Сборник задач по алгебре/I · Основы алгебры

Глава II

Арифметрические пространства и линейные уравнения

[63/67%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

6 · Арифметические пространства

7 · Ранг матрицы

8 · Системы линейных уравнений

6 · Арифметические пространства[18/61%]

Задача 6.1

Найти линейную комбинацию $3 a_{1}+5 a_{2}-a_{3}$ векторов

a_{1}=(4,1,3,-2), \quad a_{2}=(1,2,-3,2), \quad a_{3}=(16,9,1,-3).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.2

(а)(б)

Найти вектор $x$ из уравнений:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+4 x=0$ , где $a_{1}=(5,-8,-1,2)$ ,

a_{2}=(2,-1,4,-3), \quad a_{3}=(-3,2,-5,4) ;

(б)

$3\left(a_{1}-x\right)+2\left(a_{2}+x\right)=5\left(a_{3}+x\right)$ , где $a_{1}=(2,5,1,3)$ ,

a_{2}=(10,1,5,10), \quad a_{3}=(4,1,-1,1).

Задача 6.3

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1}=(1,2,3), \quad a_{2}=(3,6,7)$ ;

(б)

$a_{1}=(4,-2,6), \quad a_{2}=(6,-3,9)$ ;

(в)

$a_{1}=(2,-3,1), \quad a_{2}=(3,-1,5), \quad a_{3}=(1,-4,3)$ ;

(г)

$a_{1}=(5,4,3), \quad a_{2}=(3,3,2), \quad a_{3}=(8,1,3)$ ;

(д)

$a_{1}=(4,-5,2,6), \quad a_{2}=(2,-2,1,3), \quad a_{3}=(6,-3,3,9)$ ,

a_{4}=(4,-1,5,6) ;

(е)

$a_{1}=(1,0,0,2,5), \quad a_{2}=(0,1,0,3,4), \quad a_{3}=(0,0,1,4,7)$ ,

a_{4}=(2,-3,4,11,12).

Задача 6.4

(а)(б)

Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определённых (одних и тех же для всех векторов) местах, и сохраним их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть удлинённой для второй.

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима;

(б)

удлинённая система любой линейно независимой системы векторов линейно независима.

Задача 6.5

Доказать, что если векторы $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ линейно зависимы и вектор $a_{3}$ не выражается линейно через векторы $a_{1}$ и $a_{2}$ , то $a_{1}$ и $a_{2}$ различаются между собой лишь числовым множителем.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.6

Доказать, что если векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ линейно независимы, а векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}, b$ линейно зависимы, то вектор $b$ линейно выражается через $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.7

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Пусть задана линейно независимая система векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$ . Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$b_{1}=3 a_{1}+2 a_{2}+a_{3}+a_{4}, \quad b_{2}=2 a_{1}+5 a_{2}+3 a_{3}+2 a_{4}$ ,

b_{3}=3 a_{1}+4 a_{2}+2 a_{3}+3 a_{4}

(б)

$b_{1}=3 a_{1}+4 a_{2}-5 a_{3}-2 a_{4}+4 a_{5}, \quad b_{2}=8 a_{1}+7 a_{2}-2 a_{3}+5 a_{4}-10 a_{5}$ , $b_{3}=2 a_{1}-a_{2}+8 a_{3}-a_{4}+2 a_{5} ;$

(в)

$b_{1}=a_{1}, \quad b_{2}=a_{1}+a_{2}, \quad b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}, \quad \ldots$ , $\ldots , \quad b_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} ;$

(г)

$b_{1}=a_{1}, \quad b_{2}=a_{1}+2 a_{2}, \quad b_{3}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}, \quad \ldots$ ,

\ldots , \quad b_{k}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots +k a_{k}

(д)

$b_{1}=a_{1}+a_{2}, \quad b_{2}=a_{2}+a_{3}, \quad b_{3}=a_{3}+a_{4}, \quad \ldots$ ,

\ldots , \quad b_{k-1}=a_{k-1}+a_{k}, \quad b_{k}=a_{k}+a_{1} ;

(е)

$b_{1}=a_{1}-a_{2}, \quad b_{2}=a_{2}-a_{3}, \quad b_{3}=a_{3}-a_{4}, \quad \ldots$ ,

\ldots , \quad b_{k-1}=a_{k-1}-a_{k}, \quad b_{k}=a_{k}-a_{1}.

