8

Системы линейных уравнений

[26/81%]
Показать
LaTeX
Задача 8.1

Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса:

?
(а)

{5x1+3x2+5x3+12x4=10,2x1+2x2+3x3+5x4=4,x1+7x2+9x3+4x4=2;\begin{cases} 5 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+12 x_{4}=10, \\ 2 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=4, \\ x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}+4 x_{4}=2 ; \end{cases}

(б)

{−9x1+6x2+7x3+10x4=3,−6x1+4x2+2x3+3x4=2,−3x1+2x2−11x3−15x4=1;\begin{cases} -9 x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}+10 x_{4}=3, \\ -6 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=2, \\ -3 x_{1}+2 x_{2}-11 x_{3}-15 x_{4}=1 ; \end{cases}

(в)

{−9x1+10x2+3x3+7x4=7,−4x1+7x2+x3+3x4=5,7x1+5x2−4x3−6x4=3;\begin{cases} -9 x_{1}+10 x_{2}+3 x_{3}+7 x_{4}=7, \\ -4 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=5, \\ 7 x_{1}+5 x_{2}-4 x_{3}-6 x_{4}=3 ; \end{cases}

(г)

{12x1+9x2+3x3+10x4=13,4x1+3x2+x3+2x4=3,8x1+6x2+2x3+5x4=7;\begin{cases} 12 x_{1}+9 x_{2}+3 x_{3}+10 x_{4}=13, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=3, \\ 8 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=7 ; \end{cases}

(д)

{−6x1+9x2+3x3+2x4=4,−2x1+3x2+5x3+4x4=2,−4x1+6x2+4x3+3x4=3;\begin{cases} -6 x_{1}+9 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=4, \\ -2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+4 x_{4}=2, \\ -4 x_{1}+6 x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}=3 ; \end{cases}

(е)

{8x1+6x2+5x3+2x4=21,3x1+3x2+2x3+x4=10,4x1+2x2+3x3+x4=8,3x1+3x2+x3+x4=15,7x1+4x2+5x3+2x4=18;\begin{cases} 8 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}+2 x_{4}=21, \\ 3 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10, \\ 4 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=8, \\ 3 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=15, \\ 7 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+2 x_{4}=18 ; \end{cases}

(ж)

{2x1+5x2−8x3=8,4x1+3x2−9x3=9,2x1+3x2−5x3=7,x1+8x2−7x3=12;\begin{cases} 2 x_{1}+5 x_{2}-8 x_{3}=8, \\ 4 x_{1}+3 x_{2}-9 x_{3}=9, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3}=7, \\ x_{1}+8 x_{2}-7 x_{3}=12 ; \end{cases}

(з)

{6x1+4x2+5x3+2x4+3x5=1,3x1+2x2−2x3+x4=−7,9x1+6x2+x3+3x4+2x5=2,3x1+2x2+4x3+x4+2x5=3.\begin{cases} 6 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+2 x_{4}+3 x_{5}=1, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=-7, \\ 9 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+2 x_{5}=2, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+x_{4}+2 x_{5}=3. \end{cases}

Задача 8.2

Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ\lambda :

?
(а)

{18x1+6x2+3x3+2x4=5,−12x1−3x2−3x3+3x4=−6,4x1+5x2+2x3+3x4=3,λx1+4x2+x3+4x4=2;\begin{cases} 18 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=5, \\ -12 x_{1}-3 x_{2}-3 x_{3}+3 x_{4}=-6, \\ 4 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=3, \\ \lambda x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+4 x_{4}=2 ; \end{cases}

(б)

{−6x1+8x2−5x3−x4=9,−2x1+4x2+7x3+3x4=1,−3x1+5x2+4x3+2x4=3,−3x1+7x2+17x3+7x4=λ;\begin{cases} -6 x_{1}+8 x_{2}-5 x_{3}-x_{4}=9, \\ -2 x_{1}+4 x_{2}+7 x_{3}+3 x_{4}=1, \\ -3 x_{1}+5 x_{2}+4 x_{3}+2 x_{4}=3, \\ -3 x_{1}+7 x_{2}+17 x_{3}+7 x_{4}=\lambda ; \end{cases}

(в)

{2x1+5x2+x3+3x4=2,4x1+6x2+3x3+5x4=4,4x1+14x2+x3+7x4=4,2x1−3x2+3x3+λx4=7;\begin{cases} 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=2, \\ 4 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=4, \\ 4 x_{1}+14 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=4, \\ 2 x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3}+\lambda x_{4}=7 ; \end{cases}

