \mathbb {C}\left[\left[t\right]\right]$.

Доказать, что

где $G_{i}(t)=\prod_{j \neq i}\left(t-\lambda_{j}\right)^{k_{j}}$.

Вычислить:

Найти определитель матрицы $e^{A}$, где $A$ — квадратная матрица порядка $n$.

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ и

— непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Доказать, что решением системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

с начальным условием $x\left(t_{0}\right)$ является вектор-функция $x(t)=e^{A t} x\left(t_{0}\right)$.

Пусть $A$ — неотрицательная матрица и $A^{k}$ — положительная матрица для некоторого натурального числа $k$. Доказать, что $\rho (A)>0$.

Привести пример такой неотрицательной $2 \times 2$-матрицы, не являющейся положительной, что $A^{2}$ является положительной матрицей.

Пусть неотрицательная матрица $A$ имеет положительный собственный вектор. Доказать, что матрица $A$ подобна неотрицательной матрице, у которой суммы элементов каждой строки одинаковы.

Пусть $A, B$ — положительные матрицы, причём матрица $A-B$ также положительна. Доказать, что $\rho (A)>\rho (B)$.

Пусть $A$ — невырожденная неотрицательная матрица, причём и обратная матрица $A^{-1}$ также неотрицательна. Доказать, что $A=D P$, где $D$ — диагональная неотрицательная обратимая матрица, $P$ — перестановочная матрица.

Пусть $A$ — неотрицательная матрица, $x$ — такой ненулевой комплексный вектор, что $A x-\alpha x$ — неотрицательный вектор для некоторого вещественного числа $\alpha$. Доказать, что $\rho (A)>\alpha$.

Пусть $A$ — неотрицательная матрица, причём ${ }^{t} A$ имеет положительный собственный вектор. Доказать, что если $A x-\rho (A) x-$ неотрицательный вектор для некоторого ненулевого вектора $x$, то $A x=\rho (A) x$.

Пусть $A$ — неотрицательная матрица, причём матрица $A^{k}$ положительна для некоторого натурального числа $k$. Доказать, что:

Пусть неотрицательная матрица $A$ имеет собственный вектор $x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$, где $x_{1}, \ldots , x_{r}>0, x_{r+1}=\ldots =x_{n}=0$. Доказать, что тогда существует такая перестановочная матрица $P$, что $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ 0 & D\end{array}\right)$, где $B \in \mathbf{M}_{r}(\mathbb {R}), D \in \mathbf{M}_{n-r}(\mathbb {R})$, причём $B$ имеет положительный собственный вектор.

Пусть $A$ — неотрицательная матрица. Доказать, что существует положительная матрица $B$, перестановочная с $A$, в том и только том случае, если существуют положительные собственные векторы у матриц $A$ и ${ }^{t} A$.

Пусть $A$ — неотрицательная трехдиагональная матрица. Доказать, что все собственные значения $A$ вещественны.

Пусть $A$ — неотрицательная матрица. Доказать, что $\rho (E+A)=1+\rho (A)$.

Для неотрицательных матриц $A$ найти неотрицательные собственные векторы $x$ и $\rho (A)$ :