Задача 6.8

Даны векторы $a_{1}=(0,1,0,2,0), \quad a_{2}=(7,4,1,8,3), \quad a_{3}=(0,3,0,4,0)$ ,

a_{4}=(1,9,5,7,1), \quad a_{5}=(0,1,0,5,0).

Существуют ли числа $c_{i j}$ такие, что векторы

b_{i}=\sum _{j=1}^{5} c_{i j} a_{j}, \quad i=1,2,3,4,5,

линейно независимы?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.9

(а)(б)(в)(г)(д)

Найти все значения $\lambda$ , при которых вектор $b$ линейно выражается через векторы $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1}=(2,3,5), \quad a_{2}=(3,7,8), \quad a_{3}=(1,-6,1), \quad b=(7,-2, \lambda ) ;$

(б)

$a_{1}=(4,4,3), \quad a_{2}=(7,2,1), \quad a_{3}=(4,1,6), \quad b=(5,9, \lambda )$ ;

(в)

$a_{1}=(3,4,2), \quad a_{2}=(6,8,7), \quad a_{3}=(15,20,11), \quad b=(9,12, \lambda )$ ;

(г)

$a_{1}=(3,2,5), \quad a_{2}=(2,4,7), \quad a_{3}=(5,6, \lambda ), \quad b=(1,3,5)$ ;

(д)

$a_{1}=(3,2,6), \quad a_{2}=(5,1,3), \quad a_{3}=(7,3,9), \quad b=(\lambda , 2,5)$ .

Задача 6.10

(а)(б)(в)(г)(д)

Найти все базисы системы векторов:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1}=(1,2,0,0), \quad a_{2}=(1,2,3,4), \quad a_{3}=(3,6,0,0)$ ;

(б)

$a_{1}=(4,-1,3,-2), \quad a_{2}=(8,-2,6,-4), \quad a_{3}=(3,-1,4,-2)$ ,

a_{4}=(6,-2,8,-4)

(в)

$a_{1}=(1,2,3,4), \quad a_{2}=(2,3,4,5), \quad a_{3}=(3,4,5,6)$ ,

a_{4}=(4,5,6,7) ;

(г)

$a_{1}=(2,1,-3,1), \quad a_{2}=(2,2,-6,2), \quad a_{3}=(6,3,-9,3)$ ,

a_{4}=(1,1,1,1) ;

(д)

$a_{1}=(3,2,3), \quad a_{2}=(2,3,4),, \quad a_{3}=(3,2,3), \quad a_{4}=(4,3,4)$ ,

a_{5}=(1,1,1).

Задача 6.11

В каком случае система векторов обладает единственным базисом?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.12

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1}=(5,2,-3,1), \quad a_{2}=(4,1,-2,3), \quad a_{3}=(1,1,-1,-2)$ ,

a_{4}=(3,4,-1,2), \quad a_{5}=(7,-6,-7,0)

(б)

$a_{1}=(2,-1,3,5), \quad a_{2}=(4,-3,1,3), \quad a_{3}=(3,-2,3,4)$ ,

a_{4}=(4,-1,-15,17)

(в)

$a_{1}=(1,2,3,-4), \quad a_{2}=(2,3,-4,1), \quad a_{3}=(2,-5,8,-3)$ ,

a_{4}=(5,26,-9,-12), \quad a_{5}=(3,-4,1,2) ;

(г)

$a_{1}=(2,3,-4,-1), \quad a_{2}=(1,-2,1,3), \quad a_{3}=(5,-3,-1,8)$ ,

a_{4}=(3,8,-9,-5) ;

(д)

$a_{1}=(2,2,7,-1), \quad a_{2}=(3,-1,2,4), \quad a_{3}=(1,1,3,1)$ ;

(е)

$a_{1}=(3,2,-5,4), \quad a_{2}=(3,-1,3,-3), \quad a_{3}=(3,5,-13,11)$ ;

