Банк задач по математике

Задача 6.1

Найти линейную комбинацию $3 a_{1}+5 a_{2}-a_{3}$ векторов

a_{1}=(4,1,3,-2), \quad a_{2}=(1,2,-3,2), \quad a_{3}=(16,9,1,-3).

?

Задача 6.2

(а)(б)

Найти вектор $x$ из уравнений:

?

(а)

$a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+4 x=0$ , где $a_{1}=(5,-8,-1,2)$ ,

a_{2}=(2,-1,4,-3), \quad a_{3}=(-3,2,-5,4) ;

(б)

$3\left(a_{1}-x\right)+2\left(a_{2}+x\right)=5\left(a_{3}+x\right)$ , где $a_{1}=(2,5,1,3)$ ,

a_{2}=(10,1,5,10), \quad a_{3}=(4,1,-1,1).

Задача 6.3

Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:

?

(а)

$a_{1}=(1,2,3), \quad a_{2}=(3,6,7)$ ;

(б)

$a_{1}=(4,-2,6), \quad a_{2}=(6,-3,9)$ ;

(в)

$a_{1}=(2,-3,1), \quad a_{2}=(3,-1,5), \quad a_{3}=(1,-4,3)$ ;

(г)

$a_{1}=(5,4,3), \quad a_{2}=(3,3,2), \quad a_{3}=(8,1,3)$ ;

(д)

$a_{1}=(4,-5,2,6), \quad a_{2}=(2,-2,1,3), \quad a_{3}=(6,-3,3,9)$ ,

a_{4}=(4,-1,5,6) ;

(е)

$a_{1}=(1,0,0,2,5), \quad a_{2}=(0,1,0,3,4), \quad a_{3}=(0,0,1,4,7)$ ,

a_{4}=(2,-3,4,11,12).

Задача 6.4

(а)(б)

Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определённых (одних и тех же для всех векторов) местах, и сохраним их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть удлинённой для второй.

Доказать, что:

?

(а)

укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима;

(б)

удлинённая система любой линейно независимой системы векторов линейно независима.

Задача 6.5

Доказать, что если векторы $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ линейно зависимы и вектор $a_{3}$ не выражается линейно через векторы $a_{1}$ и $a_{2}$ , то $a_{1}$ и $a_{2}$ различаются между собой лишь числовым множителем.

?

Задача 6.6

Доказать, что если векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ линейно независимы, а векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}, b$ линейно зависимы, то вектор $b$ линейно выражается через $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ .

?

Задача 6.7

Пусть задана линейно независимая система векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$ . Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов:

?

(а)

$b_{1}=3 a_{1}+2 a_{2}+a_{3}+a_{4}, \quad b_{2}=2 a_{1}+5 a_{2}+3 a_{3}+2 a_{4}$ ,

b_{3}=3 a_{1}+4 a_{2}+2 a_{3}+3 a_{4}

(б)

$b_{1}=3 a_{1}+4 a_{2}-5 a_{3}-2 a_{4}+4 a_{5}, \quad b_{2}=8 a_{1}+7 a_{2}-2 a_{3}+5 a_{4}-10 a_{5}$ , $b_{3}=2 a_{1}-a_{2}+8 a_{3}-a_{4}+2 a_{5} ;$

(в)

$b_{1}=a_{1}, \quad b_{2}=a_{1}+a_{2}, \quad b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}, \quad \ldots$ , $\ldots , \quad b_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} ;$

(г)

$b_{1}=a_{1}, \quad b_{2}=a_{1}+2 a_{2}, \quad b_{3}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}, \quad \ldots$ ,

\ldots , \quad b_{k}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots +k a_{k}

(д)

$b_{1}=a_{1}+a_{2}, \quad b_{2}=a_{2}+a_{3}, \quad b_{3}=a_{3}+a_{4}, \quad \ldots$ ,

\ldots , \quad b_{k-1}=a_{k-1}+a_{k}, \quad b_{k}=a_{k}+a_{1} ;

(е)

$b_{1}=a_{1}-a_{2}, \quad b_{2}=a_{2}-a_{3}, \quad b_{3}=a_{3}-a_{4}, \quad \ldots$ ,

\ldots , \quad b_{k-1}=a_{k-1}-a_{k}, \quad b_{k}=a_{k}-a_{1}.

Задача 6.8

Даны векторы $a_{1}=(0,1,0,2,0), \quad a_{2}=(7,4,1,8,3), \quad a_{3}=(0,3,0,4,0)$ ,

a_{4}=(1,9,5,7,1), \quad a_{5}=(0,1,0,5,0).

Существуют ли числа $c_{i j}$ такие, что векторы

b_{i}=\sum _{j=1}^{5} c_{i j} a_{j}, \quad i=1,2,3,4,5,

линейно независимы?

?

Задача 6.9

Найти все значения $\lambda$ , при которых вектор $b$ линейно выражается через векторы $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ :

?

(а)

$a_{1}=(2,3,5), \quad a_{2}=(3,7,8), \quad a_{3}=(1,-6,1), \quad b=(7,-2, \lambda ) ;$

(б)

$a_{1}=(4,4,3), \quad a_{2}=(7,2,1), \quad a_{3}=(4,1,6), \quad b=(5,9, \lambda )$ ;

(в)

$a_{1}=(3,4,2), \quad a_{2}=(6,8,7), \quad a_{3}=(15,20,11), \quad b=(9,12, \lambda )$ ;

(г)

$a_{1}=(3,2,5), \quad a_{2}=(2,4,7), \quad a_{3}=(5,6, \lambda ), \quad b=(1,3,5)$ ;

(д)

$a_{1}=(3,2,6), \quad a_{2}=(5,1,3), \quad a_{3}=(7,3,9), \quad b=(\lambda , 2,5)$ .

