Часть I

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

[96/90%]
Показать
LaTeX
§
1 · Операции над событиями[25/64%]
Задача 1.1

Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, наудачу выбирают одного. Пусть событие AA заключается в том, что выбранный студент окажется юношей; событие BB — в том, что он не курит, а событие CC — в том, что он живёт в общежитии. Описать событие ABC‾AB\overline{C}. Когда справедливы:

?
(а)

равенство ABC‾=AAB\overline{C} = A;

(б)

включение C‾⊆B\overline{C} \subseteq B;

(в)

равенство A‾=B\overline{A} = B;

(г)

равенство B‾=B\overline{B} = B?

Задача 1.2

Монета подбрасывается три раза подряд. Построить пространство элементарных исходов Ω\Omega. Описать событие AA, состоящее в том, что выпало не менее двух гербов.

?
Задача 1.3

Пусть AA, BB и CC — события. Каков смысл равенств:

?
(а)

ABC=AABC = A;

(б)

A+B+C=AA + B + C = A?

Задача 1.4

Пусть AA, BB и CC — события. Упростить выражения:

?
(а)

(A+B)(B+C)(A+B)(B+C);

(б)

(A+B‾)(A‾+B)(A+\overline{B})(\overline{A}+B);

(в)

(A+B)(A+B‾)(A‾+B)(A+B)(A+\overline{B})(\overline{A}+B).

Задача 1.5

Какие из следующих соотношений правильны:

?
(а)

(A+B)∖C=A+(B∖C)(A+B) \setminus C = A + (B \setminus C);

(б)

(A+B)C‾=A‾ B‾ C‾(A+B)\overline{C} = \overline{A}\, \overline{B}\, \overline{C};

(в)

AB+C+CA⊇ABCAB + C + CA \supseteq ABC;

(г)

(A+B)∖A=B(A+B) \setminus A = B;

(д)

A+B+C=ABCA+B+C = ABC;

(е)

(A+B)C‾=C∖(C(A+B))(A+B)\overline{C} = C \setminus (C(A+B));

(ж)

ABC=AB(B+C)ABC = AB(B+C);

(з)

A+B=(A∖AB)+BA+B = (A \setminus AB) + B;

(и)

(A+B)C‾=A‾ C‾+B‾ C‾\overline{(A+B)C} = \overline{A}\, \overline{C} + \overline{B}\, \overline{C};

(к)

ABC⊆A+BABC \subseteq A+B;

(л)

(AB+BC+CA)⊆(A+B+C)(AB+BC+CA) \subseteq (A+B+C)?

Задача 1.6

Пусть AA, BB и CC — произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из AA, BB и CC:

?
(а)

произошло только AA;

(б)

произошли AA и BB, но CC не произошло;

(в)

все три события произошли;

(г)

произошло хотя бы одно из этих событий;

(д)

произошло хотя бы два события;

(е)

произошло одно и только одно из этих событий;

(ж)

произошло два и только два события;

(з)

ни одно событие не произошло;

(и)

произошло не более двух событий.

Задача 1.7

Рабочий изготовил nn деталей. Пусть событие AiA_i состоит в том, что ii-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что:

?
(а)

ни одна из деталей не имеет дефектов;

(б)

хотя бы одна деталь имеет дефект;

(в)

ровно одна деталь имеет дефект;

(г)

не более двух деталей имеют дефекты;

(д)

по крайней мере две детали не имеют дефектов;

(е)

точно две детали дефектны.

Задача 1.8

Объединение A∪BA \cup B двух событий может быть выражено как объединение двух несовместных событий, например, A∪B=A∪(BA‾)A \cup B = A \cup (B\overline{A}). Выразить подобным образом объединение трёх событий AA, BB и CC.