(ж)

$a_{1}=(2,1), \quad a_{2}=(3,2), \quad a_{3}=(1,1), \quad a_{4}=(2,3)$ ;

(з)

$a_{1}=(2,1,-3), \quad a_{2}=(3,1,-5), \quad a_{3}=(4,2,-1), \quad a_{4}=(1,0,-7)$ ;

(и)

$a_{1}=(2,3,5,-4,1), \quad a_{2}=(1,-1,2,3,5)$ ,

a_{3}=(3,7,8,-11,-3), \quad a_{4}=(1,-1,1,-2,3) ;

(к)

$a_{1}=(2,-1,3,4,-1), \quad a_{2}=(1,2,-3,1,2)$ ,

a_{3}=(5,-5,12,11,-5), \quad a_{4}=(1,-3,6,3,-3) ;

(л)

$a_{1}=(4,3,-1,1,-1), \quad a_{2}=(2,1,-3,2,-5)$ ,

a_{3}=(1,-3,0,1,-2), \quad a_{4}=(1,5,2,-2,6)

Задача 6.13

Пусть векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ линейно независимы. Найти все базисы системы векторов $b_{1}=a_{1}-a_{2}, \quad b_{2}=a_{2}-a_{3}, \quad b_{3}=a_{3}-a_{4}, \quad \ldots$

\ldots , \quad b_{k-1}=a_{k-1}-a_{k}, \quad b_{k}=a_{k}-a_{1}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.14

Пусть дана система векторов

a_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \ldots , a_{i n}\right) \quad \text{ где } \quad i=1,2, \ldots , s ; \quad s \leqslant n.

Доказать, что если

\left|a_{j j}\right|>\sum _{\substack {i=1 \\ i \neq j}}^{s}\left|a_{i j}\right|

для всякого $j=1, \ldots , s$ , то данная система векторов линейно независима.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.15

Доказать, что если целочисленные векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k} \in \mathbb {Z}^{n}$ линейно зависимы над полем $\mathbb {Q}$ , то найдутся такие целые числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{k}$ , взаимно простые в совокупности, что

\lambda _{1} a_{1}+\lambda _{2} a_{2}+\ldots +\lambda _{k} a_{k}=0.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.16

Доказать,что если система целочисленных векторов линейно независима над полем вычетов по модулю $p$ для некоторого простого числа $p$ , то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.17

Пусть система целочисленных векторов линейно независима над полем $\mathbb {Q}$ . Доказать, что найдется лишь конечное число (возможно, нуль) простых чисел $p$ таких, что векторы данной системы линейно зависимы по модулю $p$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 6.18

(а)(б)

Для данных систем целочисленных векторов указать все простые числа $p$ , по модулю которых эти системы линейно зависимы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1}=(0,1,1,1), \quad a_{2}=(1,0,1,1), \quad a_{3}=(1,1,0,1)$ ,

a_{4}=(1,1,1,0) ;

(б)

$a_{1}=(1,0,1,1), \quad a_{2}=(2,3,4,3), \quad a_{3}=(1,3,1,1)$ .

7 · Ранг матрицы[19/53%]

Задача 7.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

Найти ранг следующих матриц с помощью окаймления миноров и элементарных преобразований:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{rrrrr}8 & 2 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 7 & 4 & -2 & 5 \\ -2 & 4 & 2 & -1 & 3\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 7 & 7 & 9 \\ 7 & 5 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -1 & -3 \\ -1 & 1 & 3 & 5\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrrr}4 & 1 & 7 & -5 & 1 \\ 0 & -7 & 1 & -3 & -5 \\ 3 & 4 & 5 & -3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & -1 & 3\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrrr}8 & -4 & 5 & 5 & 9 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 3 & 2 & 5\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{rrrrr}-6 & 4 & 8 & -1 & 6 \\ -5 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 8 & -7 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & -5 & 3\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrrrr}77 & 32 & 6 & 5 & 3 \\ 32 & 14 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{rrrrr}3 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & -1 & 1 \\ 12 & 9 & 8 & -7 & 3 \\ -12 & -5 & -8 & 5 & 1\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(и)