(г)

{2x1−x2+3x3+4x4=5,4x1−2x2+5x3+6x4=7,6x1−3x2+7x3+8x4=9,λx1−4x2+9x3+10x4=11;\begin{cases} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5, \\ 4 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=7, \\ 6 x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3}+8 x_{4}=9, \\ \lambda x_{1}-4 x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4}=11 ; \end{cases}

(д)

{2x1+3x2+x3+2x4=3,4x1+6x2+3x3+4x4=5,6x1+9x2+5x3+6x4=7,8x1+12x2+7x3+λx4=9;\begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=3, \\ 4 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5, \\ 6 x_{1}+9 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=7, \\ 8 x_{1}+12 x_{2}+7 x_{3}+\lambda x_{4}=9 ; \end{cases}

(е)

{λx1+x2+x3=1,x1+λx2+x3=1,x1+x2+λx3=1;\begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=1 ; \end{cases}

(ж)

{λx1+x2+x3+x4=1,x1+λx2+x3+x4=1,x1+x2+λx3+x4=1,x1+x2+x3+λx4=1;\begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+\lambda x_{4}=1 ; \end{cases}

(з)

{(1+λ)x1+x2+x3=1,x1+(1+λ)x2+x3=λ,x1+x2+(1+λ)x3=λ2;\begin{cases} (1+\lambda ) x_{1}+x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+(1+\lambda ) x_{2}+x_{3}=\lambda , \\ x_{1}+x_{2}+(1+\lambda ) x_{3}=\lambda^{2} ; \end{cases}

(и)

{(1+λ)x1+x2+x3=λ2+3λ,x1+(1+λ)x2+x3=λ3+3λ2,x1+x2+(1+λ)x3=λ4+3λ3.\begin{cases} (1+\lambda ) x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda^{2}+3 \lambda , \\ x_{1}+(1+\lambda ) x_{2}+x_{3}=\lambda^{3}+3 \lambda^{2}, \\ x_{1}+x_{2}+(1+\lambda ) x_{3}=\lambda^{4}+3 \lambda^{3}. \end{cases}

Задача 8.3

Найти все векторы пространства Rn\mathbb {R}^{n}, переходящие в вектор b∈Rmb \in \mathbb {R}^{m} при линейном отображении Rn→Rm\mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{m}, заданном матрицей AA :

?
(а)

A=(32−534−952−881−7),b=(79812)A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -5 \\ 3 & 4 & -9 \\ 5 & 2 & -8 \\ 8 & 1 & -7\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}7 \\ 9 \\ 8 \\ 12\end{array}\right);

(б)

A=(1−3−3−142−6−3−13−9−5−6),b=(8−5−4)A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -3 & -3 & -14 \\ 2 & -6 & -3 & -1 \\ 3 & -9 & -5 & -6\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{r}8 \\ -5 \\ -4\end{array}\right);

(в)

A=(1−2−1−2−33−6−2−4−53−6−4−8−132−4−1−1−2),b=(−2−3−9−1)A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -2 & -1 & -2 & -3 \\ 3 & -6 & -2 & -4 & -5 \\ 3 & -6 & -4 & -8 & -13 \\ 2 & -4 & -1 & -1 & -2\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -3 \\ -9 \\ -1\end{array}\right);

(г)

A=(194−532252322176−12234),b=(13275)A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 9 & 4 & -5 \\ 3 & 2 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 6 & -1 \\ 2 & 2 & 3 & 4\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 2 \\ 7 \\ 5\end{array}\right);

(д)

A=(113−23224−13335−23228−39),b=(1212)A=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 3 & -2 & 3 \\ 2 & 2 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 5 & -2 & 3 \\ 2 & 2 & 8 & -3 & 9\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right);

(е)

A=(3−6−141−2−372−4−1431),b=(−7−5−10)A=\left(\begin{array}{cccc}3 & -6 & -1 & 4 \\ 1 & -2 & -3 & 7 \\ 2 & -4 & -14 & 31\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}-7 \\ -5 \\ -10\end{array}\right);

(ж)

A=(213−21635−43217−41422−33),b=(45116)A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & 1 & 3 & -2 & 1 \\ 6 & 3 & 5 & -4 & 3 \\ 2 & 1 & 7 & -4 & 1 \\ 4 & 2 & 2 & -3 & 3\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}4 \\ 5 \\ 11 \\ 6\end{array}\right);

(з)

A=(86523321423135117452),b=(211081518)A=\left(\begin{array}{cccc}8 & 6 & 5 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 1 \\ 7 & 4 & 5 & 2\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}21 \\ 10 \\ 8 \\ 15 \\ 18\end{array}\right).