?
Задача 1.9

Доказать, что для любого набора событий A1,…,AnA_1, \ldots , A_n выполнены равенства

⋂i=1nAi‾=⋃i=1nAi‾,⋃i=1nAi‾=⋂i=1nAi‾. \overline{\bigcap _{i=1}^{n} A_i} = \bigcup _{i=1}^{n} \overline{A_i}, \qquad \overline{\bigcup _{i=1}^{n} A_i} = \bigcap _{i=1}^{n} \overline{A_i}.
?
Задача 1.10

Пусть BB и CC — два события. Положим An=BA_n = B, если nn чётное и An=CA_n = C, если nn нечётное. Найти событие, состоящее в том, что:

?
(а)

произошло бесконечно много событий среди AnA_n;

(б)

произошло конечное число событий среди AnA_n;

(в)

произошли все события AnA_n, за исключением, быть может, лишь конечного числа из них.

Задача 1.11

Пусть Ω\Omega — пространство элементарных исходов, AA — его произвольное подмножество, причём A≠ΩA \neq \Omega и A≠∅A \neq \emptyset. Доказать, что следующие наборы подмножеств Ω\Omega являются σ\sigma-алгебрами:

?
(а)

F={Ω,∅}\mathcal{F} = \left\{ \Omega , \emptyset \right\} (эта σ\sigma-алгебра называется тривиальной);

(б)

F={Ω,∅,A,A‾}\mathcal{F} = \left\{ \Omega , \emptyset , A, \overline{A}\right\}.

Задача 1.12

Доказать, что если пространство элементарных исходов Ω\Omega состоит из nn элементов, то множество всех подмножеств Ω\Omega содержит ровно 2n2^n элементов.

?
Задача 1.13

Монета подбрасывается три раза подряд. Являются ли σ\sigma-алгебрами следующие системы подмножеств:

?
(а)

∅\emptyset, Ω\Omega, {ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР}\left\{ \text{ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР}\right\}, {РГГ, РГР, РРГ, РРР}\left\{ \text{РГГ, РГР, РРГ, РРР}\right\};

(б)

∅\emptyset, Ω\Omega, {ГГГ, ГРГ, РГР, РРР}\left\{ \text{ГГГ, ГРГ, РГР, РРР}\right\}, {РГГ, РГР, РРГ, РРР}\left\{ \text{РГГ, РГР, РРГ, РРР}\right\}?

Задача 1.14

Пусть Ω=R\Omega = \mathbb {R}. Доказать, что совокупность подмножеств A={Ω,∅,[0,1],{0}}\mathcal{A} = \left\{ \Omega , \emptyset , [0,1], \left\{ 0\right\} \right\} не является σ\sigma-алгеброй. Построить минимальную σ\sigma-алгебру, содержащую A\mathcal{A}.

?
Задача 1.15

Пусть F\mathcal{F} — совокупность всех подмножеств A⊆RA \subseteq \mathbb {R} таких, что AA или R∖A\mathbb {R} \setminus A содержит конечное число элементов. Является ли F\mathcal{F} алгеброй множеств? Найти наименьшую σ\sigma-алгебру, порождённую F\mathcal{F}. Являются ли измеримыми относительно σ(F)\sigma (\mathcal{F}) следующие функции:

?
(а)

f(x)=xf(x) = x;

(б)

f(x)≡17f(x) \equiv 17;

(в)

f(x)=  1Z(x)f(x) = \; \mathbb {1}_{\mathbb {Z}}(x);

(г)

f(x)=  1[0,1](x)f(x) = \; \mathbb {1}_{[0,1]}(x);

(д)

f(x)=  1{0}(x)f(x) = \; \mathbb {1}_{\left\{ 0\right\} }(x);

(е)

f(x)=x  1Z(x)f(x) = x \; \mathbb {1}_{\mathbb {Z}}(x)?

Задача 1.16

Пусть F\mathcal{F} — совокупность отрезков в R\mathbb {R} вида [0,2−n)[0, 2^{-n}), где n∈Z+n \in \mathbb {Z}_{+}.

?
(а)

Является ли F\mathcal{F} σ\sigma-алгеброй подмножеств?

(б)

Найти наименьшую σ\sigma-алгебру, порождённую F\mathcal{F}.

(в)

Какие функции из R\mathbb {R} в R\mathbb {R} измеримы относительно σ(F)\sigma (\mathcal{F})?

Задача 1.17

Пусть F\mathcal{F} — совокупность отрезков в R\mathbb {R} вида [0,n)[0, n), где n∈Z+n \in \mathbb {Z}_{+}.