$\left(\begin{array}{llllll}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(к)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ ;

(л)

$\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 7.2

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Найти ранг следующих матриц при различных значениях параметра $\lambda$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{ccc}7-\lambda & -12 & 6 \\ 10 & -19-\lambda & 10 \\ 12 & -24 & 13-\lambda \end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{cccc}1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3-\lambda \end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrr}3 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 17 & 7 & 1 \\ 1 & 10 & 4 & \lambda \\ 4 & 1 & 1 & 3\end{array}\right) ; \quad$

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & \lambda & -1 & 2 \\ 2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2-\lambda^{2} & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 9-\lambda^{2}\end{array}\right) ; \quad$

(е)

$\left(\begin{array}{rrrrr}-\lambda & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & -\lambda & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -\lambda & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & -\lambda & 1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1 & 2 & \ldots & n-1 & 1 \\ 1 & \lambda & 2 & \ldots & n-1 & 1 \\ 1 & 2 & \lambda & \ldots & n-1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & \lambda & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n & 1\end{array}\right) ; \quad$

(з)

$\left(\begin{array}{ccccc}1 & \lambda & \lambda^{2} & \ldots & \lambda^{n} \\ 2 & 1 & \lambda & \ldots & \lambda^{n-1} \\ 2 & 2 & 1 & \ldots & \lambda^{n-2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 1\end{array}\right)$ .

Задача 7.3

Доказать, что если ранг матрицы $A$ не изменяется при добавлении к ней любого столбца матрицы $B$ с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к $A$ всех столбцов матрицы $B$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.4

Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы-сомножителя.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.5

Доказать, что ранг матрицы $(A \mid B)$ , полученной приписыванием к матрице $A$ матрицы $B$ , не превосходит суммы рангов матриц $A$ и $B$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.6

Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.7

Доказать, что всякую матрицу ранга $r$ можно представить в виде суммы $r$ матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.8

Доказать, что если ранг матрицы равен $r$ , то минор, стоящий на пересечении любых $r$ линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от 0.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.9

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n>1$ и $r$ — её ранг. Найти ранг присоединённой матрицы $\hat{A}=\left(A_{i j}\right)$ , где $A_{i j}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{j i}$ матрицы $A$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.10

Пусть $A$ и $B$ — матрицы с вещественными элементами с одинаковым числом строк. Доказать, что

r\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ 2 A & -5 B \end{smallmatrix}\right]=r(A)+r(B)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.11

Пусть $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного порядка. Доказать, что

r\left[\begin{smallmatrix} A & A B \\ B & B+B^{2} \end{smallmatrix}\right]=r(A)+r(B)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.12

Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет вид

\left[\begin{smallmatrix} b_{1} c_{1} & b_{1} c_{2} & \ldots & b_{1} c_{n} \\ b_{2} c_{1} & b_{2} c_{2} & \ldots & b_{2} c_{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ b_{m} c_{1} & b_{m} c_{2} & \ldots & b_{m} c_{n} \end{smallmatrix}\right]={ }^{t} B \cdot C

где $\quad B=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{m}\right), \quad C=\left(c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.13

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{k}$ — матрицы с одинаковым числом строк, $C=\left(c_{i j}\right)$ — невырожденная матрица порядка $k$ . Доказать, что ранг матрицы

\left[\begin{smallmatrix} c_{11} A_{1} & c_{12} A_{2} & \ldots & c_{1 k} A_{k} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ c_{k 1} A_{1} & c_{k 2} A_{2} & \ldots & c_{k k} A_{k} \end{smallmatrix}\right]

равен сумме рангов матриц $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{k}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.14

Доказать, что прямоугольная матрица $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ , где $A$ невырожденная матрица порядка $n$ , имеет ранг $n$ в том и только том случае, когда $D=C A^{-1} B$ ; при этом

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right]=\binom {A}{C}\left[\begin{smallmatrix} E_{n} & A^{-1} B \end{smallmatrix}\right]

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.15

Доказать, что каждую невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований II типа со строками можно привести к виду

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & d \end{smallmatrix}\right].

