Банк задач по математике

Задача 1.1

(а)(б)(в)(г)

Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, наудачу выбирают одного. Пусть событие $A$ заключается в том, что выбранный студент окажется юношей; событие $B$ — в том, что он не курит, а событие $C$ — в том, что он живёт в общежитии. Описать событие $AB\overline{C}$ . Когда справедливы:

?

(а)

равенство $AB\overline{C} = A$ ;

(б)

включение $\overline{C} \subseteq B$ ;

(в)

равенство $\overline{A} = B$ ;

(г)

равенство $\overline{B} = B$ ?

Задача 1.2

Монета подбрасывается три раза подряд. Построить пространство элементарных исходов $\Omega$ . Описать событие $A$ , состоящее в том, что выпало не менее двух гербов.

?

Задача 1.3

(а)(б)

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — события. Каков смысл равенств:

?

(а)

$ABC = A$ ;

(б)

$A + B + C = A$ ?

Задача 1.4

(а)(б)(в)

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — события. Упростить выражения:

?

(а)

$(A+B)(B+C)$ ;

(б)

$(A+\overline{B})(\overline{A}+B)$ ;

(в)

$(A+B)(A+\overline{B})(\overline{A}+B)$ .

Задача 1.5

Какие из следующих соотношений правильны:

?

(а)

$(A+B) \setminus C = A + (B \setminus C)$ ;

(б)

$(A+B)\overline{C} = \overline{A}\, \overline{B}\, \overline{C}$ ;

(в)

$AB + C + CA \supseteq ABC$ ;

(г)

$(A+B) \setminus A = B$ ;

(д)

$A+B+C = ABC$ ;

(е)

$(A+B)\overline{C} = C \setminus (C(A+B))$ ;

(ж)

$ABC = AB(B+C)$ ;

(з)

$A+B = (A \setminus AB) + B$ ;

(и)

$\overline{(A+B)C} = \overline{A}\, \overline{C} + \overline{B}\, \overline{C}$ ;

(к)

$ABC \subseteq A+B$ ;

(л)

$(AB+BC+CA) \subseteq (A+B+C)$ ?

Задача 1.6

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из $A$ , $B$ и $C$ :

?

(а)

произошло только $A$ ;

(б)

произошли $A$ и $B$ , но $C$ не произошло;

(в)

все три события произошли;

(г)

произошло хотя бы одно из этих событий;

(д)

произошло хотя бы два события;

(е)

произошло одно и только одно из этих событий;

(ж)

произошло два и только два события;

(з)

ни одно событие не произошло;

(и)

произошло не более двух событий.

Задача 1.7

Рабочий изготовил $n$ деталей. Пусть событие $A_i$ состоит в том, что $i$ -я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что:

?

(а)

ни одна из деталей не имеет дефектов;

(б)

хотя бы одна деталь имеет дефект;

(в)

ровно одна деталь имеет дефект;

(г)

не более двух деталей имеют дефекты;

(д)

по крайней мере две детали не имеют дефектов;

(е)

точно две детали дефектны.

Задача 1.8

Объединение $A \cup B$ двух событий может быть выражено как объединение двух несовместных событий, например, $A \cup B = A \cup (B\overline{A})$ . Выразить подобным образом объединение трёх событий $A$ , $B$ и $C$ .

?

Задача 1.9

Доказать, что для любого набора событий $A_1, \ldots , A_n$ выполнены равенства

\overline{\bigcap _{i=1}^{n} A_i} = \bigcup _{i=1}^{n} \overline{A_i}, \qquad \overline{\bigcup _{i=1}^{n} A_i} = \bigcap _{i=1}^{n} \overline{A_i}.

?

Задача 1.10

(а)(б)(в)

Пусть $B$ и $C$ — два события. Положим $A_n = B$ , если $n$ чётное и $A_n = C$ , если $n$ нечётное. Найти событие, состоящее в том, что:

?