?
(а)

Является ли F\mathcal{F} σ\sigma-алгеброй подмножеств?

(б)

Найти наименьшую σ\sigma-алгебру, порождённую F\mathcal{F}.

(в)

Какие функции из R\mathbb {R} в R\mathbb {R} измеримы относительно σ(F)\sigma (\mathcal{F})?

Задача 1.18

Пусть F1\mathcal{F}_1 — совокупность всех подмножеств в R2\mathbb {R}^{2} вида B×RB \times \mathbb {R}, где B⊆RB \subseteq \mathbb {R} измеримо по Борелю, а F2\mathcal{F}_2 — вида R×B\mathbb {R} \times B.

?
(а)

Являются ли F1\mathcal{F}_1 и F2\mathcal{F}_2 σ\sigma-алгебрами подмножеств?

(б)

Какие события из F2\mathcal{F}_2 измеримы относительно F1\mathcal{F}_1?

(в)

Какие функции из R2\mathbb {R}^{2} в R\mathbb {R} измеримы относительно F1\mathcal{F}_1?

(г)

Найти наименьшую σ\sigma-алгебру, порождённую F1∪F2\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2.

Задача 1.19

Для любых событий AA и BB доказать, что:

?
(а)

P(A‾)=1−P(A)\mathbb {P}\left(\overline{A}\right) = 1 - \mathbb {P}\left(A\right);

(б)

если A⊆BA \subseteq B, то P(B∖A)=P(B)−P(A)\mathbb {P}\left(B \setminus A\right) = \mathbb {P}\left(B\right) - \mathbb {P}\left(A\right);

(в)

если A⊆BA \subseteq B, то P(A)⩽P(B)\mathbb {P}\left(A\right) \leqslant \mathbb {P}\left(B\right);

(г)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right) + \mathbb {P}\left(B\right) - \mathbb {P}\left(AB\right);

(д)

1−P(A)−P(B)⩽P(AB)⩽11 - \mathbb {P}\left(A\right) - \mathbb {P}\left(B\right) \leqslant \mathbb {P}\left(AB\right) \leqslant 1;

(е)

P(A‾ B‾)=1−P(A)−P(B)+P(AB)\mathbb {P}\left(\overline{A}\, \overline{B}\right) = 1 - \mathbb {P}\left(A\right) - \mathbb {P}\left(B\right) + \mathbb {P}\left(AB\right).

Задача 1.20

Для любого набора событий A1,…,AnA_1, \ldots , A_n доказать следующие равенства (формулы включения-исключения):

?
(а)
P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−∑1⩽i<j⩽nP(AiAj)+∑1⩽i<j<k⩽nP(AiAjAk)−…+(−1)n+1P(⋂i=1nAi); \mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n} A_i\right) = \sum _{i=1}^{n} \mathbb {P}\left(A_i\right) - \sum _{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i A_j\right) + \sum _{1 \leqslant i < j < k \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i A_j A_k\right) - \ldots + (-1)^{n+1} \mathbb {P}\left(\bigcap _{i=1}^{n} A_i\right);
(б)
P(⋂i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−∑1⩽i<j⩽nP(Ai∪Aj)+∑1⩽i<j<k⩽nP(Ai∪Aj∪Ak)−…+(−1)n+1P(⋃i=1nAi). \mathbb {P}\left(\bigcap _{i=1}^{n} A_i\right) = \sum _{i=1}^{n} \mathbb {P}\left(A_i\right) - \sum _{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i \cup A_j\right) + \sum _{1 \leqslant i < j < k \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i \cup A_j \cup A_k\right) - \ldots + (-1)^{n+1} \mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n} A_i\right).
Задача 1.21

Пусть P(An)=0\mathbb {P}\left(A_n\right) = 0 при всех nn. Доказать равенство

P(⋃n=1∞An)=0. \mathbb {P}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty } A_n\right) = 0.
?
Задача 1.22

Пусть P(An)=1\mathbb {P}\left(A_n\right) = 1 при всех nn. Доказать равенство

P(⋂n=1∞An)=1. \mathbb {P}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty } A_n\right) = 1.
?
Задача 1.23

Доказать, что для любой последовательности событий {An}\left\{ A_n\right\} справедливо неравенство

P(⋃i=1∞Ai)⩽∑i=1∞P(Ai). \mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty } A_i\right) \leqslant \sum _{i=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_i\right).
?
Задача 1.24

Рассмотрим последовательность событий {An}\left\{ A_n\right\} и обозначим через AA событие, состоящее в том, что произойдёт бесконечно много событий AnA_n, т.е.