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.16

Доказать, что матрица с определителем, равным 1, является произведением элементарных матриц вида $E+\lambda E_{i j}, \quad i \neq j$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.17

Доказать, что если строки (столбцы) матрицы $A$ линейно зависимы, то с помощью элементарньх преобразований II типа со строками и столбцами матрицу $A$ можно привести к виду

\left[\begin{smallmatrix} E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]

где $E_{r}$ — единичная матрица порядка $r$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.18

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размеров $m \times n, n \times t$ и рангов $r(A), r(B)$ соответственно. Доказать, что ранг матрицы $A B$ не меньше, чем $r(A)+r(B)-n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.19

Доказать, что всякую матрицу элементарными преобразованиями над строками можно привести к виду

\left[\begin{smallmatrix} 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right],

и такой вид определен однозначно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

8 · Системы линейных уравнений[26/81%]

Задача 8.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\begin{cases} 5 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+12 x_{4}=10, \\ 2 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=4, \\ x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}+4 x_{4}=2 ; \end{cases}$

(б)

$\begin{cases} -9 x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}+10 x_{4}=3, \\ -6 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=2, \\ -3 x_{1}+2 x_{2}-11 x_{3}-15 x_{4}=1 ; \end{cases}$

(в)

$\begin{cases} -9 x_{1}+10 x_{2}+3 x_{3}+7 x_{4}=7, \\ -4 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=5, \\ 7 x_{1}+5 x_{2}-4 x_{3}-6 x_{4}=3 ; \end{cases}$

(г)

$\begin{cases} 12 x_{1}+9 x_{2}+3 x_{3}+10 x_{4}=13, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=3, \\ 8 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=7 ; \end{cases}$

(д)

$\begin{cases} -6 x_{1}+9 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=4, \\ -2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+4 x_{4}=2, \\ -4 x_{1}+6 x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}=3 ; \end{cases}$

(е)

$\begin{cases} 8 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}+2 x_{4}=21, \\ 3 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10, \\ 4 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=8, \\ 3 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=15, \\ 7 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+2 x_{4}=18 ; \end{cases}$

(ж)

$\begin{cases} 2 x_{1}+5 x_{2}-8 x_{3}=8, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}-9 x_{3}=9, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3}=7, \\ x_{1}+8 x_{2}-7 x_{3}=12 ; \end{cases}$

(з)

$\begin{cases} 6 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+2 x_{4}+3 x_{5}=1, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=-7, \\ 9 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+2 x_{5}=2, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+x_{4}+2 x_{5}=3. \end{cases}$

Задача 8.2

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)

Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра $\lambda$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\begin{cases} 18 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=5, \\ -12 x_{1}-3 x_{2}-3 x_{3}+3 x_{4}=-6, \\ 4 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=3, \\ \lambda x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+4 x_{4}=2 ; \end{cases}$

(б)

$\begin{cases} -6 x_{1}+8 x_{2}-5 x_{3}-x_{4}=9, \\ -2 x_{1}+4 x_{2}+7 x_{3}+3 x_{4}=1, \\ -3 x_{1}+5 x_{2}+4 x_{3}+2 x_{4}=3, \\ -3 x_{1}+7 x_{2}+17 x_{3}+7 x_{4}=\lambda ; \end{cases}$

(в)

$\begin{cases} 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=2, \\ 4 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=4, \\ 4 x_{1}+14 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=4, \\ 2 x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3}+\lambda x_{4}=7 ; \end{cases}$

(г)

$\begin{cases} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5, \\ 4 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=7, \\ 6 x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3}+8 x_{4}=9, \\ \lambda x_{1}-4 x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4}=11 ; \end{cases}$

(д)

$\begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=3, \\ 4 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5, \\ 6 x_{1}+9 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=7, \\ 8 x_{1}+12 x_{2}+7 x_{3}+\lambda x_{4}=9 ; \end{cases}$

(е)

$\begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=1 ; \end{cases}$

(ж)

$\begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+\lambda x_{4}=1 ; \end{cases}$

(з)

