Банк задач по математике

Задача 2.1

На полке в случайном порядке расставлено $n$ книг, среди которых находится двухтомник Д. Лондона. Предполагается, что различные расположения книг равновероятны. Найти вероятность того, что оба тома расположены рядом, причём первый том слева от второго.

?

Задача 2.2

(а)(б)

$N$ человек садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что:

?

(а)

друзья $A$ и $B$ сядут рядом, причём $B$ слева от $A$ ;

(б)

друзья $A$ , $B$ и $C$ сядут рядом, причём $A$ справа от $B$ , а $C$ слева.

Задача 2.3

$N$ человек, среди которых находятся $A$ и $B$ , случайным образом поставлены в ряд. Какова вероятность того, что между $A$ и $B$ окажется ровно $r$ человек?

?

Задача 2.4

(а)(б)

Числа $1, \ldots , n$ расположены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа

?

(а)

1 и 2;

(б)

1, 2 и 3

расположены рядом в указанном порядке.

Задача 2.5

Ребёнок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?

?

Задача 2.6

(а)(б)(в)(г)

Брошены две игральные кости. Пусть событие $A$ состоит в том, что выпавшая сумма очков нечётна, а событие $B$ — в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события:

?

(а)

$A \cap B$ ;

(б)

$A \cap \overline{B}$ ;

(в)

$A \cup B$ ;

(г)

$\overline{A} \cap B$ .

Найти их вероятности.

Задача 2.7

Найти вероятность получить 12 очков хотя бы один раз при $n$ бросаниях двух игральных костей.

?

Задача 2.8

(а)(б)(в)

Брошены три монеты. Найти вероятности событий:

?

(а)

$A = \left\{ \text{первая монета выпала гербом}\right\}$ ;

(б)

$B = \left\{ \text{выпало ровно два герба}\right\}$ ;

(в)

$C = \left\{ \text{выпало не больше двух гербов}\right\}$ .

Задача 2.9

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одного размера. Определить вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.

?

Задача 2.10

Брошены 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

?

Задача 2.11

(а)(б)

Брошены 5 игральных костей. Найти вероятность того, что по меньшей мере на

?

(а)

двух;

(б)

трёх

из них выпадут одинаковые грани.

Задача 2.12

(а)(б)(в)

В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут:

?

(а)

на пятом этаже;

(б)

одновременно (на одном и том же этаже);

(в)

на разных этажах.

Задача 2.13

Какова вероятность того, что в четырёхзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля:

?

(а)

все цифры разные;

(б)

две пары одинаковых цифр типа $AABB$ , включая номера типа $AAAA$ ;

(в)

две пары одинаковых цифр типа $AABB$ , исключая номера типа $AAAA$ ;

(г)

только две одинаковые цифры;

(д)

только три одинаковые цифры;

(е)

все цифры одинаковые;

(ж)

сумма двух первых цифр равна сумме двух последних?

Примечание.

?

Ответы даны в предположении, что номер 0000 возможен.

Задача 2.14

Найти вероятность того, что среди $r$ случайно выбранных (с возвращением) цифр:

?

(а)

не встретится 0;

(б)

не встретится 1;

(в)

не встретится ни 0, ни 1;

(г)

нет двух равных;

(д)

не встретится хотя бы одна из двух цифр 0 или 1.

Задача 2.15

Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на пяти карточках. Наудачу вынимаются по одной три карточки и кладутся рядом слева направо. Какова вероятность того, что полученное число окажется чётным?

?

Задача 2.16

(а)(б)(в)

Из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 сначала выбирают одну, а затем из оставшихся четырёх — вторую. Найти вероятность того, что:

?

(а)

в первый раз;

(б)

во второй раз;

(в)

оба раза

будет выбрана нечётная цифра.

Задача 2.17

Колода игральных карт (52 листа, 4 масти по 13 карт в каждой) тщательно перетасована. Наудачу берут 6 карт (без возвращения). Описать пространство элементарных исходов, а также найти вероятность того, что среди этих карт:

?

(а)

окажется король пик;

(б)

окажутся карты всех мастей;

(в)

окажется ровно 5 карт одной масти;

(г)

первым окажется король пик;

(д)

пятым окажется король пик;

(е)

окажется ровно 5 картинок и 2 красные карты;

(ж)

окажутся хотя бы 2 бубновые карты;

(з)

окажутся хотя бы 2 красные карты.

Задача 2.18

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

(ж)

(з)

Задача 2.19

(а)(б)(в)

Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что:

?

(а)

среди них окажется ровно один туз;

(б)

среди них окажется хотя бы один туз;

(в)

это будут тройка, семёрка и туз (в любом порядке).