A={ω:∑n=1∞  1An(ω)=∞}. A = \left\{ \omega : \sum _{n=1}^{\infty } \; \mathbb {1}_{A_n}(\omega ) = \infty \right\} .

Доказать, что

A=⋂n=1∞⋃k=n∞An. A = \bigcap _{n=1}^{\infty } \bigcup _{k=n}^{\infty } A_n.
?
Задача 1.25

В условиях предыдущей задачи доказать, что если ряд ∑n=1∞P(An)\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_n\right) сходится, то P(A)=0\mathbb {P}\left(A\right) = 0 (лемма Бореля — Кантелли).

?
§
2 · Классическое вероятностное пространство[51/98%]
Задача 2.1

На полке в случайном порядке расставлено nn книг, среди которых находится двухтомник Д. Лондона. Предполагается, что различные расположения книг равновероятны. Найти вероятность того, что оба тома расположены рядом, причём первый том слева от второго.

?
Задача 2.2

NN человек садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что:

?
(а)

друзья AA и BB сядут рядом, причём BB слева от AA;

(б)

друзья AA, BB и CC сядут рядом, причём AA справа от BB, а CC слева.

Задача 2.3

NN человек, среди которых находятся AA и BB, случайным образом поставлены в ряд. Какова вероятность того, что между AA и BB окажется ровно rr человек?

?
Задача 2.4

Числа 1,…,n1, \ldots , n расположены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа

?
(а)

1 и 2;

(б)

1, 2 и 3

расположены рядом в указанном порядке.

Задача 2.5

Ребёнок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?

?
Задача 2.6

Брошены две игральные кости. Пусть событие AA состоит в том, что выпавшая сумма очков нечётна, а событие BB — в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события:

?
(а)

A∩BA \cap B;

(б)

A∩B‾A \cap \overline{B};

(в)

A∪BA \cup B;

(г)

A‾∩B\overline{A} \cap B.

Найти их вероятности.

Задача 2.7

Найти вероятность получить 12 очков хотя бы один раз при nn бросаниях двух игральных костей.

?
Задача 2.8

Брошены три монеты. Найти вероятности событий:

?
(а)

A={первая монета выпала гербом}A = \left\{ \text{первая монета выпала гербом}\right\};

(б)

B={выпало ровно два герба}B = \left\{ \text{выпало ровно два герба}\right\};

(в)

C={выпало не больше двух гербов}C = \left\{ \text{выпало не больше двух гербов}\right\}.

Задача 2.9

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одного размера. Определить вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.

?
Задача 2.10

Брошены 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

?
Задача 2.11

Брошены 5 игральных костей. Найти вероятность того, что по меньшей мере на

?
(а)

двух;

(б)

трёх

из них выпадут одинаковые грани.

Задача 2.12

В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут:

?
(а)

на пятом этаже;

(б)

одновременно (на одном и том же этаже);

(в)

на разных этажах.

Задача 2.13

Какова вероятность того, что в четырёхзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля:

?
(а)

все цифры разные;

(б)

две пары одинаковых цифр типа AABBAABB, включая номера типа AAAAAAAA;

(в)

две пары одинаковых цифр типа AABBAABB, исключая номера типа AAAAAAAA;

(г)

только две одинаковые цифры;

(д)

только три одинаковые цифры;

(е)

все цифры одинаковые;

(ж)

сумма двух первых цифр равна сумме двух последних?

Примечание.
?

Ответы даны в предположении, что номер 0000 возможен.

Задача 2.14

Найти вероятность того, что среди rr случайно выбранных (с возвращением) цифр:

?
(а)

не встретится 0;

(б)

не встретится 1;

(в)

не встретится ни 0, ни 1;

(г)

нет двух равных;

(д)

не встретится хотя бы одна из двух цифр 0 или 1.