$\begin{cases} (1+\lambda ) x_{1}+x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+(1+\lambda ) x_{2}+x_{3}=\lambda , \\ x_{1}+x_{2}+(1+\lambda ) x_{3}=\lambda^{2} ; \end{cases}$

(и)

$\begin{cases} (1+\lambda ) x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda^{2}+3 \lambda , \\ x_{1}+(1+\lambda ) x_{2}+x_{3}=\lambda^{3}+3 \lambda^{2}, \\ x_{1}+x_{2}+(1+\lambda ) x_{3}=\lambda^{4}+3 \lambda^{3}. \end{cases}$

Задача 8.3

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Найти все векторы пространства $\mathbb {R}^{n}$ , переходящие в вектор $b \in \mathbb {R}^{m}$ при линейном отображении $\mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ , заданном матрицей $A$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -5 \\ 3 & 4 & -9 \\ 5 & 2 & -8 \\ 8 & 1 & -7\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}7 \\ 9 \\ 8 \\ 12\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -3 & -3 & -14 \\ 2 & -6 & -3 & -1 \\ 3 & -9 & -5 & -6\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{r}8 \\ -5 \\ -4\end{array}\right)$ ;

(в)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -2 & -1 & -2 & -3 \\ 3 & -6 & -2 & -4 & -5 \\ 3 & -6 & -4 & -8 & -13 \\ 2 & -4 & -1 & -1 & -2\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -3 \\ -9 \\ -1\end{array}\right)$ ;

(г)

$A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 9 & 4 & -5 \\ 3 & 2 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 6 & -1 \\ 2 & 2 & 3 & 4\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 2 \\ 7 \\ 5\end{array}\right)$ ;

(д)

$A=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 3 & -2 & 3 \\ 2 & 2 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 5 & -2 & 3 \\ 2 & 2 & 8 & -3 & 9\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ;

(е)

$A=\left(\begin{array}{cccc}3 & -6 & -1 & 4 \\ 1 & -2 & -3 & 7 \\ 2 & -4 & -14 & 31\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}-7 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)$ ;

(ж)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & 1 & 3 & -2 & 1 \\ 6 & 3 & 5 & -4 & 3 \\ 2 & 1 & 7 & -4 & 1 \\ 4 & 2 & 2 & -3 & 3\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}4 \\ 5 \\ 11 \\ 6\end{array}\right)$ ;

(з)

$A=\left(\begin{array}{cccc}8 & 6 & 5 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 1 \\ 7 & 4 & 5 & 2\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}21 \\ 10 \\ 8 \\ 15 \\ 18\end{array}\right)$ .

Задача 8.4

(а)(б)(в)(г)

Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\begin{cases} x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+6 x_{3}-4 x_{4}=0, \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0, \\ 3 x_{1}+8 x_{2}+24 x_{3}-19 x_{4}=0 ; \end{cases}$

(б)

$\begin{cases} x_{1}-x_{3}=0, \\ x_{2}-x_{4}=0, \\ -x_{1}+x_{3}-x_{5}=0, \\ -x_{2}+x_{4}-x_{6}=0, \\ -x_{3}+x_{5}=0, \\ -x_{4}+x_{6}=0 ; \end{cases}$

(в)

$\begin{cases} x_{1}-x_{3}+x_{5}=0, \\ x_{2}-x_{4}+x_{6}=0, \\ x_{1}-x_{2}+x_{5}-x_{6}=0, \\ x_{2}-x_{3}+x_{6}=0, \\ x_{1}-x_{4}+x_{5}=0 ; \end{cases}$

(г)

$\begin{cases} x_{1}+x_{2}=0, \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}=0, \\ x_{n-1}+x_{n}=0. \end{cases}$