(а)

произошло бесконечно много событий среди $A_n$ ;

(б)

произошло конечное число событий среди $A_n$ ;

(в)

произошли все события $A_n$ , за исключением, быть может, лишь конечного числа из них.

Задача 1.11

(а)(б)

Пусть $\Omega$ — пространство элементарных исходов, $A$ — его произвольное подмножество, причём $A \neq \Omega$ и $A \neq \emptyset$ . Доказать, что следующие наборы подмножеств $\Omega$ являются $\sigma$ -алгебрами:

?

(а)

$\mathcal{F} = \left\{ \Omega , \emptyset \right\}$ (эта $\sigma$ -алгебра называется тривиальной);

(б)

$\mathcal{F} = \left\{ \Omega , \emptyset , A, \overline{A}\right\}$ .

Задача 1.12

Доказать, что если пространство элементарных исходов $\Omega$ состоит из $n$ элементов, то множество всех подмножеств $\Omega$ содержит ровно $2^n$ элементов.

?

Задача 1.13

(а)(б)

Монета подбрасывается три раза подряд. Являются ли $\sigma$ -алгебрами следующие системы подмножеств:

?

(а)

$\emptyset$ , $\Omega$ , $\left\{ \text{ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР}\right\}$ , $\left\{ \text{РГГ, РГР, РРГ, РРР}\right\}$ ;

(б)

$\emptyset$ , $\Omega$ , $\left\{ \text{ГГГ, ГРГ, РГР, РРР}\right\}$ , $\left\{ \text{РГГ, РГР, РРГ, РРР}\right\}$ ?

Задача 1.14

Пусть $\Omega = \mathbb {R}$ . Доказать, что совокупность подмножеств $\mathcal{A} = \left\{ \Omega , \emptyset , [0,1], \left\{ 0\right\} \right\}$ не является $\sigma$ -алгеброй. Построить минимальную $\sigma$ -алгебру, содержащую $\mathcal{A}$ .

?

Задача 1.15

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность всех подмножеств $A \subseteq \mathbb {R}$ таких, что $A$ или $\mathbb {R} \setminus A$ содержит конечное число элементов. Является ли $\mathcal{F}$ алгеброй множеств? Найти наименьшую $\sigma$ -алгебру, порождённую $\mathcal{F}$ . Являются ли измеримыми относительно $\sigma (\mathcal{F})$ следующие функции:

?

(а)

$f(x) = x$ ;

(б)

$f(x) \equiv 17$ ;

(в)

$f(x) = \; \mathbb {1}_{\mathbb {Z}}(x)$ ;

(г)

$f(x) = \; \mathbb {1}_{[0,1]}(x)$ ;

(д)

$f(x) = \; \mathbb {1}_{\left\{ 0\right\} }(x)$ ;

(е)

$f(x) = x \; \mathbb {1}_{\mathbb {Z}}(x)$ ?

Задача 1.16

(а)(б)(в)

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность отрезков в $\mathbb {R}$ вида $[0, 2^{-n})$ , где $n \in \mathbb {Z}_{+}$ .

?

(а)

Является ли $\mathcal{F}$ $\sigma$ -алгеброй подмножеств?

(б)

Найти наименьшую $\sigma$ -алгебру, порождённую $\mathcal{F}$ .

(в)

Какие функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ измеримы относительно $\sigma (\mathcal{F})$ ?

Задача 1.17

(а)(б)(в)

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность отрезков в $\mathbb {R}$ вида $[0, n)$ , где $n \in \mathbb {Z}_{+}$ .

?

(а)

Является ли $\mathcal{F}$ $\sigma$ -алгеброй подмножеств?

(б)

Найти наименьшую $\sigma$ -алгебру, порождённую $\mathcal{F}$ .

(в)

Какие функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ измеримы относительно $\sigma (\mathcal{F})$ ?