Задача 2.15

Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на пяти карточках. Наудачу вынимаются по одной три карточки и кладутся рядом слева направо. Какова вероятность того, что полученное число окажется чётным?

?
Задача 2.16

Из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 сначала выбирают одну, а затем из оставшихся четырёх — вторую. Найти вероятность того, что:

?
(а)

в первый раз;

(б)

во второй раз;

(в)

оба раза

будет выбрана нечётная цифра.

Задача 2.17

Колода игральных карт (52 листа, 4 масти по 13 карт в каждой) тщательно перетасована. Наудачу берут 6 карт (без возвращения). Описать пространство элементарных исходов, а также найти вероятность того, что среди этих карт:

?
(а)

окажется король пик;

(б)

окажутся карты всех мастей;

(в)

окажется ровно 5 карт одной масти;

(г)

первым окажется король пик;

(д)

пятым окажется король пик;

(е)

окажется ровно 5 картинок и 2 красные карты;

(ж)

окажутся хотя бы 2 бубновые карты;

(з)

окажутся хотя бы 2 красные карты.

Задача 2.18
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
(ж)
(з)
Задача 2.19

Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что:

?
(а)

среди них окажется ровно один туз;

(б)

среди них окажется хотя бы один туз;

(в)

это будут тройка, семёрка и туз (в любом порядке).

Задача 2.20

Колоду карт (36 листов) наудачу разделяют на две равные пачки. Чему равна вероятность, что:

?
(а)

в каждой из пачек окажется по два туза;

(б)

в одной из пачек окажутся все четыре туза;

(в)

в пачках окажется по равному числу красных карт?

Задача 2.21

Какое наименьшее число карт надо взять из колоды (52 листа), чтобы с вероятностью более 1/21/2 среди них встретились хотя бы две карты одинакового наименования?

?
Задача 2.22

В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?

?
Задача 2.23

В лотерее распространяются nn билетов, из которых mm выигрышные. Некто купил kk билетов. С какой вероятностью среди них есть хотя бы один выигрышный?

?
Задача 2.24

В партии, состоящей из NN изделий, имеется MM бракованных. С какой вероятностью среди nn (n<Nn < N) наудачу выбранных из этой партии изделий окажется:

?
(а)

ровно mm бракованных (m<Mm < M);

(б)

не больше mm бракованных?

Задача 2.25

Участник лотереи «Спортлото» из 49 наименований видов спорта называет шесть. Выигрыш определяется тем, сколько наименований он угадал из шести других наименований, которые определяются в момент розыгрыша лотереи с помощью специального устройства, реализующего случайный выбор. С какой вероятностью участник угадает:

?
(а)

все шесть наименований;

(б)

пять наименований;

(в)

два наименования;

(г)

ни одного наименования?

Задача 2.26

Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных шурупов. С какой вероятностью среди десяти наудачу взятых шурупов нет дефектных?

?
Задача 2.27

На автомобильной стоянке nn мест расположены в один ряд. Прибывший на стоянку автомобиль занимает одно из свободных мест (не с краю). По возвращении владелец обнаруживает, что ровно rr мест ещё заняты. Какова вероятность того, что оба соседних места свободны?

?
Задача 2.28

В чулане лежит nn пар ботинок. Случайно выбираются rr ботинок (r⩽nr \leqslant n). Чему равна вероятность того, что среди них:

?
(а)

не будет ни одной пары;

(б)

будет ровно одна пара;

(в)

окажется ровно две пары;

(г)

будет хотя бы одна пара?

Задача 2.29

Группа из 2n2n девочек и 2n2n мальчиков делится на две равные подгруппы. Найти вероятность того, что каждая подгруппа содержит одинаковое число мальчиков и девочек.

?
Задача 2.30

Группа из 3 девочек и 3n3n мальчиков делится на три равные подгруппы. Какова вероятность того, что все девочки окажутся в разных подгруппах?

?
Задача 2.31

В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что оказались занятыми:

?
(а)

ровно два купе;

(б)

ровно три купе.