Задача 8.5

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Найти какой-нибудь базис ядра линейного отображения, заданного матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{rrrr}3 & 5 & -4 & 2 \\ 2 & 4 & -6 & 3 \\ 11 & 17 & -8 & 4\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lllll}3 & 5 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 3 \\ 7 & 9 & 9 & 6 & 5 \\ 4 & 8 & 3 & 2 & 0\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrr}6 & 9 & 2 \\ -4 & 1 & 1 \\ 5 & 7 & 4 \\ 2 & 5 & 3\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrrr}5 & 7 & 6 & -2 & 2 \\ 8 & 9 & 9 & -3 & 4 \\ 7 & 1 & 6 & -2 & 6 \\ 4 & -1 & 3 & -1 & 4\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{lllll}5 & 6 & -2 & 7 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 4 & 2 \\ 7 & 9 & -3 & 5 & 6 \\ 5 & 9 & -3 & 1 & 6\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrrrr}3 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 5 \\ 7 & 10 & 1 & 6 & 5\end{array}\right)$ .

Задача 8.6

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

С помощью правила Крамера решить систему уравнений:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\begin{cases} 2 x_{1}-x_{2}=1, \\ x_{1}+16 x_{2}=17 ; \end{cases}$

(б)

$\begin{cases} 2 x_{1}+5 x_{2}=1, \\ 3 x_{1}+7 x_{2}=2 ; \end{cases}$

(в)

$\begin{cases} x_{1} \cos \alpha +x_{2} \sin \alpha =\cos \beta , \\ -x_{1} \sin \alpha +x_{2} \cos \alpha =\sin \beta ; \end{cases}$

(г)

$\begin{cases} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=3, \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0 ; \end{cases}$

(д)

$\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=6, \\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 ; \end{cases}$

(е)

$\begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=10, \\ 3 x_{1}+7 x_{2}+4 x_{3}=3, \\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=3. \end{cases}$

Задача 8.7

Найти многочлен $f(x)$ второй степени с вещественными коэффициентами, для которого $f(1)=8, \quad f(-1)=2, \quad f(2)=14$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.8

Найти многочлен $f(x)$ третьей степени, для которого $f(-2)=1, \quad f(-1)=3, \quad f(1)=13, \quad f(2)=33$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.9

Найти многочлен $f(x)$ четвертой степени, для которого $f(-3)=-77, \quad f(-2)=-13, \quad f(-1)=1, \quad f(1)=-1, \quad f(2)=-17$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.10

(а)(б)

Решить систему сравнений:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\begin{cases} 2 x+y-z \equiv 1, \\ x+2 y+z \equiv 2,(\bmod 5) ; \\ x+y-z \equiv -1 \end{cases}$

(б)

$\left\{ \begin{aligned} 3 x+2 y+5 z & \equiv 1, \\ 2 x+5 y+3 z & \equiv 1, \\ 5 x+3 y+2 z & \equiv 4\end{aligned}\right\}$

Задача 8.11

Доказать, что если определитель квадратной матрицы $\left(a_{i j}\right)$ порядка $n$ с целыми коэффициентами взаимно прост с натуральным числом $m$ , то система сравнений

\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2}+\ldots +a_{i n}\right) \equiv b_{i} \quad (\bmod m), \quad i=1,2, \ldots , n,

имеет единственное решение по модулю $m$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.12

Пусть $A$ — целочисленная матрица и $d$ — наименьший из модулей ее элементов. Доказать, что если при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы $A$ число $d$ не уменьшается, то $d$ делит все элементы этой матрицы $A$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.13

Доказать, что с помощью элементарных преобразований строк и столбцов над кольцом $\mathbb {Z}$ любую целочисленную матрицу можно привести к виду $\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ , где $A=\operatorname {diag}\left\{ d_{1}, \ldots , d_{r}\right\}$ и $d_{i} \mid d_{i+1}$ , $(i=1,2, \ldots , r-1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.14

Доказать, что если квадратная целочисленная система линейных уравнений является определённой по модулю любого простого числа $p$ , то она является определённой и над кольцом целых чисел.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.15

Выяснить, будет ли квадратная целочисленная система линейных уравнений, совместная по модулю любого простого числа $p$ , совместной над кольцом целых чисел.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.16

(а)(б)(в)

Доказать, что следующие системы уравнений имеют единственное решение по модулю всех простых чисел, кроме конечного их числа. Решить эти системы по модулю остальных простых чисел:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\begin{cases} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=2, \\ 2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=1, \\ 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 ; \end{cases}$