Задача 8.4

Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений:

?
(а)

{x1+x2−2x3+2x4=0,3x1+5x2+6x3−4x4=0,4x1+5x2−2x3+3x4=0,3x1+8x2+24x3−19x4=0;\begin{cases} x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+6 x_{3}-4 x_{4}=0, \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0, \\ 3 x_{1}+8 x_{2}+24 x_{3}-19 x_{4}=0 ; \end{cases}

(б)

{x1−x3=0,x2−x4=0,−x1+x3−x5=0,−x2+x4−x6=0,−x3+x5=0,−x4+x6=0;\begin{cases} x_{1}-x_{3}=0, \\ x_{2}-x_{4}=0, \\ -x_{1}+x_{3}-x_{5}=0, \\ -x_{2}+x_{4}-x_{6}=0, \\ -x_{3}+x_{5}=0, \\ -x_{4}+x_{6}=0 ; \end{cases}

(в)

{x1−x3+x5=0,x2−x4+x6=0,x1−x2+x5−x6=0,x2−x3+x6=0,x1−x4+x5=0;\begin{cases} x_{1}-x_{3}+x_{5}=0, \\ x_{2}-x_{4}+x_{6}=0, \\ x_{1}-x_{2}+x_{5}-x_{6}=0, \\ x_{2}-x_{3}+x_{6}=0, \\ x_{1}-x_{4}+x_{5}=0 ; \end{cases}

(г)

{x1+x2=0,x1+x2+x3=0,x2+x3+x4=0,………………xn−2+xn−1+xn=0,xn−1+xn=0.\begin{cases} x_{1}+x_{2}=0, \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}=0, \\ x_{n-1}+x_{n}=0. \end{cases}

Задача 8.5

Найти какой-нибудь базис ядра линейного отображения, заданного матрицей:

?
(а)

(35−4224−631117−84)\left(\begin{array}{rrrr}3 & 5 & -4 & 2 \\ 2 & 4 & -6 & 3 \\ 11 & 17 & -8 & 4\end{array}\right);

(б)

(35321576437996548320)\left(\begin{array}{lllll}3 & 5 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 3 \\ 7 & 9 & 9 & 6 & 5 \\ 4 & 8 & 3 & 2 & 0\end{array}\right);

(в)

(692−411574253)\left(\begin{array}{rrr}6 & 9 & 2 \\ -4 & 1 & 1 \\ 5 & 7 & 4 \\ 2 & 5 & 3\end{array}\right);

(г)

(576−22899−34716−264−13−14)\left(\begin{array}{rrrrr}5 & 7 & 6 & -2 & 2 \\ 8 & 9 & 9 & -3 & 4 \\ 7 & 1 & 6 & -2 & 6 \\ 4 & -1 & 3 & -1 & 4\end{array}\right);

(д)

(56−27423−14279−35659−316)\left(\begin{array}{lllll}5 & 6 & -2 & 7 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 4 & 2 \\ 7 & 9 & -3 & 5 & 6 \\ 5 & 9 & -3 & 1 & 6\end{array}\right);

(е)

(341235713445215710165)\left(\begin{array}{rrrrr}3 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 5 \\ 7 & 10 & 1 & 6 & 5\end{array}\right).

Задача 8.6

С помощью правила Крамера решить систему уравнений:

?
(а)

{2x1−x2=1,x1+16x2=17;\begin{cases} 2 x_{1}-x_{2}=1, \\ x_{1}+16 x_{2}=17 ; \end{cases}

(б)

{2x1+5x2=1,3x1+7x2=2;\begin{cases} 2 x_{1}+5 x_{2}=1, \\ 3 x_{1}+7 x_{2}=2 ; \end{cases}

(в)

{x1cos⁡α+x2sin⁡α=cos⁡β,−x1sin⁡α+x2cos⁡α=sin⁡β;\begin{cases} x_{1} \cos \alpha +x_{2} \sin \alpha =\cos \beta , \\ -x_{1} \sin \alpha +x_{2} \cos \alpha =\sin \beta ; \end{cases}

(г)

{2x1+x2+x3=3,x1+2x2+x3=0,x1+x2+2x3=0;\begin{cases} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=3, \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0 ; \end{cases}

(д)

{x1+x2+x3=6,−x1+x2+x3=0,x1−x2+x3=2;\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=6, \\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 ; \end{cases}

(е)

{2x1+3x2+5x3=10,3x1+7x2+4x3=3,x1+2x2+2x3=3.\begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=10, \\ 3 x_{1}+7 x_{2}+4 x_{3}=3, \\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=3. \end{cases}

Задача 8.7

Найти многочлен f(x)f(x) второй степени с вещественными коэффициентами, для которого f(1)=8,f(−1)=2,f(2)=14f(1)=8, \quad f(-1)=2, \quad f(2)=14.