Задача 6.10

Найти все базисы системы векторов:

?

(а)

$a_{1}=(1,2,0,0), \quad a_{2}=(1,2,3,4), \quad a_{3}=(3,6,0,0)$ ;

(б)

$a_{1}=(4,-1,3,-2), \quad a_{2}=(8,-2,6,-4), \quad a_{3}=(3,-1,4,-2)$ ,

a_{4}=(6,-2,8,-4)

(в)

$a_{1}=(1,2,3,4), \quad a_{2}=(2,3,4,5), \quad a_{3}=(3,4,5,6)$ ,

a_{4}=(4,5,6,7) ;

(г)

$a_{1}=(2,1,-3,1), \quad a_{2}=(2,2,-6,2), \quad a_{3}=(6,3,-9,3)$ ,

a_{4}=(1,1,1,1) ;

(д)

$a_{1}=(3,2,3), \quad a_{2}=(2,3,4),, \quad a_{3}=(3,2,3), \quad a_{4}=(4,3,4)$ ,

a_{5}=(1,1,1).

Задача 6.11

В каком случае система векторов обладает единственным базисом?

?

Задача 6.12

Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы:

?

(а)

$a_{1}=(5,2,-3,1), \quad a_{2}=(4,1,-2,3), \quad a_{3}=(1,1,-1,-2)$ ,

a_{4}=(3,4,-1,2), \quad a_{5}=(7,-6,-7,0)

(б)

$a_{1}=(2,-1,3,5), \quad a_{2}=(4,-3,1,3), \quad a_{3}=(3,-2,3,4)$ ,

a_{4}=(4,-1,-15,17)

(в)

$a_{1}=(1,2,3,-4), \quad a_{2}=(2,3,-4,1), \quad a_{3}=(2,-5,8,-3)$ ,

a_{4}=(5,26,-9,-12), \quad a_{5}=(3,-4,1,2) ;

(г)

$a_{1}=(2,3,-4,-1), \quad a_{2}=(1,-2,1,3), \quad a_{3}=(5,-3,-1,8)$ ,

a_{4}=(3,8,-9,-5) ;

(д)

$a_{1}=(2,2,7,-1), \quad a_{2}=(3,-1,2,4), \quad a_{3}=(1,1,3,1)$ ;

(е)

$a_{1}=(3,2,-5,4), \quad a_{2}=(3,-1,3,-3), \quad a_{3}=(3,5,-13,11)$ ;

(ж)

$a_{1}=(2,1), \quad a_{2}=(3,2), \quad a_{3}=(1,1), \quad a_{4}=(2,3)$ ;

(з)

$a_{1}=(2,1,-3), \quad a_{2}=(3,1,-5), \quad a_{3}=(4,2,-1), \quad a_{4}=(1,0,-7)$ ;

(и)

$a_{1}=(2,3,5,-4,1), \quad a_{2}=(1,-1,2,3,5)$ ,

a_{3}=(3,7,8,-11,-3), \quad a_{4}=(1,-1,1,-2,3) ;

(к)

$a_{1}=(2,-1,3,4,-1), \quad a_{2}=(1,2,-3,1,2)$ ,

a_{3}=(5,-5,12,11,-5), \quad a_{4}=(1,-3,6,3,-3) ;

(л)

$a_{1}=(4,3,-1,1,-1), \quad a_{2}=(2,1,-3,2,-5)$ ,

a_{3}=(1,-3,0,1,-2), \quad a_{4}=(1,5,2,-2,6)

Задача 6.13

Пусть векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ линейно независимы. Найти все базисы системы векторов $b_{1}=a_{1}-a_{2}, \quad b_{2}=a_{2}-a_{3}, \quad b_{3}=a_{3}-a_{4}, \quad \ldots$

\ldots , \quad b_{k-1}=a_{k-1}-a_{k}, \quad b_{k}=a_{k}-a_{1}

?

Задача 6.14

Пусть дана система векторов

a_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \ldots , a_{i n}\right) \quad \text{ где } \quad i=1,2, \ldots , s ; \quad s \leqslant n.

Доказать, что если

\left|a_{j j}\right|>\sum _{\substack {i=1 \\ i \neq j}}^{s}\left|a_{i j}\right|

для всякого $j=1, \ldots , s$ , то данная система векторов линейно независима.

?

Задача 6.15

Доказать, что если целочисленные векторы $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k} \in \mathbb {Z}^{n}$ линейно зависимы над полем $\mathbb {Q}$ , то найдутся такие целые числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{k}$ , взаимно простые в совокупности, что

\lambda _{1} a_{1}+\lambda _{2} a_{2}+\ldots +\lambda _{k} a_{k}=0.

?

Задача 6.16

Доказать,что если система целочисленных векторов линейно независима над полем вычетов по модулю $p$ для некоторого простого числа $p$ , то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел.

?

Задача 6.17

Пусть система целочисленных векторов линейно независима над полем $\mathbb {Q}$ . Доказать, что найдется лишь конечное число (возможно, нуль) простых чисел $p$ таких, что векторы данной системы линейно зависимы по модулю $p$ .

?

Задача 6.18

(а)(б)

Для данных систем целочисленных векторов указать все простые числа $p$ , по модулю которых эти системы линейно зависимы:

?

(а)

$a_{1}=(0,1,1,1), \quad a_{2}=(1,0,1,1), \quad a_{3}=(1,1,0,1)$ ,

a_{4}=(1,1,1,0) ;

(б)

$a_{1}=(1,0,1,1), \quad a_{2}=(2,3,4,3), \quad a_{3}=(1,3,1,1)$ .

Арифметические пространства