Задача 2.20

(а)(б)(в)

Колоду карт (36 листов) наудачу разделяют на две равные пачки. Чему равна вероятность, что:

?

(а)

в каждой из пачек окажется по два туза;

(б)

в одной из пачек окажутся все четыре туза;

(в)

в пачках окажется по равному числу красных карт?

Задача 2.21

Какое наименьшее число карт надо взять из колоды (52 листа), чтобы с вероятностью более $1/2$ среди них встретились хотя бы две карты одинакового наименования?

?

Задача 2.22

В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?

?

Задача 2.23

В лотерее распространяются $n$ билетов, из которых $m$ выигрышные. Некто купил $k$ билетов. С какой вероятностью среди них есть хотя бы один выигрышный?

?

Задача 2.24

(а)(б)

В партии, состоящей из $N$ изделий, имеется $M$ бракованных. С какой вероятностью среди $n$ ( $n < N$ ) наудачу выбранных из этой партии изделий окажется:

?

(а)

ровно $m$ бракованных ( $m < M$ );

(б)

не больше $m$ бракованных?

Задача 2.25

(а)(б)(в)(г)

Участник лотереи «Спортлото» из 49 наименований видов спорта называет шесть. Выигрыш определяется тем, сколько наименований он угадал из шести других наименований, которые определяются в момент розыгрыша лотереи с помощью специального устройства, реализующего случайный выбор. С какой вероятностью участник угадает:

?

(а)

все шесть наименований;

(б)

пять наименований;

(в)

два наименования;

(г)

ни одного наименования?

Задача 2.26

Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных шурупов. С какой вероятностью среди десяти наудачу взятых шурупов нет дефектных?

?

Задача 2.27

На автомобильной стоянке $n$ мест расположены в один ряд. Прибывший на стоянку автомобиль занимает одно из свободных мест (не с краю). По возвращении владелец обнаруживает, что ровно $r$ мест ещё заняты. Какова вероятность того, что оба соседних места свободны?

?

Задача 2.28

(а)(б)(в)(г)

В чулане лежит $n$ пар ботинок. Случайно выбираются $r$ ботинок ( $r \leqslant n$ ). Чему равна вероятность того, что среди них:

?

(а)

не будет ни одной пары;

(б)

будет ровно одна пара;

(в)

окажется ровно две пары;

(г)

будет хотя бы одна пара?

Задача 2.29

Группа из $2n$ девочек и $2n$ мальчиков делится на две равные подгруппы. Найти вероятность того, что каждая подгруппа содержит одинаковое число мальчиков и девочек.

?

Задача 2.30

Группа из 3 девочек и $3n$ мальчиков делится на три равные подгруппы. Какова вероятность того, что все девочки окажутся в разных подгруппах?

?

Задача 2.31

(а)(б)

В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что оказались занятыми:

?

(а)

ровно два купе;

(б)

ровно три купе.

Задача 2.32

Из множества $\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\}$ одно за другим выбирают без возвращения два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше $m$ , $0 < m < n$ ?

?

Задача 2.33

(а)(б)

Найти вероятность того, что:

?

(а)

дни рождения 12 человек придутся на 12 разных месяцев года (предполагается, что все месяцы равновероятны);

(б)

дни рождения 6 человек придутся в точности на два месяца.

Задача 2.34

Собрались вместе $n$ незнакомых человек. Найти вероятность того, что хотя бы у двух из них совпадают дни рождения.

?

Задача 2.35

Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись приходится три папки). Найти вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.

?

Задача 2.36

Некто написал $n$ адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте один из $n$ адресов. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попало по назначению.

?

Задача 2.37

(а)(б)

В урне имеется $n$ билетов с номерами от 1 до $n$ . Билеты вынимаются наудачу по одному (без возвращения) до опустошения урны. Чему равна вероятность того, что:

?

(а)

хотя бы один раз номер вынутого билета совпадёт с номером произведённого испытания;

(б)

номера первых $m$ вынутых билетов будут идти в порядке возрастания?

Задача 2.38

Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собрал в гардеробе все пальто, а потом развесил их в случайном порядке. Какова вероятность $p_n$ того, что хотя бы одно пальто попало на прежнее место, если всего в гардеробе $n$ крючков и на них висело $n$ пальто. Найти предел $p_n$ при $n \to \infty$ .

?

Задача 2.39

(а)(б)

В компании из $n$ человек решили сделать друг другу подарки, для чего каждый принёс подарок. Все подарки сложили вместе, перемешали и случайно распределили среди участников. Найти вероятность того, что:

?