?
Задача 8.8

Найти многочлен f(x)f(x) третьей степени, для которого f(−2)=1,f(−1)=3,f(1)=13,f(2)=33f(-2)=1, \quad f(-1)=3, \quad f(1)=13, \quad f(2)=33.

?
Задача 8.9

Найти многочлен f(x)f(x) четвертой степени, для которого f(−3)=−77,f(−2)=−13,f(−1)=1,f(1)=−1,f(2)=−17f(-3)=-77, \quad f(-2)=-13, \quad f(-1)=1, \quad f(1)=-1, \quad f(2)=-17.

?
Задача 8.10

Решить систему сравнений:

?
(а)

{2x+y−z≡1,x+2y+z≡2,( mod 5);x+y−z≡−1\begin{cases} 2 x+y-z \equiv 1, \\ x+2 y+z \equiv 2,(\bmod 5) ; \\ x+y-z \equiv -1 \end{cases}

(б)

{3x+2y+5z≡1,2x+5y+3z≡1,5x+3y+2z≡4}\left\{ \begin{aligned} 3 x+2 y+5 z & \equiv 1, \\ 2 x+5 y+3 z & \equiv 1, \\ 5 x+3 y+2 z & \equiv 4\end{aligned}\right\}

Задача 8.11

Доказать, что если определитель квадратной матрицы (aij)\left(a_{i j}\right) порядка nn с целыми коэффициентами взаимно прост с натуральным числом mm, то система сравнений

(ai1x1+ai2+…+ain)≡bi( mod m),i=1,2,…,n, \left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2}+\ldots +a_{i n}\right) \equiv b_{i} \quad (\bmod m), \quad i=1,2, \ldots , n,

имеет единственное решение по модулю mm.

?
Задача 8.12

Пусть AA — целочисленная матрица и dd — наименьший из модулей ее элементов. Доказать, что если при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы AA число dd не уменьшается, то dd делит все элементы этой матрицы AA.

?
Задача 8.13

Доказать, что с помощью элементарных преобразований строк и столбцов над кольцом Z\mathbb {Z} любую целочисленную матрицу можно привести к виду (A000)\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), где A=diag⁡{d1,…,dr}A=\operatorname {diag}\left\{ d_{1}, \ldots , d_{r}\right\} и di∣di+1d_{i} \mid d_{i+1}, (i=1,2,…,r−1)(i=1,2, \ldots , r-1).

?
Задача 8.14

Доказать, что если квадратная целочисленная система линейных уравнений является определённой по модулю любого простого числа pp, то она является определённой и над кольцом целых чисел.

?
Задача 8.15

Выяснить, будет ли квадратная целочисленная система линейных уравнений, совместная по модулю любого простого числа pp, совместной над кольцом целых чисел.

?
Задача 8.16

Доказать, что следующие системы уравнений имеют единственное решение по модулю всех простых чисел, кроме конечного их числа. Решить эти системы по модулю остальных простых чисел:

?
(а)

{x1+2x2+2x3=2,2x1+x2−2x3=1,2x1−2x2+x3=1;\begin{cases} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=2, \\ 2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=1, \\ 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 ; \end{cases}

(б)

{x1+x2+x3=1,x1+x2+x4=1,x1+x3+x4=1,x2+x3+x4=1;\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1, \\ x_{1}+x_{2}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 ; \end{cases}

(в)

{x1+x2+x3+x4=1,x1+x2−x3−x4=1,x1+x2+x3−x4=1,x1−x2−x3+x4=0.\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=1, \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=1, \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}

Задача 8.17

Доказать, что всякую систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами можно привести к ступенчатому виду, используя лишь элементарные преобразования II типа.

?
Задача 8.18

Доказать, что при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов целочисленной матрицы наибольший общий делитель ее миноров фиксированного порядка kk не меняется.