Задача 1.18

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\mathcal{F}_1$ — совокупность всех подмножеств в $\mathbb {R}^{2}$ вида $B \times \mathbb {R}$ , где $B \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Борелю, а $\mathcal{F}_2$ — вида $\mathbb {R} \times B$ .

?

(а)

Являются ли $\mathcal{F}_1$ и $\mathcal{F}_2$ $\sigma$ -алгебрами подмножеств?

(б)

Какие события из $\mathcal{F}_2$ измеримы относительно $\mathcal{F}_1$ ?

(в)

Какие функции из $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}$ измеримы относительно $\mathcal{F}_1$ ?

(г)

Найти наименьшую $\sigma$ -алгебру, порождённую $\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2$ .

Задача 1.19

Для любых событий $A$ и $B$ доказать, что:

?

(а)

$\mathbb {P}\left(\overline{A}\right) = 1 - \mathbb {P}\left(A\right)$ ;

(б)

если $A \subseteq B$ , то $\mathbb {P}\left(B \setminus A\right) = \mathbb {P}\left(B\right) - \mathbb {P}\left(A\right)$ ;

(в)

если $A \subseteq B$ , то $\mathbb {P}\left(A\right) \leqslant \mathbb {P}\left(B\right)$ ;

(г)

$\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right) + \mathbb {P}\left(B\right) - \mathbb {P}\left(AB\right)$ ;

(д)

$1 - \mathbb {P}\left(A\right) - \mathbb {P}\left(B\right) \leqslant \mathbb {P}\left(AB\right) \leqslant 1$ ;

(е)

$\mathbb {P}\left(\overline{A}\, \overline{B}\right) = 1 - \mathbb {P}\left(A\right) - \mathbb {P}\left(B\right) + \mathbb {P}\left(AB\right)$ .

Задача 1.20

(а)(б)

Для любого набора событий $A_1, \ldots , A_n$ доказать следующие равенства (формулы включения-исключения):

?

(а)

\mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n} A_i\right) = \sum _{i=1}^{n} \mathbb {P}\left(A_i\right) - \sum _{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i A_j\right) + \sum _{1 \leqslant i < j < k \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i A_j A_k\right) - \ldots + (-1)^{n+1} \mathbb {P}\left(\bigcap _{i=1}^{n} A_i\right);

(б)

\mathbb {P}\left(\bigcap _{i=1}^{n} A_i\right) = \sum _{i=1}^{n} \mathbb {P}\left(A_i\right) - \sum _{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i \cup A_j\right) + \sum _{1 \leqslant i < j < k \leqslant n} \mathbb {P}\left(A_i \cup A_j \cup A_k\right) - \ldots + (-1)^{n+1} \mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n} A_i\right).

Задача 1.21

Пусть $\mathbb {P}\left(A_n\right) = 0$ при всех $n$ . Доказать равенство

\mathbb {P}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty } A_n\right) = 0.

?

Задача 1.22

Пусть $\mathbb {P}\left(A_n\right) = 1$ при всех $n$ . Доказать равенство

\mathbb {P}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty } A_n\right) = 1.

?

Задача 1.23

Доказать, что для любой последовательности событий $\left\{ A_n\right\}$ справедливо неравенство

\mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty } A_i\right) \leqslant \sum _{i=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_i\right).

?

Задача 1.24

Рассмотрим последовательность событий $\left\{ A_n\right\}$ и обозначим через $A$ событие, состоящее в том, что произойдёт бесконечно много событий $A_n$ , т.е.

A = \left\{ \omega : \sum _{n=1}^{\infty } \; \mathbb {1}_{A_n}(\omega ) = \infty \right\} .

Доказать, что

A = \bigcap _{n=1}^{\infty } \bigcup _{k=n}^{\infty } A_n.

?

Задача 1.25

В условиях предыдущей задачи доказать, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_n\right)$ сходится, то $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ (лемма Бореля — Кантелли).

?

Операции над событиями