Зависимые слагаемые

Пусть $\xi$ — случайная величина. Определим случайную последовательность $\xi_n$ равенствами $\xi_n = \xi$. Удовлетворяет ли последовательность $\{ \xi_n\}$ ЗБЧ?

Проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха $p$. Положим $\xi_n = 1$, если $n$-е и $(n+1)$-е испытания закончились успехом, и $\xi_n = 0$ иначе. Выполнен ли для последовательности $\{ \xi_n\}$ ЗБЧ?

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \leqslant c < \infty$, и $\xi_n$ не зависит от $\xi_m$, если $|n-m| > 1$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \leqslant c < \infty$, а ковариации отрицательны. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \leqslant c < \infty$, а ковариации $r_{ij} = \operatorname {Cov}\left[\xi_i, \xi_j\right]$ удовлетворяют условию $r_{ij} \to 0$ равномерно при $|i-j| \to \infty$. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_n\}$ выполнен ЗБЧ.

Доказать, что если $|S_n| < cn$, а $\operatorname {Var}\left[S_n\right] > \alpha n^2$, то ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$ не выполнен.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной ненулевой дисперсией. Доказать, что для последовательности $\{ S_n\}$ ЗБЧ не выполнен.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией. Доказать выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ a_n S_n\}$, если $a_n \sqrt{n} \to 0$ при $n \to \infty$.

Игральная кость А имеет четыре красные и две белые грани, а кость В — две красные и четыре белые грани. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то далее всё время бросают кость А, если решка — только кость В. Положим $\xi_n = 1$, если при $n$-м бросании кости выпала красная грань, и $\xi_n = 0$ — в противном случае. Доказать, что ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$ не выполнен.

Урна содержит $b$ чёрных и $r$ красных шаров. Случайно извлекается шар. Он возвращается обратно, и, кроме того, добавляется $c$ шаров одного с ним цвета. Производится новое случайное извлечение из урны (теперь содержащей $b+r+c$ шаров), и описанная процедура повторяется. Положим случайную величину $\xi_n$ равной $1$ или $0$ в зависимости от того, был ли $n$-й извлечённый шар чёрным или красным. Доказать, что ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$ не выполнен.

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин, для которой выполнен закон больших чисел. Обязан ли выполняться ЗБЧ для последовательности $\{ |\xi_n|\}$?

Пусть $\{ \xi_n\}$ — последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости $\xi_n \xrightarrow {p} 0$ выполнение ЗБЧ для последовательности $\{ \xi_n\}$?

Пусть случайная величина $\xi_1$ равномерно распределена на множестве $S = \{ 1, 2, \ldots , s\}$ и $f: S \to S$ — взаимно-однозначная функция. Случайная последовательность $\xi_n$ определяется равенствами $\xi_n = f(\xi_{n-1})$. Выяснить, при каких условиях на $f$ последовательность $\{ \xi_n\}$ удовлетворяет ЗБЧ.