Задача 2.32

Из множества {1,2,…,n}\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\} одно за другим выбирают без возвращения два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше mm, 0<m<n0 < m < n?

?
Задача 2.33

Найти вероятность того, что:

?
(а)

дни рождения 12 человек придутся на 12 разных месяцев года (предполагается, что все месяцы равновероятны);

(б)

дни рождения 6 человек придутся в точности на два месяца.

Задача 2.34

Собрались вместе nn незнакомых человек. Найти вероятность того, что хотя бы у двух из них совпадают дни рождения.

?
Задача 2.35

Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись приходится три папки). Найти вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.

?
Задача 2.36

Некто написал nn адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте один из nn адресов. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попало по назначению.

?
Задача 2.37

В урне имеется nn билетов с номерами от 1 до nn. Билеты вынимаются наудачу по одному (без возвращения) до опустошения урны. Чему равна вероятность того, что:

?
(а)

хотя бы один раз номер вынутого билета совпадёт с номером произведённого испытания;

(б)

номера первых mm вынутых билетов будут идти в порядке возрастания?

Задача 2.38

Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собрал в гардеробе все пальто, а потом развесил их в случайном порядке. Какова вероятность pnp_n того, что хотя бы одно пальто попало на прежнее место, если всего в гардеробе nn крючков и на них висело nn пальто. Найти предел pnp_n при n→∞n \to \infty.

?
Задача 2.39

В компании из nn человек решили сделать друг другу подарки, для чего каждый принёс подарок. Все подарки сложили вместе, перемешали и случайно распределили среди участников. Найти вероятность того, что:

?
(а)

хотя бы один подарок вернётся к своему владельцу;

(б)

конкретный человек получит свой собственный подарок.

Сравнить поведение этих вероятностей при увеличении nn.

Задача 2.40

Две игральные кости бросают rr раз, r⩾6r \geqslant 6. Найти вероятность того, что каждая из шести комбинаций (1,1),…,(6,6)(1,1), \ldots , (6,6) появится по меньшей мере один раз.

?
Задача 2.41

Каждая из nn палок ломается на две части — длинную и короткую. Затем 2n2n обломков случайным образом соединяются в nn пар, каждая из которых образует новую «палку». Найти вероятность того, что:

?
(а)

части будут соединены в первоначальном порядке;

(б)

все длинные части будут соединены с короткими.

Задача 2.42

Пусть имеется nn ячеек, в которые случайно размещаются rr занумерованных частиц. Чему равна вероятность того, что:

?
(а)

в kk-ю ячейку попало ровно ss частиц;

(б)

хотя бы одна ячейка осталась пустой?

Задача 2.43

Из набора чисел 1,2,…,N1, 2, \ldots , N случайно отобраны без возвращения nn чисел, n⩽Nn \leqslant N, и расположены в порядке возрастания: x1<x2<…<xnx_1 < x_2 < \ldots < x_n. Какова вероятность того, что xm<Mx_m < M? Найти предел этой вероятности, когда M,N→∞M, N \to \infty так, что M/N→α>0M/N \to \alpha > 0.

?
Задача 2.44

Чему равна вероятность того, что при двух бросаниях трёх игральных костей получится один и тот же результат, если:

?
(а)

кости различны;

(б)

кости неразличимы?

Задача 2.45

Найти вероятность того, что при случайном размещении nn различных шаров по nn ящикам

?
(а)

ни один ящик не останется пустым;

(б)

ровно один ящик останется пустым.

Задача 2.46

Пусть имеется nn ячеек, в которые случайно размещаются rr неразличимых частиц. Такой схеме соответствуют фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие чётное число элементарных частиц. Они подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, в которой рассматриваются только различимые размещения частиц по ячейкам и каждому из них приписывается равная вероятность. Найти эту вероятность. Найти вероятность наличия в первой ячейке ровно kk частиц.

?
Задача 2.47

Пусть имеется nn ячеек и rr неразличимых частиц. Частицы размещаются по ячейкам так, что в одной ячейке не может находиться более одной частицы. Такой схеме соответствуют электроны, протоны и нейтроны. Они подчиняются статистике Ферми — Дирака, в которой каждому такому размещению частиц по ячейкам приписывается равная вероятность. Найти эту вероятность.

