22

Независимые одинаково распределённые слагаемые

[10/50%]
Показать
LaTeX
Задача 22.1

Пусть νn\nu_n — число успехов в nn испытаниях Бернулли с вероятностью успеха pp. Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке [0,1][0,1] функции f(x)f(x) имеет место сходимость

sup⁡p∈[0,1]∣E[f(νnn)]−f(p)∣→0 при n→∞. \sup _{p \in [0,1]} \left|\mathbb {E}\left[f\left(\frac{\nu _n}{n}\right)\right] - f(p)\right| \to 0 \text{ при } n \to \infty .
?
Примечание.
?

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с E[∣ξ1∣]<∞\mathbb {E}\left[\left|\xi_1\right|\right] < \infty. Тогда имеет место ЗБЧ: Sn/n→pE[ξ1]S_n/n \xrightarrow {p} \mathbb {E}\left[\xi_1\right] при n→∞n \to \infty.

Задача 22.2

Пусть f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb {R} — непрерывная функция. Доказать, что полиномы Бернштейна

Bn(x)=∑i=0nf(in)Cnixi(1−x)n−i B_n(x) = \sum _{i=0}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) C_n^i x^i (1-x)^{n-i}

стремятся к f(x)f(x) при n→∞n \to \infty равномерно по x∈[0,1]x \in [0,1]:

sup⁡x∈[0,1]∣Bn(x)−x∣→0 при n→∞. \sup _{x \in [0,1]} \left|B_n(x) - x\right| \to 0 \text{ при } n \to \infty .
?
Задача 22.3

Пусть f:R+→Rf: \mathbb {R}^{+} \to \mathbb {R} — непрерывная ограниченная функция, KK — компакт в [0,∞)[0,\infty ). Доказать, что полиномы

Bn(x)=∑i=0∞f(in)(nx)ii!e−nx B_n(x) = \sum _{i=0}^{\infty } f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{(nx)^i}{i!} e^{-nx}

стремятся к f(x)f(x) при n→∞n \to \infty равномерно по x∈Kx \in K.

?
Задача 22.4

Пусть f:R+→Rf: \mathbb {R}^{+} \to \mathbb {R} — непрерывная ограниченная функция, KK — компакт в [0,∞)[0,\infty ). Доказать, что полиномы

Bn(x)=∑i=0∞f(in+1)Cn+iixi(1+x)n+i+1 B_n(x) = \sum _{i=0}^{\infty } f\left(\frac{i}{n+1}\right) \frac{C_{n+i}^i x^i}{(1+x)^{n+i+1}}

стремятся к f(x)f(x) при n→∞n \to \infty равномерно по x∈Kx \in K.

?
Задача 22.5

В условиях задачи

?
(а)

22.2;

(б)

22.3;

(в)

22.4

доказать, что если функция ff имеет непрерывную производную f′f', то производные полиномов Bn(x)B_n(x) равномерно стремятся к f′(x)f'(x) при n→∞n \to \infty.

Задача 22.6

Пусть f(x,y)f(x,y) — непрерывная в треугольнике x⩾0x \geqslant 0, y⩾0y \geqslant 0, x+y⩽1x+y \leqslant 1 функция. Доказать, что полиномы Бернштейна в R2\mathbb {R}^{2}

Bn(x,y)=∑i,j=0nf(in,jn)n!i! j! (n−i−j)!xiyj(1−x−y)n−i−j B_n(x,y) = \sum _{i,j=0}^{n} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{n!}{i! \, j! \, (n-i-j)!} x^i y^j (1-x-y)^{n-i-j}

стремятся к f(x,y)f(x,y) при n→∞n \to \infty равномерно по x,yx, y.

?
Задача 22.7

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин со стандартным распределением Коши. Будет ли выполнен ЗБЧ для последовательности {ξn}\{ \xi_n\}?

?
Задача 22.8

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Положим

χn2=∑i=1nξi2иτn=ξn+1χn2/n. \chi _n^2 = \sum _{i=1}^{n} \xi _i^2 \quad \text{и} \quad \tau _n = \frac{\xi _{n+1}}{\sqrt{\chi _n^2/n}}.

Найти предельное при n→∞n \to \infty распределение величины τn\tau_n.

?
Задача 22.9

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, причём E[ξ1]=a\mathbb {E}\left[\xi_1\right] = a, Var⁡[ξ1]=σ2\operatorname {Var}\left[\xi_1\right] = \sigma^2. Доказать, что последовательность случайных величин ηn\eta_n, определяемых равенствами

ηn=ξ1+…+ξnξ12+…+ξn2, \eta _n = \frac{\xi _1 + \ldots + \xi _n}{\xi _1^2 + \ldots + \xi _n^2},

сходится по вероятности. Найти предел.

?
Задача 22.10

Пусть случайная величина ηn\eta_n имеет:

?
(а)

распределение Пуассона с параметром nn;

(б)

биномиальное распределение с параметрами nn и pp;

(в)

нормальное распределение с параметрами 00 и nn.

Выяснить, существует ли предел по вероятности отношения ηn/n\eta_n/n при n→∞n \to \infty.