Независимые разнораспределённые слагаемые

Пусть $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] < \infty$ для всех $n$ и $\operatorname {Var}\left[S_n\right] = o(n^2)$ при $n \to \infty$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ принимает значения $\sqrt{n}$, $-\sqrt{n}$ и $0$ с вероятностями $1/2n$, $1/2n$ и $1-1/n$ соответственно. Будет ли выполнен ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $2^n$ и $-2^n$ с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $n$, $-n$ и $0$ с вероятностями:

Пусть $\xi_n$ принимает значения $2^n$, $-2^n$ и $0$ с вероятностями $2^{-(2n+1)}$, $2^{-(2n+1)}$ и $1-2^{-2n}$ соответственно. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $3^n$, $-3^n$ и $0$ с вероятностями $3^{-(2n+2)}$, $3^{-(2n+2)}$ и $1 - 2 \cdot 3^{-(2n+2)}$ соответственно. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ принимает значения $1$ и $-1$ с вероятностями $(1-2^{-n})/2$ и значения $2^n$ и $-2^n$ с вероятностями $2^{-n-1}$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ принимает значения $n^{\lambda }$ и $-n^{\lambda }$ с вероятностями $1/2$. Выяснить, при каких значениях $\lambda$ для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ принимает $2n+1$ значений $0, \pm L_n, \pm 2L_n, \pm 3L_n, \ldots , \pm nL_n$ с вероятностью $1/(2n+1)$ каждое. Найти условия для констант $L_n$, обеспечивающие выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$.

Пусть $\xi_n$ принимает значения $a_n$, $-a_n$ и $0$ с вероятностями $p_n$, $p_n$ и $1-2p_n$ соответственно. Найти условия на константы $a_n$ и $p_n$, обеспечивающие выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$.

Если $n$ — точный квадрат, то случайная величина $\xi_n$ принимает значения $-\sqrt{n}$ и $\sqrt{n}$ с вероятностью $1/2$ каждое; в остальных случаях $\xi_n$ принимает значения $-1$ и $1$ с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ имеет распределение Пуассона с параметром $\alpha_n$, причём

Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, $\{ a_n\}$ — ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Можно ли утверждать, что если ЗБЧ выполнен для последовательности $\{ \xi_n\}$, то он выполнен и для последовательности $\{ \eta_n\}$, где $\eta_n = a_n \xi_n$?

Пусть $\xi_n$ равномерно распределена на отрезке $[-n, n]$. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть $\xi_n$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-n^{\alpha }, n^{\alpha }]$, $\alpha \in \mathbb {R}$. Выяснить, при каких значениях $\alpha$ для последовательности $\{ \xi_n\}$ будет выполнен ЗБЧ.

Пусть $\xi_n$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $1/n^{\alpha }$, где $\alpha > 0$. Выяснить, при каких значениях $\alpha$ для последовательности $\{ \xi_n\}$ будет выполнен ЗБЧ.

Пусть $\{ \xi_n\}$ и $\{ \eta_n\}$ — две последовательности, в каждой из которых случайные величины независимы. Предположим, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi_n \neq \eta_n\right)$ сходится. Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] = \mathbb {E}\left[\eta_n\right]$ при каждом $n$ и ЗБЧ выполнен для последовательности $\{ \xi_n\}$, то он выполнен и для последовательности $\{ \eta_n\}$.