?
Задача 2.48

Поток из kk частиц улавливается системой из nn счётчиков, регистрирующих частицы. Каждая частица с одинаковой вероятностью попадает в любой из счётчиков.

?
(а)

Какова вероятность p(k1,…,kn)p(k_1, \ldots , k_n) того, что первый счётчик зарегистрирует k1k_1 частиц, второй — k2k_2 частиц и т.д., где k1+…+kn=kk_1 + \ldots + k_n = k?

(б)

Пусть k/n=lk/n = l — целое число. При каких значениях k1,…,knk_1, \ldots , k_n вероятность p(k1,…,kn)p(k_1, \ldots , k_n) достигает своего максимума?

Задача 2.49

В городе проживает n+1n+1 человек. Один из них, узнав новость, сообщает её другому, тот — третьему и т.д., причём передача новости осуществляется следующим образом: человек, которому сообщена новость, случайным образом выбирает одного из nn жителей и сообщает новость ему, тот поступает точно так же и т.д. Найти вероятность того, что новость будет передана rr раз:

?
(а)

без возвращения к человеку, который узнал её первым;

(б)

без повторного сообщения её кому-либо.

Задача 2.50

Из множества {1,2,…,n}\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\} наудачу выбирается число ξ\xi. Найти предел при n→∞n \to \infty вероятности того, что ξ2−1\xi^2 - 1 делится на 10.

?
Задача 2.51

Из множества {1,2,…,n}\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\}, n⩾4n \geqslant 4, случайно выбираются (с возвращением) два числа ξ\xi и η\eta. Какая из вероятностей больше:

?
(а)

P(ξ2−η2 делится на 2)\mathbb {P}\left(\xi^2 - \eta^2 \text{ делится на } 2\right) или P(ξ2−η2 делится на 3)\mathbb {P}\left(\xi^2 - \eta^2 \text{ делится на } 3\right);

(б)

P(ξ3−η3 делится на 2)\mathbb {P}\left(\xi^3 - \eta^3 \text{ делится на } 2\right) или P(ξ3−η3 делится на 3)\mathbb {P}\left(\xi^3 - \eta^3 \text{ делится на } 3\right)?

§
3 · Геометрические вероятности[20/100%]
Задача 3.1

В квадрат с вершинами (0,0)(0,0), (0,1)(0,1), (1,0)(1,0), (1,1)(1,1) наудачу брошена точка. Пусть (ξ,η)(\xi , \eta ) — её координаты. Доказать, что для любых 0⩽x,y⩽10 \leqslant x, y \leqslant 1

P(ξ<x,η<y)=P(ξ<x)P(η<y)=xy. \mathbb {P}\left(\xi < x, \eta < y\right) = \mathbb {P}\left(\xi < x\right)\mathbb {P}\left(\eta < y\right) = xy.

Найти:

?
(а)

P(∣ξ−η∣<z)\mathbb {P}\left(\left|\xi - \eta \right| < z\right);

(б)

P(min⁡(ξ,η)<z)\mathbb {P}\left(\min (\xi , \eta ) < z\right);

(в)

P((ξ+η)/2<z)\mathbb {P}\left((\xi + \eta )/2 < z\right);

(г)

P(ξη<z)\mathbb {P}\left(\xi \eta < z\right);

(д)

P(max⁡(ξ,η)<z)\mathbb {P}\left(\max (\xi , \eta ) < z\right);

(е)

P(ξ+2η<z)\mathbb {P}\left(\xi + 2\eta < z\right).

Задача 3.2

Случайная точка AA наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от AA до:

?
(а)

ближайшей стороны прямоугольника не превосходит xx;

(б)

каждой стороны прямоугольника не превосходит xx;

(в)

каждой диагонали прямоугольника не превосходит xx.

Задача 3.3

Два лица AA и BB условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждёт другого в течение 10 минут, после чего уходит. С какой вероятностью встретятся AA и BB, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа?

?
Задача 3.4

Два лица AA и BB условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Лицо AA ждёт другого в течение 10 минут, после чего уходит; лицо BB ждёт другого в течение 15 минут. С какой вероятностью встретятся AA и BB, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа?

