ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Пусть $\nu_n$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью успеха $p$. Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке $[0,1]$ функции $f(x)$ имеет место сходимость

Пусть $f: [0,1] \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Доказать, что полиномы Бернштейна

стремятся к $f(x)$ при $n \to \infty$ равномерно по $x \in [0,1]$:

Пусть $f: \mathbb {R}^{+} \to \mathbb {R}$ — непрерывная ограниченная функция, $K$ — компакт в $[0,\infty )$. Доказать, что полиномы

стремятся к $f(x)$ при $n \to \infty$ равномерно по $x \in K$.

Пусть $f: \mathbb {R}^{+} \to \mathbb {R}$ — непрерывная ограниченная функция, $K$ — компакт в $[0,\infty )$. Доказать, что полиномы

стремятся к $f(x)$ при $n \to \infty$ равномерно по $x \in K$.

В условиях задачи

Пусть $f(x,y)$ — непрерывная в треугольнике $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$, $x+y \leqslant 1$ функция. Доказать, что полиномы Бернштейна в $\mathbb {R}^{2}$

стремятся к $f(x,y)$ при $n \to \infty$ равномерно по $x, y$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин со стандартным распределением Коши. Будет ли выполнен ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Положим

Найти предельное при $n \to \infty$ распределение величины $\tau_n$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, причём $\mathbb {E}\left[\xi_1\right] = a$, $\operatorname {Var}\left[\xi_1\right] = \sigma^2$. Доказать, что последовательность случайных величин $\eta_n$, определяемых равенствами

сходится по вероятности. Найти предел.

Пусть случайная величина $\eta_n$ имеет:

Пусть $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] < \infty$ для всех $n$ и $\operatorname {Var}\left[S_n\right] = o(n^2)$ при $n \to \infty$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ принимает значения $\sqrt{n}$, $-\sqrt{n}$ и $0$ с вероятностями $1/2n$, $1/2n$ и $1-1/n$ соответственно. Будет ли выполнен ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $2^n$ и $-2^n$ с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $n$, $-n$ и $0$ с вероятностями:

Пусть $\xi_n$ принимает значения $2^n$, $-2^n$ и $0$ с вероятностями $2^{-(2n+1)}$, $2^{-(2n+1)}$ и $1-2^{-2n}$ соответственно. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $3^n$, $-3^n$ и $0$ с вероятностями $3^{-(2n+2)}$, $3^{-(2n+2)}$ и $1 - 2 \cdot 3^{-(2n+2)}$ соответственно. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $1$ и $-1$ с вероятностями $(1-2^{-n})/2$ и значения $2^n$ и $-2^n$ с вероятностями $2^{-n-1}$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ принимает значения $n^{\lambda }$ и $-n^{\lambda }$ с вероятностями $1/2$. Выяснить, при каких значениях $\lambda$ для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ принимает $2n+1$ значений $0, \pm L_n, \pm 2L_n, \pm 3L_n, \ldots , \pm nL_n$ с вероятностью $1/(2n+1)$ каждое. Найти условия для констант $L_n$, обеспечивающие выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$.

Пусть $\xi_n$ принимает значения $a_n$, $-a_n$ и $0$ с вероятностями $p_n$, $p_n$ и $1-2p_n$ соответственно. Найти условия на константы $a_n$ и $p_n$, обеспечивающие выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$.

Если $n$ — точный квадрат, то случайная величина $\xi_n$ принимает значения $-\sqrt{n}$ и $\sqrt{n}$ с вероятностью $1/2$ каждое; в остальных случаях $\xi_n$ принимает значения $-1$ и $1$ с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ имеет распределение Пуассона с параметром $\alpha_n$, причём

Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, $\{ a_n\}$ — ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Можно ли утверждать, что если ЗБЧ выполнен для последовательности $\{ \xi_n\}$, то он выполнен и для последовательности $\{ \eta_n\}$, где $\eta_n = a_n \xi_n$?

Пусть $\xi_n$ равномерно распределена на отрезке $[-n, n]$. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-n^{\alpha }, n^{\alpha }]$, $\alpha \in \mathbb {R}$. Выяснить, при каких значениях $\alpha$ для последовательности $\{ \xi_n\}$ будет выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $1/n^{\alpha }$, где $\alpha > 0$. Выяснить, при каких значениях $\alpha$ для последовательности $\{ \xi_n\}$ будет выполнен ЗБЧ.

Пусть $\{ \xi_n\}$ и $\{ \eta_n\}$ — две последовательности, в каждой из которых случайные величины независимы. Предположим, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi_n \neq \eta_n\right)$ сходится. Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] = \mathbb {E}\left[\eta_n\right]$ при каждом $n$ и ЗБЧ выполнен для последовательности $\{ \xi_n\}$, то он выполнен и для последовательности $\{ \eta_n\}$.

Пусть $\xi$ — случайная величина. Определим случайную последовательность $\xi_n$ равенствами $\xi_n = \xi$. Удовлетворяет ли последовательность $\{ \xi_n\}$ ЗБЧ?

Проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха $p$. Положим $\xi_n = 1$, если $n$-е и $(n+1)$-е испытания закончились успехом, и $\xi_n = 0$ иначе. Выполнен ли для последовательности $\{ \xi_n\}$ ЗБЧ?

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \leqslant c < \infty$, и $\xi_n$ не зависит от $\xi_m$, если $|n-m| > 1$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \leqslant c < \infty$, а ковариации отрицательны. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \leqslant c < \infty$, а ковариации $r_{ij} = \operatorname {Cov}\left[\xi_i, \xi_j\right]$ удовлетворяют условию $r_{ij} \to 0$ равномерно при $|i-j| \to \infty$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Доказать, что если $|S_n| < cn$, а $\operatorname {Var}\left[S_n\right] > \alpha n^2$, то ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$ не выполнен.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной ненулевой дисперсией. Доказать, что для последовательности $\{ S_n\}$ ЗБЧ не выполнен.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией. Доказать выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ a_n S_n\}$, если $a_n \sqrt{n} \to 0$ при $n \to \infty$.

Игральная кость А имеет четыре красные и две белые грани, а кость В — две красные и четыре белые грани. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то далее всё время бросают кость А, если решка — только кость В. Положим $\xi_n = 1$, если при $n$-м бросании кости выпала красная грань, и $\xi_n = 0$ — в противном случае. Доказать, что ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$ не выполнен.

Урна содержит $b$ чёрных и $r$ красных шаров. Случайно извлекается шар. Он возвращается обратно, и, кроме того, добавляется $c$ шаров одного с ним цвета. Производится новое случайное извлечение из урны (теперь содержащей $b+r+c$ шаров), и описанная процедура повторяется. Положим случайную величину $\xi_n$ равной $1$ или $0$ в зависимости от того, был ли $n$-й извлечённый шар чёрным или красным. Доказать, что ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$ не выполнен.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин, для которой выполнен закон больших чисел. Обязан ли выполняться ЗБЧ для последовательности $\{ |\xi_n|\}$?

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости $\xi_n \xrightarrow {p} 0$ выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть случайная величина $\xi_1$ равномерно распределена на множестве $S = \{ 1, 2, \ldots , s\}$ и $f: S \to S$ — взаимно-однозначная функция. Случайная последовательность $\xi_n$ определяется равенствами $\xi_n = f(\xi_{n-1})$. Выяснить, при каких условиях на $f$ последовательность $\{ \xi_n\}$ удовлетворяет ЗБЧ.