?
Задача 8.19

Доказать, что если целочисленная матрица с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов приведена к виду (A000)\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), где A=diag⁡{d1,d2,…,dr},di≠0A=\operatorname {diag}\left\{ d_{1}, d_{2}, \ldots , d_{r}\right\} , d_{i} \neq 0 и di∣di+1d_{i} \mid d_{i+1}, то числа d1,d2,…,drd_{1}, d_{2}, \ldots , d_{r} определены однозначно (с точностью до знака).

?
Задача 8.20

Два набора неизвестных называются челочисленно эквивалентными, если они связаны соотношением

[y1⋮yn]=U[x1⋮xn], \left[\begin{smallmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{smallmatrix}\right]=U\left[\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right],

где UU — целочисленная матрица с определителем, равным по модулю единице. Доказать, что система уравнений

∑j=1naijxj=bi,i=1,2,…,m \sum _{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \ldots , m

где aij,bia_{i j}, b_{i} — целые числа, эквивалентна над кольцом целых чисел системе уравнений вида

diyi=ci,i=1,2,…,m d_{i} y_{i}=c_{i}, \quad i=1,2, \ldots , m

причем набор неизвестных (y1,…,yn)\left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right) целочисленно эквивалентен набору (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right).

?
Задача 8.21

Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том только том случае, когда для любого натурального числа kk наибольшие общие делители всех миноров порядка kk в матрице системы и в её расширенной матрице совпадают.

?
Задача 8.22

Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том и только том случае, когда она имеет решение по любому модулю pp.

?
Задача 8.23

Обосновать следующий практический способ нахождения всех целочисленных решений системы уравнений

∑j=1naijxj=bi,i=1,2,…,m \sum _{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \ldots , m

с целыми коэффициентами. Построим матрицу (AbEn0)\left(\begin{array}{cc}A & b \\ E_{n} & 0\end{array}\right) размера (n+m)×(n+1)(n+m) \times (n+1). Затем, используя лишь целочисленные элементарные преобразования первых mm строк и nn столбцов, приведем эту матрицу к виду (DCU0)\left(\begin{array}{cc}D & C \\ U & 0\end{array}\right), где C=(c1⋮cm),∣det⁡U∣=1,D=(d10…00…00d2…00…0…………………00…dr0…000…00…0…………………00…00…0)C=\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ \vdots \\ c_{m}\end{array}\right), \quad \left|\operatorname {det} U\right|=1, \quad D=\left(\begin{array}{ccccccc}d_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & d_{2} & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & d_{r} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right), di∣di+1,d1≠0,…,dr≠0d_{i} \mid d_{i+1}, \quad d_{1} \neq 0, \ldots , d_{r} \neq 0. Тогда система совместна, если

di∣ci при i=1,…,r,ck=0 при k>r, \begin{gathered} d_{i} \mid c_{i} \quad \text{ при } \quad i=1, \ldots , r, \\ c_{k}=0 \quad \text{ при } \quad k>r, \end{gathered}

а общее решение дается формулой

[x1⋮xn]=U[c1/d1⋮cr/dryr+1⋮yn] \left[\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right]=U\left[\begin{smallmatrix} c_{1} / d_{1} \\ \vdots \\ c_{r} / d_{r} \\ y_{r+1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{smallmatrix}\right]

где yr+1,yr+2,…,yny_{r+1}, y_{r+2}, \ldots , y_{n} — любые целые числа.

?
Задача 8.24

Найти все целочисленные решения следующих систем уравнений:

?
(а)

2x1+3x2+4x3=52 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=5;

(б)

{2x1+3x2−11x3−15x4=1,4x1−6x2+2x3+3x4=2,2x1−3x2+5x3+7x4=1.\begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}-11 x_{3}-15 x_{4}=1, \\ 4 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=2, \\ 2 x_{1}-3 x_{2}+5 x_{3}+7 x_{4}=1. \end{cases}

Задача 8.25

Пусть AA и BB — матрицы одинаковых размеров, причём однородные системы линейных уравнений с матрицами AA и BB эквивалентны. Доказать, что от AA к BB можно перейти элементарными преобразованиями строк.

?
Задача 8.26

Пусть задана система линейных комплексных уравнений AX=bA X=b с квадратной невырожденной матрицей AA. Предположим, что сумма модулей элементов каждой строки матрицы E+AE+A меньше 1. Пусть X0X_{0} — произвольный столбец и индуктивно определим Xm+1=(A+E)Xm−bX_{m+1}=(A+E) X_{m}-b. Тогда последовательность столбцов XmX_{m} сходится к решению уравнения AX=bA X=b.

?