?
Задача 3.5

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a2a. На плоскость наудачу брошена игла длиной 2r<2a2r < 2a. Какова вероятность того, что игла пересечёт одну из прямых?

?
Задача 3.6

На бесконечную шахматную доску со стороной клетки 2a2a наудачу брошена игла длиной 2r<2a2r < 2a. С какой вероятностью игла:

?
(а)

попадёт целиком внутрь одной клетки;

(б)

пересечёт одну из прямых?

Задача 3.7

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a2a. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r<ar < a. С какой вероятностью монета пересечёт одну из прямых?

?
Задача 3.8

На бесконечную шахматную доску со стороной клетки 2a2a наудачу брошена монета радиуса r<ar < a. Найти вероятность того, что:

?
(а)

монета попадёт целиком внутрь одной клетки;

(б)

монета пересечёт не более одной стороны одной клетки.

Задача 3.9

Стержень длиной ll разломан в двух наудачу выбранных точках. С какой вероятностью из полученных отрезков можно составить:

?
(а)

треугольник;

(б)

прямоугольный треугольник?

Задача 3.10

На отрезок [0,a][0,a] наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, равных расстояниям от точки 0 до точек падения, можно составить треугольник.

?
Задача 3.11

Стержень длины ll наудачу разламывается на две части, после чего бо́льшая из частей опять разламывается надвое в наудачу выбранной точке. Найти вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник.

?
Задача 3.12

Три точки AA, BB и CC лежат на одной прямой, причём точка BB находится между точками AA и CC, длина отрезка ABAB равна aa, а длина отрезка BCBC — bb. На каждый из отрезков ABAB и BCBC наудачу бросается по одной точке. Найти вероятность того, что можно составить треугольник из следующих трёх отрезков: от точки AA до первой брошенной точки; между двумя брошенными точками; от второй брошенной точки до точки CC.

?
Задача 3.13

На окружности наудачу выбраны три точки AA, BB и CC. Найти вероятность того, что треугольник ABCABC будет:

?
(а)

остроугольным;

(б)

тупоугольным;

(в)

прямоугольным;

(г)

правильным;

(д)

равнобедренным.

Задача 3.14

В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что они образуют вершины:

?
(а)

какого-нибудь треугольника;

(б)

правильного треугольника;

(в)

прямоугольного треугольника.

Задача 3.15

В шаре радиуса RR случайно и независимо друг от друга разбросано nn точек. Какова вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не менее rr. Найти предел этой вероятности при R,n→∞R, n \to \infty, если n/R3→cn/R^3 \to c.

?
Задача 3.16

Точка (ξ,η)(\xi , \eta ) выбирается наудачу в квадрате [0,1]2[0,1]^2. Какова вероятность того, что уравнение x2+ξx+η=0x^2 + \xi x + \eta = 0 имеет:

?
(а)

действительные корни;

(б)

положительные корни;

(в)

корни разного знака?

Задача 3.17

Точка (ξ,η,ζ)(\xi , \eta , \zeta ) выбирается наудачу в кубе [0,1]3[0,1]^3. Какова вероятность того, что корни уравнения ξx2+ηx+ζ=0\xi x^2 + \eta x + \zeta = 0 действительные?

?
Задача 3.18

Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась 1/31/3?

?
Примечание.
?

Момент инерции вращения не учитывать; считать, что угол наклона монеты в падении принимает разные значения с равной вероятностью.

Задача 3.19

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность, если:

?
(а)

хорда задаётся своей серединой, которая выбирается наудачу внутри данного круга;

(б)

одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, а другой конец выбирается наудачу на окружности;

(в)

хорда задаётся своей серединой, которая выбирается наудачу на диаметре круга.

Приведите пример ещё хотя бы одного метода выбора случайной хорды.

Задача 3.20

Из множества {1,2,…,n}\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\} случайно выбираются два числа ξ\xi и η\eta:

?
(а)

с возвращением;

(б)

без возвращения.

Найти предел при n→∞n \to \infty вероятности события ξ2+η2⩽n2\xi^2 + \eta^2 \leqslant n^2.