(а)

хотя бы один подарок вернётся к своему владельцу;

(б)

конкретный человек получит свой собственный подарок.

Сравнить поведение этих вероятностей при увеличении $n$ .

Задача 2.40

Две игральные кости бросают $r$ раз, $r \geqslant 6$ . Найти вероятность того, что каждая из шести комбинаций $(1,1), \ldots , (6,6)$ появится по меньшей мере один раз.

?

Задача 2.41

(а)(б)

Каждая из $n$ палок ломается на две части — длинную и короткую. Затем $2n$ обломков случайным образом соединяются в $n$ пар, каждая из которых образует новую «палку». Найти вероятность того, что:

?

(а)

части будут соединены в первоначальном порядке;

(б)

все длинные части будут соединены с короткими.

Задача 2.42

(а)(б)

Пусть имеется $n$ ячеек, в которые случайно размещаются $r$ занумерованных частиц. Чему равна вероятность того, что:

?

(а)

в $k$ -ю ячейку попало ровно $s$ частиц;

(б)

хотя бы одна ячейка осталась пустой?

Задача 2.43

Из набора чисел $1, 2, \ldots , N$ случайно отобраны без возвращения $n$ чисел, $n \leqslant N$ , и расположены в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ . Какова вероятность того, что $x_m < M$ ? Найти предел этой вероятности, когда $M, N \to \infty$ так, что $M/N \to \alpha > 0$ .

?

Задача 2.44

(а)(б)

Чему равна вероятность того, что при двух бросаниях трёх игральных костей получится один и тот же результат, если:

?

(а)

кости различны;

(б)

кости неразличимы?

Задача 2.45

(а)(б)

Найти вероятность того, что при случайном размещении $n$ различных шаров по $n$ ящикам

?

(а)

ни один ящик не останется пустым;

(б)

ровно один ящик останется пустым.

Задача 2.46

Пусть имеется $n$ ячеек, в которые случайно размещаются $r$ неразличимых частиц. Такой схеме соответствуют фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие чётное число элементарных частиц. Они подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, в которой рассматриваются только различимые размещения частиц по ячейкам и каждому из них приписывается равная вероятность. Найти эту вероятность. Найти вероятность наличия в первой ячейке ровно $k$ частиц.

?

Задача 2.47

Пусть имеется $n$ ячеек и $r$ неразличимых частиц. Частицы размещаются по ячейкам так, что в одной ячейке не может находиться более одной частицы. Такой схеме соответствуют электроны, протоны и нейтроны. Они подчиняются статистике Ферми — Дирака, в которой каждому такому размещению частиц по ячейкам приписывается равная вероятность. Найти эту вероятность.

?

Задача 2.48

(а)(б)

Поток из $k$ частиц улавливается системой из $n$ счётчиков, регистрирующих частицы. Каждая частица с одинаковой вероятностью попадает в любой из счётчиков.

?

(а)

Какова вероятность $p(k_1, \ldots , k_n)$ того, что первый счётчик зарегистрирует $k_1$ частиц, второй — $k_2$ частиц и т.д., где $k_1 + \ldots + k_n = k$ ?

(б)

Пусть $k/n = l$ — целое число. При каких значениях $k_1, \ldots , k_n$ вероятность $p(k_1, \ldots , k_n)$ достигает своего максимума?

Задача 2.49

(а)(б)

В городе проживает $n+1$ человек. Один из них, узнав новость, сообщает её другому, тот — третьему и т.д., причём передача новости осуществляется следующим образом: человек, которому сообщена новость, случайным образом выбирает одного из $n$ жителей и сообщает новость ему, тот поступает точно так же и т.д. Найти вероятность того, что новость будет передана $r$ раз:

?

(а)

без возвращения к человеку, который узнал её первым;

(б)

без повторного сообщения её кому-либо.

Задача 2.50

Из множества $\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\}$ наудачу выбирается число $\xi$ . Найти предел при $n \to \infty$ вероятности того, что $\xi^2 - 1$ делится на 10.

?

Задача 2.51

(а)(б)

Из множества $\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\}$ , $n \geqslant 4$ , случайно выбираются (с возвращением) два числа $\xi$ и $\eta$ . Какая из вероятностей больше:

?

(а)

$\mathbb {P}\left(\xi^2 - \eta^2 \text{ делится на } 2\right)$ или $\mathbb {P}\left(\xi^2 - \eta^2 \text{ делится на } 3\right)$ ;

(б)

$\mathbb {P}\left(\xi^3 - \eta^3 \text{ делится на } 2\right)$ или $\mathbb {P}\left(\xi^3 - \eta^3 \text{ делится на } 3\right)$ ?

Классическое вероятностное пространство