Банк задач по математике

Задача 3.1

В квадрат с вершинами $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ наудачу брошена точка. Пусть $(\xi , \eta )$ — её координаты. Доказать, что для любых $0 \leqslant x, y \leqslant 1$

\mathbb {P}\left(\xi < x, \eta < y\right) = \mathbb {P}\left(\xi < x\right)\mathbb {P}\left(\eta < y\right) = xy.

Найти:

?

(а)

$\mathbb {P}\left(\left|\xi - \eta \right| < z\right)$ ;

(б)

$\mathbb {P}\left(\min (\xi , \eta ) < z\right)$ ;

(в)

$\mathbb {P}\left((\xi + \eta )/2 < z\right)$ ;

(г)

$\mathbb {P}\left(\xi \eta < z\right)$ ;

(д)

$\mathbb {P}\left(\max (\xi , \eta ) < z\right)$ ;

(е)

$\mathbb {P}\left(\xi + 2\eta < z\right)$ .

Задача 3.2

(а)(б)(в)

Случайная точка $A$ наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от $A$ до:

?

(а)

ближайшей стороны прямоугольника не превосходит $x$ ;

(б)

каждой стороны прямоугольника не превосходит $x$ ;

(в)

каждой диагонали прямоугольника не превосходит $x$ .

Задача 3.3

Два лица $A$ и $B$ условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждёт другого в течение 10 минут, после чего уходит. С какой вероятностью встретятся $A$ и $B$ , если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа?

?

Задача 3.4

Два лица $A$ и $B$ условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Лицо $A$ ждёт другого в течение 10 минут, после чего уходит; лицо $B$ ждёт другого в течение 15 минут. С какой вероятностью встретятся $A$ и $B$ , если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа?

?

Задача 3.5

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии $2a$ . На плоскость наудачу брошена игла длиной $2r < 2a$ . Какова вероятность того, что игла пересечёт одну из прямых?

?

Задача 3.6

(а)(б)

На бесконечную шахматную доску со стороной клетки $2a$ наудачу брошена игла длиной $2r < 2a$ . С какой вероятностью игла:

?

(а)

попадёт целиком внутрь одной клетки;

(б)

пересечёт одну из прямых?

Задача 3.7

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии $2a$ . На плоскость наудачу брошена монета радиуса $r < a$ . С какой вероятностью монета пересечёт одну из прямых?

?

Задача 3.8

(а)(б)

На бесконечную шахматную доску со стороной клетки $2a$ наудачу брошена монета радиуса $r < a$ . Найти вероятность того, что:

?

(а)

монета попадёт целиком внутрь одной клетки;

(б)

монета пересечёт не более одной стороны одной клетки.

Задача 3.9

(а)(б)

Стержень длиной $l$ разломан в двух наудачу выбранных точках. С какой вероятностью из полученных отрезков можно составить:

?

(а)

треугольник;

(б)

прямоугольный треугольник?

Задача 3.10

На отрезок $[0,a]$ наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, равных расстояниям от точки 0 до точек падения, можно составить треугольник.

?

Задача 3.11

Стержень длины $l$ наудачу разламывается на две части, после чего бо́льшая из частей опять разламывается надвое в наудачу выбранной точке. Найти вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник.

?

Задача 3.12

Три точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причём точка $B$ находится между точками $A$ и $C$ , длина отрезка $AB$ равна $a$ , а длина отрезка $BC$ — $b$ . На каждый из отрезков $AB$ и $BC$ наудачу бросается по одной точке. Найти вероятность того, что можно составить треугольник из следующих трёх отрезков: от точки $A$ до первой брошенной точки; между двумя брошенными точками; от второй брошенной точки до точки $C$ .

?

Задача 3.13

На окружности наудачу выбраны три точки $A$ , $B$ и $C$ . Найти вероятность того, что треугольник $ABC$ будет:

?

(а)

остроугольным;

(б)

тупоугольным;

(в)

прямоугольным;

(г)

правильным;

(д)

равнобедренным.

Задача 3.14

(а)(б)(в)

В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что они образуют вершины:

?

(а)

какого-нибудь треугольника;

(б)

правильного треугольника;

(в)

прямоугольного треугольника.

Задача 3.15

В шаре радиуса $R$ случайно и независимо друг от друга разбросано $n$ точек. Какова вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не менее $r$ . Найти предел этой вероятности при $R, n \to \infty$ , если $n/R^3 \to c$ .

?

Задача 3.16

(а)(б)(в)

Точка $(\xi , \eta )$ выбирается наудачу в квадрате $[0,1]^2$ . Какова вероятность того, что уравнение $x^2 + \xi x + \eta = 0$ имеет:

?

(а)

действительные корни;

(б)

положительные корни;

(в)

корни разного знака?

Задача 3.17

Точка $(\xi , \eta , \zeta )$ выбирается наудачу в кубе $[0,1]^3$ . Какова вероятность того, что корни уравнения $\xi x^2 + \eta x + \zeta = 0$ действительные?

?

Задача 3.18

Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась $1/3$ ?

?

Примечание.

?

Момент инерции вращения не учитывать; считать, что угол наклона монеты в падении принимает разные значения с равной вероятностью.

Задача 3.19

(а)(б)(в)

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность, если:

?

(а)

хорда задаётся своей серединой, которая выбирается наудачу внутри данного круга;

(б)

одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, а другой конец выбирается наудачу на окружности;

(в)

хорда задаётся своей серединой, которая выбирается наудачу на диаметре круга.

Приведите пример ещё хотя бы одного метода выбора случайной хорды.

Задача 3.20

(а)(б)

Из множества $\left\{ 1, 2, \ldots , n\right\}$ случайно выбираются два числа $\xi$ и $\eta$ :

?

(а)

с возвращением;

(б)

без возвращения.

Найти предел при $n \to \infty$ вероятности события $\xi^2 + \eta^2 \leqslant n^2$ .

Геометрические вероятности