(б)

$\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+x_{2}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 ; \end{cases}$

(в)

$\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=1, \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}$

Задача 8.17

Доказать, что всякую систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами можно привести к ступенчатому виду, используя лишь элементарные преобразования II типа.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.18

Доказать, что при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов целочисленной матрицы наибольший общий делитель ее миноров фиксированного порядка $k$ не меняется.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.19

Доказать, что если целочисленная матрица с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов приведена к виду $\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ , где $A=\operatorname {diag}\left\{ d_{1}, d_{2}, \ldots , d_{r}\right\} , d_{i} \neq 0$ и $d_{i} \mid d_{i+1}$ , то числа $d_{1}, d_{2}, \ldots , d_{r}$ определены однозначно (с точностью до знака).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.20

Два набора неизвестных называются челочисленно эквивалентными, если они связаны соотношением

\left[\begin{smallmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{smallmatrix}\right]=U\left[\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right],

где $U$ — целочисленная матрица с определителем, равным по модулю единице. Доказать, что система уравнений

\sum _{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \ldots , m

где $a_{i j}, b_{i}$ — целые числа, эквивалентна над кольцом целых чисел системе уравнений вида

d_{i} y_{i}=c_{i}, \quad i=1,2, \ldots , m

причем набор неизвестных $\left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right)$ целочисленно эквивалентен набору $\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.21

Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том только том случае, когда для любого натурального числа $k$ наибольшие общие делители всех миноров порядка $k$ в матрице системы и в её расширенной матрице совпадают.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.22

Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том и только том случае, когда она имеет решение по любому модулю $p$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.23

Обосновать следующий практический способ нахождения всех целочисленных решений системы уравнений

\sum _{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \ldots , m

с целыми коэффициентами. Построим матрицу $\left(\begin{array}{cc}A & b \\ E_{n} & 0\end{array}\right)$ размера $(n+m) \times (n+1)$ . Затем, используя лишь целочисленные элементарные преобразования первых $m$ строк и $n$ столбцов, приведем эту матрицу к виду $\left(\begin{array}{cc}D & C \\ U & 0\end{array}\right)$ , где $C=\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ \vdots \\ c_{m}\end{array}\right), \quad \left|\operatorname {det} U\right|=1, \quad D=\left(\begin{array}{ccccccc}d_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & d_{2} & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & d_{r} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right)$ , $d_{i} \mid d_{i+1}, \quad d_{1} \neq 0, \ldots , d_{r} \neq 0$ . Тогда система совместна, если

\begin{gathered} d_{i} \mid c_{i} \quad \text{ при } \quad i=1, \ldots , r, \\ c_{k}=0 \quad \text{ при } \quad k>r, \end{gathered}

а общее решение дается формулой

\left[\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right]=U\left[\begin{smallmatrix} c_{1} / d_{1} \\ \vdots \\ c_{r} / d_{r} \\ y_{r+1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{smallmatrix}\right]

где $y_{r+1}, y_{r+2}, \ldots , y_{n}$ — любые целые числа.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.24

(а)(б)

Найти все целочисленные решения следующих систем уравнений:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=5$ ;

(б)

$\begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}-11 x_{3}-15 x_{4}=1, \\ 4 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=2, \\ 2 x_{1}-3 x_{2}+5 x_{3}+7 x_{4}=1. \end{cases}$

Задача 8.25

Пусть $A$ и $B$ — матрицы одинаковых размеров, причём однородные системы линейных уравнений с матрицами $A$ и $B$ эквивалентны. Доказать, что от $A$ к $B$ можно перейти элементарными преобразованиями строк.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 8.26

Пусть задана система линейных комплексных уравнений $A X=b$ с квадратной невырожденной матрицей $A$ . Предположим, что сумма модулей элементов каждой строки матрицы $E+A$ меньше 1. Пусть $X_{0}$ — произвольный столбец и индуктивно определим $X_{m+1}=(A+E) X_{m}-b$ . Тогда последовательность столбцов $X_{m}$ сходится к решению уравнения $A X=b$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику