Глава 7

Интегрирование функций

[460/99%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

7.1 · Основные формулы и приемы интегрирования[102/100%]

Задача 2797

Применяя формулы 1 и 2 и правила I и II, найти интеграл $\int x^{3} dx$ .

Задача 2798

Применяя формулы 1 и 2 и правила I и II, найти интеграл $\int \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 2799

Применяя формулы 1 и 2 и правила I и II, найти интеграл $\int x \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 2800

Применяя формулы 1 и 2 и правила I и II, найти интеграл $\int \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}\, dx$ .

Задача 2801

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$ .

Задача 2802

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$ .

Задача 2803

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}}$ .

Задача 2804

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x \sqrt{x}}$ .

Задача 2805

Найти интеграл $\int (x^{2}+6x-5)\, dx$ .

Задача 2806

Найти интеграл $\int (x^{4}-3x^{2}+5x)\, dx$ .

Задача 2807

Найти интеграл $\int x^{2}(x^{2}-1)\, dx$ .

Задача 2808

Найти интеграл $\int (x^{2}-1)^{2}\, dx$ .

Задача 2809

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-3x+4}{x}\, dx$ .

Задача 2810

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}-x+3}{x}\, dx$ .

Задача 2811

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-x+1}{\sqrt{x}}\, dx$ .

Задача 2812

Найти интеграл $\int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}}\, dx$ .

Задача 2813

Следующие интегралы находятся непосредственно применением формул 1--12, а также при помощи замены переменных по формуле $ax+b=t$ . Найти интеграл $\int e^{-x}\, dx$ .

Задача 2814

Найти интеграл $\int e^{-3x}\, dx$ .

Задача 2815

Найти интеграл $\int \sin 2x\, dx$ .

Задача 2816

Найти интеграл $\int \cos (3x-5)\, dx$ .

Задача 2817

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x-2}$ .

Задача 2818

Найти интеграл $\int \frac{dx}{3x+2}$ .

Задача 2819

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-x+1}{x-2}\, dx$ .

Задача 2820

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}+2}$ .

Задача 2821

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}-3}$ .

Задача 2822

Найти интеграл $\int \frac{dx}{2x^{2}+7}$ .

Задача 2823

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{5-x^{2}}}$ .

Задача 2824

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{x-1}$ .

Задача 2825

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6}}$ .

Задача 2826

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+7}}$ .

Задача 2827

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x-2)^{3}}$ .

Задача 2828

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(2x-1)^{2}}$ .

Задача 2829

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{2} 3x}$ .

Задача 2830

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1+\cos x}$ .

Задача 2831

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{2}(5x-2)}$ .

Задача 2832

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2-3x}}$ .

Задача 2833

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2-3x^{2}}}$ .

Задача 2834

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos x}$ .

Задача 2835

Найти интеграл $\int 2^{x}\, dx$ .

Задача 2836

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}}$ , переведя иррациональность в числитель.

Задача 2837

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x+2)^{2}+3}$ .

Задача 2838

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}+6x+13}$ .

Задача 2839

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}+5x+6}$ .

Задача 2840

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}$ .

Задача 2841

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$ .

Задача 2842

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}+3x}}$ .

Задача 2843

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2ax-x^{2}}}$ .

Задача 2844

В ряде случаев бывает удобно преобразовать произведения и степени синусов и косинусов в суммы или разности. Найти интеграл $\int \cos x \cos 3x\, dx$ .

Задача 2845

Найти интеграл $\int \cos x \sin 3x\, dx$ .

Задача 2846

Найти интеграл $\int \cos 3x \cos 4x\, dx$ .

Задача 2847

Найти интеграл $\int \cos x \cos 3x \cos 5x\, dx$ .

Задача 2848

Найти интеграл $\int \sin x \sin 2x \sin 3x\, dx$ .

Задача 2849

Найти интеграл $\int \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{12}\, dx$ .

Задача 2850

Найти интеграл $\int \sin^{2} x \cos^{2} 3x\, dx$ .

Задача 2851

Найти интеграл $\int \sin^{4} x\, dx$ .

Задача 2852

Найти интеграл $\int \cos^{4} x\, dx$ .

Задача 2853

Найти интеграл $\int \sin^{4} x \cos^{4} x\, dx$ .

Задача 2854

Следующие интегралы находятся простыми подстановками. Найти интеграл $\int \frac{e^{x}\, dx}{\sqrt{e^{x}+1}}$ .

Задача 2855

Найти интеграл $\int \frac{e^{x}\, dx}{e^{2x}+1}$ .

Задача 2856

Найти интеграл $\int \frac{\ln x}{x}\, dx$ .

Задача 2857

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x \ln x}$ .

Задача 2858

Найти интеграл $\int \frac{\arctg x}{1+x^{2}}\, dx$ .

Задача 2859

Найти интеграл $\int \sin^{3}x\cos x\, dx$ .

Задача 2860

Найти интеграл $\int \cos^{2}x\sin x\, dx$ .

Задача 2861

Найти интеграл $\int e^{x^{2}}x\, dx$ .

Задача 2862

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+1)^{2}}$ .

Задача 2863

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 2864

Найти интеграл $\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\, dx$ .

Задача 2865

Найти интеграл $\int \frac{\cos x\, dx}{\sqrt[3]{\sin^{2}x}}$ .

Задача 2866

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\arcsin x \sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 2867

Найти интеграл $\int \frac{\sin x\, dx}{\sqrt{2+\cos x}}$ .

Задача 2868

Найти интеграл $\int \frac{\sin 2x\, dx}{\sin^{2}x+3}$ .

Задача 2869

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{\tg x}\, dx}{\cos^{2}x}$ .

Задача 2870

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{3}x\, dx}{\sin^{4}x}$ .

Задача 2871

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{2}x+5\cos^{2}x}$ .

Задача 2872

Найти интеграл $\int \tg x\, dx$ .

Задача 2873

Найти интеграл $\int \tg^{2}x\, dx$ .

Задача 2874

Найти интеграл $\int \frac{2x+11}{x^{2}+6x+13}\, dx$ .

Задача 2875

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{2}+x+1}$ .

Задача 2876

Найти интеграл $\int \frac{4x+8}{3x^{2}+2x+5}\, dx$ .

Задача 2877

Найти интеграл $\int \frac{5x+7}{\sqrt{5-4x-x^{2}}}\, dx$ .

Задача 2878

Найти интеграл $\int \frac{3x+2}{\sqrt{3+x+x^{2}}}\, dx$ .

Задача 2879

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{\sqrt{x^{2}-ax}}$ .

Задача 2880

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{\sqrt{x^{2}+x-1}}$ .

Задача 2881

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$ .

Задача 2882

Найти интеграл $\int \frac{(x+a)\, dx}{\sqrt{ax-x^{2}}}$ .

Задача 2883

С помощью одной из тригонометрических подстановок $x=a\sin \varphi$ , $x=a\tg \varphi$ , $x=a\sin^{2}\varphi$ найти интеграл $\int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$ .

Задача 2884

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 2885

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x(a-x)}}$ .

Задача 2886

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ .

Задача 2887

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\, dx$ , переведя иррациональность в знаменатель.

Задача 2888

Применяя интегрирование по частям, выражаемое равенством III, найти интеграл $\int x^{2}\ln x\, dx$ .

Задача 2889

Найти интеграл $\int x\cos x\, dx$ .

Задача 2890

Найти интеграл $\int x\ch x\, dx$ .

Задача 2891

Найти интеграл $\int x\sin x\, dx$ .

Задача 2892

Найти интеграл $\int x\arctg x\, dx$ .

Задача 2893

Найти интеграл $\int (x^{2}+x)\ln (x+1)\, dx$ .

Задача 2894

Найти интеграл $\int x^{2}e^{-x}\, dx$ .

Задача 2895

Найти интеграл $\int x^{2}\sin x\, dx$ .

Задача 2896

Найти интеграл $\int x\ln (x^{2}-1)\, dx$ .

Задача 2897

Найти интеграл $\int \ln x\, dx$ .

Задача 2898

Найти интеграл $\int x\ln^{2}x\, dx$ .

7.2 · Интегрирование рациональных функций[76/97%]

Задача 2899

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{2}-3x+2}$ , пользуясь тождеством

\frac{x}{x^{2}-3x+2}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}.

Задача 2900

Найти интеграл $\int \frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}\, dx$ , пользуясь тождеством

\frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3},

в котором коэффициенты $A$ и $B$ легко находятся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $x$ после освобождения от знаменателя.

Задача 2901

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}-1}$ .

Задача 2902

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{3}-1}$ .

Задача 2903

Найти интеграл $\int \frac{2x^{2}+4}{x^{3}-x^{2}+x-1}\, dx$ .

Задача 2904

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}(x-1)}$ .

Задача 2905

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x+a)(x^{2}+b^{2})}$ .

Задача 2906

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-x+2}{x^{4}-5x^{2}+4}\, dx$ .

Задача 2907

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ .

Задача 2908

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}$ .

Задача 2909

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}+1}$ .

Задача 2910

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}+1}{x^{6}+x^{4}}\, dx$ .

Задача 2911

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+x^{2}+2}{x(x^{2}-1)^{2}}\, dx$ .

Задача 2912

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}-2x^{2}+4}{x^{3}(x-2)^{2}}\, dx$ .

Задача 2913

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}-1}$ .

Задача 2914

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{3}+1}$ .

Задача 2915

Найти интеграл $\int \frac{9x^{2}-14x+1}{x^{3}-2x^{2}-x+2}\, dx$ .

Задача 2916

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^{2}}$ .

Задача 2917

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}+2x-3}$ .

Задача 2918

В следующих интегралах для разложения знаменателя на множители удобно прибавить и вычесть слагаемое $ax^{2}$ , где $a$ --- соответственно подобранный коэффициент. Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}+1}$ .

Задача 2919

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x^{2}+1}$ .

Задача 2920

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+2)\, dx}{x^{4}+x^{2}+4}$ .

Задача 2921

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}+x^{2}+1}$ .

Задача 2922

Если знаменатели разлагаются на простые множители первой степени, то при разложении дроби на простейшие удобна формула

\frac{\varphi (x)}{\psi (x)}=\sum _{k=1}^{n}\frac{\varphi (a_{k})}{\psi '(a_{k})}\frac{1}{x-a_{k}},

где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ --- корни полинома $\psi (x)$ . Если среди корней есть пара комплексных сопряженных, то в сумме, стоящей в правой части, два соответствующих слагаемых можно заменить одной величиной:

\frac{\left(\frac{\varphi (a)}{\psi '(a)}+\frac{\varphi (\bar{a})}{\psi '(\bar{a})}\right)x-\left(\bar{a}\frac{\varphi (a)}{\psi '(a)}+a\frac{\varphi (\bar{a})}{\psi '(\bar{a})}\right)}{x^{2}-(a+\bar{a})x+a\bar{a}}.

Здесь $\bar{a}=\alpha -\beta i$ --- число комплексно сопряженное с $a=\alpha +\beta i$ .

Найти интеграл $\int \frac{6\, dx}{x(x-1)(x-2)(x-3)}$ .

Задача 2923

Найти интеграл $\int \frac{24\, dx}{x(x^{2}-1)(x^{2}-4)}$ .

Задача 2924

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2n}+1}$ .

Задача 2925

Следующие интегралы сводятся к интегралам предыдущих типов после выделения целой части в подынтегральной дроби. Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{2}+3}$ .

Задача 2926

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{x^{2}-1}$ .

Задача 2927

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{x^{2}+x+1}$ .

Задача 2928

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{x^{2}-3x+2}$ .

Задача 2929

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}+16}{x^{4}-4}\, dx$ .

Задача 2930

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}$ .

Задача 2931

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\, dx$ .

Задача 2932

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}\, dx$ .

Задача 2933

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{(x^{2}-1)^{2}}$ .

Задача 2934

Пользуясь тождеством $4a(ax^{2}+bx+c)-(2ax+b)^{2}=4ac-b^{2}$ и интегрируя по частям интеграл $\int \frac{(2ax+b)^{2}\, dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$ , можно доказать формулу приведения

(4ac-b^{2})u_{n}=\frac{2n-3}{n-1}\cdot 2a u_{n-1}+\frac{1}{n-1}\cdot \frac{2ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}},

где $u_{n}=\int \frac{dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$ .

Следующие интегралы найти с помощью формулы приведения. Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}}$ .

Задача 2935

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+x+1)^{3}}$ .

Задача 2936

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{4}}$ .

Задача 2937

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-3x+3)^{2}}$ .

Задача 2938

Доказать равенство

\begin{split} \int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} & = -\frac{1}{2n-2}\frac{x}{a^{2}(x^{2}+a^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{(2n-2)(2n-4)}\frac{x}{a^{4}(x^{2}+a^{2})^{n-2}}+\ldots \\ & \quad \ldots +\frac{(2n-3)(2n-5)\ldots 3\cdot 1}{(2n-2)(2n-4)\ldots 4\cdot 2}\frac{1}{a^{2n-1}}\arctg \frac{x}{a}+C. \end{split}

Задача 2939

Доказать равенство

\int \frac{(2ax+b)^{m}}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}\, dx=\frac{(2ax+b)^{m-1}}{(n-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}+\frac{2a(m-1)}{n-1}\int \frac{(2ax+b)^{m-2}}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}\, dx.

Задача 2940

Найти интегралы. Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{(x^{2}+3)^{3}}$ .

Задача 2941

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{(x^{2}-5)^{4}}$ .

Задача 2942

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{(x^{2}+4)^{4}}$ .

Задача 2943

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{(x^{2}-3)^{3}}$ .

Задача 2944

В следующих задачах подынтегральная функция имеет вид $x^{m}(ax^{n}+b)^{-p}$ . В них полезна подстановка $x^{\sigma }=t$ , где $\sigma$ --- наибольший общий делитель чисел $m+1$ и $n$ . Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{x^{4}+1}$ .

Задача 2945

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x^{8}+4)^{2}}$ .

Задача 2946

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{x^{8}+1}$ .

Задача 2947

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{(x^{12}+1)^{2}}$ .

Задача 2948

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x(x^{3}+4)}$ .

Задача 2949

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{(x^{2}+2)^{2}}$ .

Задача 2950

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+1}{x(x^{3}-8)}\, dx$ .

Задача 2951

Найти интеграл $\int \frac{x^{8}-1}{x(x^{8}+1)}\, dx$ .

Задача 2952

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x(x^{6}+1)^{2}}$ .

Задача 2953

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{x^{12}-1}$ .

Задача 2954

В следующих задачах интеграл находится после того, как знаменатель разлагается на множители. Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+4x^{2}+6x}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+2}\, dx$ .

Задача 2955

Найти интеграл $\int \frac{2x^{2}+x+4}{x^{4}+x^{3}+2x^{2}-x+3}\, dx$ .

Задача 2956

Найти интеграл $\int \frac{4x^{3}-x^{2}+10x+5}{x^{4}-x^{3}+4x^{2}+3x+5}\, dx$ .

Задача 2957

Найти интеграл $\int \frac{4x^{3}-17x^{2}+28x-15}{x^{4}-7x^{3}+20x^{2}-27x+15}\, dx$ .

Задача 2958

Найти алгебраическую часть в интегралах. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x(x^{3}+1)^{2}}\, dx$ .

Задача 2959

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}}$ .

Задача 2960

Найти интеграл $\int \frac{2-3x+x^{2}}{(x+1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}\, dx$ .

Задача 2961

Найти интеграл $\int \frac{4x^{5}-1}{(x^{5}+x+1)^{2}}\, dx$ .

Задача 2962

Ряд дальнейших задач решается разными специальными приемами, позволяющими избежать разложения дроби на простейшие. Дробно-линейная подстановка вида $\frac{x-a}{x-b}=t$ позволяет удобно найти интеграл $\int \frac{dx}{(x+1)^{2}(x-2)^{3}}$ .

Задача 2963

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-x)^{3}}$ .

Задача 2964

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{4}}$ .

Задача 2965

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x-1)^{2}(x^{2}-1)^{3}}$ .

Задача 2966

Подстановки вида $x+\frac{1}{x}=u$ и $x-\frac{1}{x}=v$ позволяют с легкостью найти следующие интегралы, содержащие возвратные полиномы и множитель $x^{2}-1$ или $x^{2}+1$ . Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+3x+1}\, dx$ .

Задача 2967

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\frac{dx}{x^{2}+x+1}$ .

Задача 2968

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}-2x+1}\, dx$ .

Задача 2969

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}\, dx$ .

Задача 2970

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}+x^{2}+1}$ , воспользовавшись тождествами

1=\frac{1}{2}(x^{3}+1)-\frac{1}{2}(x^{3}-1), \qquad 1=\frac{1}{2}(x^{2}+1)-\frac{1}{2}(x^{2}-1).

Задача 2971

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}\, dx$ , вычтя и прибавив в числителе величину $x^{2}$ .

Задача 2972

Найти интеграл $A=\int \frac{dx}{x^{4}+1}$ , введя вспомогательный интеграл $B=\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+1}$ и заметив, что интегралы $A+B$ и $A-B$ берутся с легкостью после подстановок $x-\frac{1}{x}=u$ и $x+\frac{1}{x}=v$ .

Задача 2973

Найти величину интеграла $A=\int \frac{dx}{x^{6}+1}$ , введя в рассмотрение интеграл $B=\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{6}+1}$ .

Задача 2974

Найти интегралы $C=\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{8}+1}$ и $D=\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{8}+1}$ .

7.3 · Интегрирование иррациональных функций[80/100%]

Задача 2975

Если в подынтегральной функции содержится корень какой-нибудь степени из дробно-линейной функции $\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }$ , то от этой иррациональности можно избавиться подстановкой $\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }=t^{n}$ , где $n$ --- соответственно выбранный показатель. С помощью этого приема найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2x-1}-\sqrt[3]{2x-1}}$ .

Задача 2976

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(3x-1)\sqrt{3x-1}}$ .

Задача 2977

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{dx}{x}$ .

Задача 2978

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$ .

Задача 2979

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt{x}}\, dx$ .

Задача 2980

Найти интеграл $\int \frac{2+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}+1}\, dx$ .

Задача 2981

Следующие четыре интеграла, хотя и иного типа, но тоже находятся подстановкой вида $\frac{x-a}{x-b}=t^{n}$ . Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^{3}(x-2)}}$ .

Задача 2982

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)}}$ .

Задача 2983

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}$ .

Задача 2984

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{7}(x+1)^{2}}}$ .

Задача 2985

Близкими приемами находятся и следующие три интеграла. Найти интеграл $\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$ .

Задача 2986

Найти интеграл $\int \sqrt[3]{\frac{(x+1)^{5}}{(x-1)^{2}}}\, dx$ .

Задача 2987

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(\sqrt{x+2}+1)\sqrt{\sqrt{x+2}-1}}$ .

Задача 2988

Следующие интегралы имеют вид $\int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}\, dx$ , где $m$ , $n$ и $p$ --- рациональные числа. Они сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях: 1) если $p$ --- целое, хотя бы и отрицательное (подстановка $x=t^{N}$ , где $N$ --- общий знаменатель дробей $m$ и $n$ ); 2) если $\frac{m+1}{n}$ --- целое (подстановка $ax^{n}+b=t^{M}$ , где $M$ --- знаменатель числа $p$ ); 3) если $\frac{m+1}{n}+p$ --- целое (подстановка $a+bx^{-n}=t^{M}$ , где $M$ --- знаменатель числа $p$ ). Если ни одно из трех чисел $p$ , $\frac{m+1}{n}$ и $\frac{m+1}{n}+p$ не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

Вычислить интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt[3]{x}+1)^{2}}$ .

Задача 2989

Вычислить интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^{2}}(\sqrt[3]{x}+1)^{3}}$ .

Задача 2990

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt[3]{x}\, dx}{\sqrt[3]{\sqrt{x}+1}}$ .

Задача 2991

Найти интеграл $\int \frac{x^{7}\, dx}{\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 2992

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{\sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2}}}$ .

Задача 2993

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{6}\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 2994

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt[3]{1+x^{5}}}$ .

Задача 2995

Найти интеграл $\int x^{7}\sqrt{1+x^{2}}\, dx$ .

Задача 2996

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^{3}}}$ .

Задача 2997

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}$ .

Задача 2998

Найти интеграл $\int \sqrt[3]{x-x^{3}}\, dx$ .

Задача 2999

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{x^{6}-1}}$ .

Задача 3000

Следующие интегралы решаются приемом, подобным применяемому в третьем случае предыдущего типа. Найти интеграл $\int \frac{dx}{(5x^{3}+3)\sqrt[3]{4x^{3}+3}}$ .

Задача 3001

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{4}+3)\sqrt[3]{2x^{4}+1}}$ .

Задача 3002

Во многих случаях при нахождении интегралов от дифференциальных биномов, т.е. интегралов вида $u_{m,p}=\int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}\, dx$ , бывает полезно сначала свести интеграл к другому, у которого величины $m$ и $p$ имеют более удобные значения. Это можно сделать с помощью формул приведения. Главнейшие из них имеют такой вид:

a(m+np+1)u_{m,p}=x^{m-n+1}(ax^{n}+b)^{p+1}-b(m-n+1)u_{m-n,p},

(m+np+1)u_{m,p}=x^{m+1}(ax^{n}+b)^{p}+bnpu_{m,p-1}.

С помощью формул приведения найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 3003

Найти интеграл $\int \frac{x^{8}\, dx}{\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 3004

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{7}\sqrt{x^{4}+1}}$ .

Задача 3005

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 3006

Найти интеграл $\int (x^{2}-1)^{2}\sqrt{x^{2}-1}\, dx$ .

Задача 3007

Найти интеграл $\int \frac{x^{9}\, dx}{\sqrt[3]{x^{3}+1}}$ .

Задача 3008

В большом количестве дальнейших задач даны интегралы, содержащие корень квадратный из квадратного полинома. Все они могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:

\sqrt{ax^{2}+bx+c}=x\sqrt{a}+t, \qquad \sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{c}+tx, \qquad \sqrt{ax^{2}+bx+c}=t(x-x_{1}),

где $x_{1}$ --- корень полинома $ax^{2}+bx+c$ .

Однако в большинстве случаев подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. Для их применения следует ознакомиться с тремя основными типами изучаемых интегралов.

I. Интегралы вида $\int \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$ , где $f(x)$ --- полином. В большинстве случаев удобен метод неопределенных коэффициентов. При этом пишем предположительное тождество

\int \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}=(A_{1}x^{n-1}+A_{2}x^{n-2}+\ldots +A_{n})\sqrt{ax^{2}+bx+c}+A_{n+1}\int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}.

Вычисляя производную от обеих частей равенства, получаем

\begin{split} \frac{f(x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}={}& \left((n-1)A_{1}x^{n-2}+(n-2)A_{2}x^{n-3}+\ldots +A_{n-1}\right)\sqrt{ax^{2}+bx+c}\ + \\ & +(A_{1}x^{n-1}+A_{2}x^{n-2}+\ldots +A_{n})\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^{2}+bx+c}}+\frac{A_{n+1}}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}. \end{split}

Освобождаясь от знаменателя, получим в обеих частях равенства полиномы степени $n$ . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ , получим уравнения, из которых коэффициенты $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ находятся один за другим.

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+1)\, dx}{\sqrt{-x^{2}+3x-2}}$ .

Задача 3009

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{-x^{2}+x+4}}\, dx$ .

Задача 3010

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{\sqrt{x^{2}+2x-1}}\, dx$ .

Задача 3011

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}-x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}\, dx$ .

Задача 3012

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 3013

Найти интеграл $\int x^{2}\sqrt{x^{2}+2}\, dx$ .

Задача 3014

Предыдущие задачи содержали интегралы вида $\int \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$ , где $f(x)$ --- полином. Чтобы иметь возможность интегрировать самый общий интеграл вида $\int f(x,y)\, dx$ , где $f(x,y)$ --- рациональная функция от $x$ и $y$ , а $y=\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ , важно уметь находить интегралы еще двух видов, которые мы обозначим цифрами II и III.

II. Интегралы вида $\int \frac{f_{m}(x)\, dx}{(x-\alpha )^{n}\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$ , где $f_{m}(x)$ --- полином степени $m$ , меньшей, чем $n$ . Эти интегралы сводятся к интегралам предыдущего класса подстановкой $x-\alpha =\frac{1}{t}$ . Если степени полинома $f_{m}(x)$ не меньше, чем $n$ , то у дроби $\frac{f_{m}(x)}{(x-\alpha )^{n}}$ следует выделить целую часть.

С помощью этих методов найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 3015

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3016

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}\sqrt{2x^{2}+2x+1}}$ .

Задача 3017

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 3018

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+x-1}{(x-1)\sqrt{x^{2}+2x-1}}\, dx$ .

Задача 3019

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}+2x+4}}$ .

Задача 3020

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{x^{2}+2x+4}}{(x-1)^{2}}\, dx$ .

Задача 3021

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 3022

III. Третий и наиболее сложный тип представляют интегралы

I=\int \frac{(Mx+N)\, dx}{(x^{2}+px+q)^{n}\sqrt{ax^{2}+bx+c}},

где корни трехчлена $x^{2}+px+q$ мнимые. Если $p=b=0$ , то

I=M\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+q)^{n}\sqrt{ax^{2}+c}}+N\int \frac{dx}{(x^{2}+q)^{n}\sqrt{ax^{2}+c}}=M\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+q)^{n}\sqrt{ax^{2}+c}}+N\int \frac{x^{-2n-1}\, dx}{(1+qx^{-2})^{n}\sqrt{a+cx^{-2}}}.

Здесь первый интеграл находится подстановкой $ax^{2}+c=u^{2}$ , а второй --- подстановкой $a+cx^{-2}=v^{2}$ . В общем случае интеграл $I$ сводится к этому простейшему подстановкой $x=\frac{\alpha t+\beta }{t+1}$ . При этом получается

I=\int \frac{f_{n}(t)\, dt}{(At^{2}+Bt+C)^{n}\sqrt{A_{1}t^{2}+B_{1}t+C_{1}}},

где $f_{n}(t)$ --- полином степени $n$ , а коэффициенты $B$ и $B_{1}$ имеют такие значения:

B=2\alpha \beta +p(\alpha +\beta )+2q; \qquad B_{1}=2a\alpha \beta +b(\alpha +\beta )+2c.

Полагая $B=0$ , $B_{1}=0$ , получим уравнения, дающие для $\alpha$ и $\beta$ вещественные значения при вещественных $p, q, a, b, c$ , если хотя бы один из полиномов имеет мнимые корни. При таком выборе чисел $\alpha$ и $\beta$ интеграл $I$ распадается на сумму интегралов двух видов:

\int \frac{t^{2\nu +1}\, dt}{(At^{2}+C)\sqrt{A_{1}t^{2}+C_{1}}} \quad \text{и} \quad \int \frac{t^{2\nu }\, dt}{(At^{2}+C)\sqrt{A_{1}t^{2}+C_{1}}},

которые интегрируются соответственно подстановками:

A_{1}t^{2}+C_{1}=\sigma ^{2} \quad \text{и} \quad A_{1}+C_{1}t^{-2}=\tau ^{2}.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3023

Найти интеграл $\int \frac{(x+3)\, dx}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3024

Найти интеграл $\int \frac{(2x+3)\, dx}{(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}+2x+4}}$ .

Задача 3025

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+x+2)\sqrt{4x^{2}+4x+3}}$ .

Задача 3026

Найти интеграл $\int \frac{(2x+1)\, dx}{(3x^{2}+4x+4)\sqrt{x^{2}+6x-1}}$ .

Задача 3027

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(3x^{2}+2x+3)\sqrt{4x^{2}-2x+4}}$ .

Задача 3028

Самый общий интеграл вида $\int f(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})\, dx$ , где $f(x,y)$ --- рациональная функция от $x$ и $y$ , сводится к интегралам трех предыдущих видов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать функцию $f(x,y)$ к виду $\varphi (x)+\psi (x)y$ , где $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ --- рациональные функции от $x$ . При этом $\psi (x)y=\frac{\psi (x)y^{2}}{y}=\frac{\psi (x)(ax^{2}+bx+c)}{y}=\frac{\omega (x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$ . Таким образом, дело сводится к нахождению интеграла от рациональной функции $\varphi (x)$ и $\frac{\omega (x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$ , где $\omega (x)$ --- рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь $\omega (x)$ можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получатся интегралы трех рассмотренных типов. В простых случаях часть этих преобразований отпадает.

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{a-x}{x-b}}\, dx$ .

Задача 3029

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}+2}\, dx$ .

Задача 3030

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\, dx$ .

Задача 3031

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x-\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 3032

Найти интеграл $\int \frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{(x-1)^{2}}\, dx$ .

Задача 3033

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x-\sqrt{x^{2}-x+1}}$ .

Задача 3034

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}\, dx$ .

Задача 3035

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{2x+1+2\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3036

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ .

Задача 3037

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}+2x+4}}$ .

Задача 3038

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{3}-x)\sqrt{x^{2}+x+4}}$ .

Задача 3039

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}+2x+4}}$ .

Задача 3040

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+x-2)\sqrt{x^{2}+2x+3}}$ .

Задача 3041

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+1)\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-2x-1}}$ .

Задача 3042

Подстановкой Абеля иногда называют подстановку $\frac{2ax+b}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}=u$ , удобную при нахождении интеграла от функции $(ax^{2}+bx+c)^{-n-\frac{1}{2}}$ , где $n$ --- целое число.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{(2x-x^{2})^{3}}}$ .

Задача 3043

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+x+1)^{2}\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3044

Найти интеграл $\int \frac{(3x+2)\, dx}{(x^{2}+4x+1)^{2}\sqrt{x^{2}+4x+1}}$ .

Задача 3045

Найти интеграл $\int \frac{(x^{3}+1)\, dx}{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3046

Интегралы $\int f(x,y)\, dx$ , где $f(x,y)$ --- рациональная функция, а $y=\sqrt{Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E}$ , называемые эллиптическими, вообще говоря не интегрируются в конечном виде, если нет особых соотношений между коэффициентами функции $f(x,y)$ или полинома $Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E$ .

В следующих примерах с возвратными полиномами одна из подстановок $x+\frac{1}{x}=u$ или $x-\frac{1}{x}=v$ позволяет сравнительно просто получить интеграл. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\frac{dx}{\sqrt{x^{4}+1}}$ .

Задача 3047

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\frac{dx}{\sqrt{x^{4}+1}}$ .

Задача 3048

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x\sqrt{1+3x^{2}+x^{4}}}\, dx$ .

Задача 3049

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+1)\, dx}{x\sqrt{x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-3x+1}}$ .

Задача 3050

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{1+x^{4}}}{1-x^{4}}\, dx$ .

Задача 3051

Найти интеграл $\int \frac{x+1}{x-1}\frac{dx}{\sqrt{x(x^{2}+x+1)}}$ .

Задача 3052

Теорема (Абеля). Пусть $y$ --- алгебраическая функция от $x$ степени $n$ , т.е. $y$ удовлетворяет уравнению $\varphi (x,y)=0$ , где $\varphi (x,y)$ --- полином относительно $x$ и $y$ степени $n$ относительно $y$ . Если интеграл $\int f(x,y)\, dx$ от функции $f(x,y)$ , рациональной относительно $x$ и $y$ , может быть выражен через алгебраические функции, то должно выполняться равенство

\int f(x,y)\, dx=p_{0}(x)+p_{1}(x)y+\ldots +p_{n-1}(x)y^{n-1},

где $p_{0}(x), p_{1}(x), \ldots , p_{n-1}(x)$ --- рациональные функции от $x$ .

Следствие. Если $y=\sqrt[m]{\varphi (x)}$ , где $\varphi (x)$ --- полином степени $n$ , и если интеграл $\int \frac{a_{0}x^{\lambda }+a_{1}x^{\lambda -1}+\ldots +a_{\lambda }}{y^{k}}\, dx$ выражается алгебраической функцией, то он должен равняться $f(x)y^{m-k}$ , где $f(x)$ --- полином степени $\lambda =n+1$ .

Найти следующие алгебраические интегралы. Найти интеграл $\int \frac{3x^{4}+2x^{3}+8x^{2}+6x+2}{\sqrt[3]{(x^{3}+3x+1)^{2}}}\, dx$ .

Задача 3053

Найти интеграл $\int \frac{5x^{5}+11x^{3}+3x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3}+3x+1}}\, dx$ .

Задача 3054

Найти интеграл $\int \frac{5x^{7}+17x^{4}+4x^{3}}{\sqrt[4]{(x^{4}+4x+1)^{3}}}\, dx$ .

7.4 · Интегрирование трансцендентных функций[108/97%]

Задача 3055

Интегралы, содержащие функции $\ln \varphi$ , $\arctg \varphi$ , $\arcsin \varphi$ , где $\varphi$ --- некоторая алгебраическая функция от $x$ , нередко интегрируют по частям, полагая $u=\ln \varphi$ , $u=\arctg \varphi$ , $u=\arcsin \varphi$ . Этим способом находится интеграл $\int \ln x\, dx$ .

Задача 3056

Найти интеграл $\int \frac{\ln x}{(2x+5)^{3}}\, dx$ .

Задача 3057

Найти интеграл $\int \ln (1+x^{2})\, dx$ .

Задача 3058

Найти интеграл $\int \frac{\ln (x-1)}{(x+1)^{3}}\, dx$ .

Задача 3059

Найти интеграл $\int \frac{\ln (x^{2}-x+1)}{x^{2}}\, dx$ .

Задача 3060

Найти интеграл $\int \frac{x\ln x}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}}\, dx$ .

Задача 3061

Найти интеграл $\int \ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})\, dx$ .

Задача 3062

Найти интеграл $\int \ln (x+\sqrt{1+x^{2}})\, dx$ .

Задача 3063

Найти интеграл $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\ln \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$ .

Задача 3064

Найти интеграл $\int \arctg x\, dx$ .

Задача 3065

Найти интеграл $\int x^{6}\arctg x\, dx$ .

Задача 3066

Найти интеграл $\int x^{7}\arctg x\, dx$ .

Задача 3067

Найти интеграл $\int \arcsin x\, dx$ .

Задача 3068

Найти интеграл $\int x\arcsin x\, dx$ .

Задача 3069

Найти интеграл $\int \frac{\arcsin x}{x^{2}}\, dx$ .

Задача 3070

Найти интеграл $\int \frac{x\arcsin x\, dx}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 3071

Интегралы, содержащие произведение полинома на одну из функций $e^{ax}$ , $\cos ax$ , $\sin bx$ , лучше всего берутся по формуле многократного интегрирования по частям, которой можно придать такой вид:

\int uv^{(n)}\, dx=uv^{(n-1)}-u'v^{(n-2)}+u''v^{(n-3)}-\ldots +(-1)^{m}u^{(m)}v^{(n-m-1)}+(-1)^{(m+1)}\int u^{(m+1)}v^{(n-m-1)}\, dx+C.

Если $u$ --- полином степени $m$ , то последний член обращается в нуль.

Доказать равенства, в которых $f(x)$ --- полином степени $m$ :

\int f(x)e^{ax}\, dx=\frac{e^{ax}}{a}\left(f(x)-\frac{f'(x)}{a}+\frac{f''(x)}{a^{2}}-\ldots +(-1)^{m}\frac{f^{(m)}(x)}{a^{m}}\right)+C.

Задача 3072

Доказать равенство

\begin{split} \int f(x)\cos ax\, dx={}& \frac{\sin ax}{a}\left(f(x)-\frac{f''(x)}{a^{2}}+\frac{f^{IV}(x)}{a^{4}}-\ldots \right)\ + \\ & +\frac{\cos ax}{a^{2}}\left(f'(x)-\frac{f'''(x)}{a^{2}}+\frac{f^{V}(x)}{a^{4}}-\ldots \right)+C. \end{split}

Задача 3073

Доказать равенство

\begin{split} \int f(x)\sin ax\, dx={}& -\frac{\cos ax}{a}\left(f(x)-\frac{f''(x)}{a^{2}}+\frac{f^{IV}(x)}{a^{4}}-\ldots \right)\ + \\ & +\frac{\sin ax}{a^{2}}\left(f'(x)-\frac{f'''(x)}{a^{2}}+\frac{f^{V}(x)}{a^{4}}-\ldots \right)+C. \end{split}

Задача 3074

Найти интеграл $\int x^{4}e^{-x}\, dx$ .

Задача 3075

Найти интеграл $\int x^{5}\cos x\, dx$ .

Задача 3076

Найти интеграл $\int x^{3}\sin (2x+3)\, dx$ .

Задача 3077

Найти интеграл $\int x^{4}\sin x\, dx$ .

Задача 3078

Найти интеграл $\int (x^{3}-2x^{2}+5)e^{3x}\, dx$ .

Задача 3079

Найти интеграл $\int (x^{2}+3x+5)\cos 2x\, dx$ .

Задача 3080

Найти интеграл $\int x^{3}e^{5x}\, dx$ .

Задача 3081

Найти интеграл $\int (x^{3}-x^{2}+x)\sin x\, dx$ .

Задача 3082

Следующие интегралы, содержащие показательные функции, находятся интегрированием по частям, а также и простыми подстановками. Найти интеграл $\int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\, dx$ .

Задача 3083

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{e^{x}+1}}$ .

Задача 3084

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+e^{x}+1}}$ .

Задача 3085

Найти интеграл $\int x^{5}e^{-x^{2}}\, dx$ .

Задача 3086

Найти интеграл $\int x(x^{2}+1)e^{-x^{2}}\, dx$ .

Задача 3087

Найти интеграл $\int \frac{xe^{x}}{(x+1)^{2}}\, dx$ .

Задача 3088

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}+3x+3}{x^{4}}e^{-x}\, dx$ .

Задача 3089

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}-2x-2}{(x^{2}+x)^{2}}e^{x}\, dx$ .

Задача 3090

Следующие интегралы удобнее всего находить, пользуясь тем, что формулы интегрирования для функций, содержащих $e^{ax}$ , остаются в силе и для комплексных значений $a$ . Отделив вещественную и мнимую части, получим равенства с вещественными интегралами. Этим путем находится интеграл $\int e^{ax}\cos bx\, dx$ .

Задача 3091

Найти интеграл $\int e^{ax}\sin bx\, dx$ .

Задача 3092

Найти интеграл $\int x^{2}\sin x\, e^{x}\, dx$ .

Задача 3093

Найти интеграл $\int x^{2}\cos x\, e^{x}\, dx$ .

Задача 3094

Ряд дальнейших интегралов относится к типу $\int f(\cos x, \sin x)\, dx$ , где $f(u,v)$ --- рациональная функция. Здесь полезно иметь в виду три правила: 1) если $f(\cos x, \sin x)$ умножается на $-1$ от перемены знака перед одной из величин $\cos x$ или $\sin x$ , то полезно другую из них обозначить через $t$ ; 2) если $f(\cos x, \sin x)$ не меняется от перемены знака одновременно перед $\cos x$ и $\sin x$ , то полезно положить $\tg x=t$ или $\ctg x=t$ ; 3) подстановка $\tg \frac{x}{2}=t$ во всех случаях обращает интеграл рассматриваемого типа в интеграл от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Найти интеграл $\int \sin^{3}x\, dx$ .

Задача 3095

Найти интеграл $\int \sin^{3}x\cos^{4}x\, dx$ .

Задача 3096

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{4}x}\, dx$ .

Задача 3097

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{2}x\cos^{4}x}$ .

Задача 3098

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{3}x}$ .

Задача 3099

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{5}x}$ .

Задача 3100

Найти интеграл $\int \tg^{6}x\, dx$ .

Задача 3101

Найти интеграл $\int \ctg^{3}x\, dx$ .

Задача 3102

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{4}x}$ .

Задача 3103

Найти интеграл $\int \sin^{7}x\cos^{6}x\, dx$ .

Задача 3104

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{5}x}{\sin^{3}x}\, dx$ .

Задача 3105

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{5}x}\, dx$ .

Задача 3106

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x\cos^{3}x}$ .

Задача 3107

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{4}x\cos^{4}x}$ .

Задача 3108

Для интегралов $U_{m,n}=\int \sin^{m}x\cos^{n}x\, dx$ существуют формулы приведения, позволяющие сводить интегралы к другим, у которых значки $m$ и $n$ ближе к нулю. Эти формулы сводятся к четырем основным:

(m+n)U_{m,n}=-\sin ^{m-1}x\cos ^{n+1}x+(m-1)U_{m-2,n};

(m+n)U_{m,n}=\sin ^{m+1}x\cos ^{n-1}x+(n-1)U_{m,n-2};

(n+1)U_{m,n}=-\sin ^{m-1}x\cos ^{n+1}x+(m-1)U_{m-2,n+2};

(m+1)U_{m,n}=\sin ^{m+1}x\cos ^{n-1}x+(n-1)U_{m+2,n-2}.

Обозначая через $U_{n}$ интеграл $U_{0,n}$ и через $V_{m}$ --- интеграл $U_{m,0}$ получаем отсюда еще две формулы приведения для интегралов $U_{n}=\int \cos^{n}x\, dx$ и $V_{m}=\int \sin^{m}x\, dx$ :

mV_{m}=-\sin ^{m-1}x\cos x+(m-1)V_{m-2}, \qquad nU_{n}=\sin x\cos ^{n-1}x+(n-1)U_{n-2}.

Пользуясь формулами приведения, найти интеграл $\int \sin^{4}x\cos^{2}x\, dx$ .

Задача 3109

Найти интеграл $\int \sin^{6}x\cos^{4}x\, dx$ .

Задача 3110

Найти интеграл $\int \sin^{2}x\cos^{6}x\, dx$ .

Задача 3111

Найти интеграл $\int \sin^{4}x\cos^{6}x\, dx$ .

Задача 3112

Найти интеграл $\int \sin^{6}x\, dx$ .

Задача 3113

Найти интеграл $\int \sin^{8}x\, dx$ .

Задача 3114

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{8}x}{\sin^{2}x}\, dx$ .

Задача 3115

Найти интеграл $\int \frac{\sin^{10}x}{\cos^{4}x}\, dx$ .

Задача 3116

В дальнейшем приводится ряд интегралов от тригонометрических функций, находимых разными приемами. Найти интеграл $\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx$ , сравнив числитель с производной от знаменателя.

Задача 3117

Найти интеграл $\int \frac{3\cos x+7\sin x}{5\cos x+2\sin x}\, dx$ , представив числитель в виде $Au+Bu'$ , где $u=5\cos x+2\sin x$ .

Задача 3118

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}$ , приведя знаменатель к логарифмическому виду.

Задача 3119

Применить такой же прием к интегралу $\int \frac{dx}{a\sin x+b\cos x}$ .

Задача 3120

Найти интеграл $\int \sqrt{1+\sin x}\, dx$ , пользуясь тем, что $1=\cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}$ .

Задача 3121

Подстановкой $\tg x=t$ найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{\sin^{3}x\cos^{5}x}}$ .

Задача 3122

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{\sin^{3}x}{\cos^{7}x}}\, dx$ .

Задача 3123

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}$ .

Задача 3124

Найти интеграл $\int \sqrt{\tg x}\, dx$ .

Задача 3125

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1+\tg x}$ .

Задача 3126

Найти интеграл $\int \frac{dx}{4+3\tg x}$ .

Задача 3127

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$ .

Задача 3128

Найти интеграл $\int \frac{1+\tg^{2}x}{(4+\tg^{2}x)\tg^{3}x}\, dx$ .

Задача 3129

Найти интеграл $\int \frac{1+\tg x}{\sin 2x}\, dx$ .

Задача 3130

Найти интеграл $\int \frac{dx}{2+3\cos^{2}x}$ .

Задача 3131

Найти интеграл $\int \frac{\sin^{2}x\cos^{2}x}{(\cos^{3}x+\sin^{3}x)^{2}}\, dx$ .

Задача 3132

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a^{2}-b^{2}\sin^{2}x}$ ; $a^{2}\neq b^{2}$ .

Задача 3133

Найти интеграл $\int \frac{2\sqrt{\tg x-1}}{(1+\cos 2x)\sqrt{1+\tg x}}\, dx$ .

Задача 3134

Найти интеграл $\int \frac{\cos x\, dx}{\sin^{3}x-\cos^{3}x}$ .

Задача 3135

Найти интегралы. Найти интеграл $\int \frac{\sin 2x\, dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$ .

Задача 3136

Найти интеграл $\int \frac{\cos 2x\, dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$ .

Задача 3137

Найти интеграл $\int \frac{\sin 2x}{\cos^{3}x}\, dx$ .

Задача 3138

Найти интеграл $\int \frac{\sin 3x}{\cos x}\, dx$ .

Задача 3139

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{2}x}{\sin x\cos 3x}\, dx$ .

Задача 3140

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{2}x}{\sin 4x}\, dx$ .

Задача 3141

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{4}x}{\sin 6x}\, dx$ .

Задача 3142

Найти интеграл $\int \frac{\cos 2x}{\sin^{4}x}\, dx$ .

Задача 3143

Найти интеграл $\int \frac{\cos 2x}{\sin^{6}x}\, dx$ .

Задача 3144

Найти интеграл $\int \frac{\cos 3x}{\cos^{4}x}\, dx$ .

Задача 3145

Найти интеграл $\int \frac{\cos 3x}{\sin^{5}x}\, dx$ .

Задача 3146

Найти интеграл $\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}\, dx$ .

Задача 3147

Найти интеграл $\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\, dx$ .

Задача 3148

Найти интеграл $\int \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{\sin 2x}}\, dx$ .

Замечание. Здесь полезна подстановка $\frac{\pi }{4}-x=t$ .

Задача 3149

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a+b\cos x}$ при $a^{2}>b^{2}$ и при $a^{2}<b^{2}$ .

Задача 3150

Следующие интегралы содержат гиперболические функции. В этих примерах их удобно выразить через показательные функции. Найти интеграл $\int \frac{x+\sh x}{\ch x-\sh x}\, dx$ .

Задача 3151

Найти интеграл $\int \frac{\ch^{3}x-\sh^{3}x}{\ch^{3}x+\sh^{3}x}\, dx$ .

Задача 3152

Найти интеграл $\int \sqrt{\th x}\, dx$ .

Задача 3153

Найти интеграл $\int \frac{\th x}{\sqrt{1-\th x}}\, dx$ .

Задача 3154

Найти интеграл $\int (\ch x+\sh x)\sqrt{\ch x-\sh x}\, dx$ .

Задача 3155

В дальнейших примерах удобнее не выражать гиперболические функции через показательные. Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1-\ch x)^{2}}$ .

Задача 3156

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1+\ch^{2}x)^{2}}$ .

Задача 3157

Найти интеграл $\int \frac{\ch^{3}x\, dx}{1-\th x}$ .

Задача 3158

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1-\sh^{4}x}$ .

Задача 3159

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sh^{3}x}$ .

Задача 3160

Найти интеграл $\int \frac{\sh^{3}x\, dx}{\sqrt{\ch x}}$ .

Задача 3161

Найти интеграл $\int \th^{3}x\, dx$ .

Задача 3162

Найти интеграл $\int \ch x\ch 2x\ch 3x\, dx$ .

7.5 · Разные задачи[94/100%]

Задача 3163

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\, dx$ .

Задача 3164

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x-1)^{3}(x-2)^{2}}$ .

Задача 3165

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{(x-1)^{2}(x^{2}-1)}$ .

Задача 3166

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{(x-a)(x-b)(x-c)}$ .

Задача 3167

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{5}+2x^{3}+3x^{2}}$ .

Задача 3168

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{4}-x^{2}+1}\, dx$ .

Задача 3169

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}(1-x^{2})\, dx}{(1+x^{2})^{3}}$ .

Задача 3170

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x^{2}-2}$ .

Задача 3171

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+2x+2)^{2}}$ .

Задача 3172

Найти интеграл $\int \frac{x^{9}\, dx}{(x^{2}-1)^{3}}$ .

Задача 3173

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+3x}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)^{2}}\, dx$ .

Задача 3174

Найти интеграл $\int x\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\, dx$ .

Задача 3175

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{1+\sqrt{x-1}}$ .

Задача 3176

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}}$ .

Задача 3177

Найти интеграл $\int \frac{x+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}\, dx$ .

Задача 3178

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{\sqrt{2ax-x^{2}}}$ .

Задача 3179

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(a+bx)^{\frac{3}{2}}}$ .

Задача 3180

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}(a+bx^{2})^{\frac{3}{2}}}$ .

Задача 3181

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}\sqrt{x-1}}$ .

Задача 3182

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{\frac{3}{4}}\left(1+x^{\frac{1}{3}}\right)}$ .

Задача 3183

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{ax+bx^{4}}}$ .

Задача 3184

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 3185

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1-\sqrt{1-x^{2}})^{2}}$ .

Задача 3186

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x-x^{2}}}$ .

Задача 3187

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(2x-1)\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 3188

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(1+x^{2})^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 3189

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 3190

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{a+bx^{2}}}{x^{6}}\, dx$ .

Задача 3191

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-x}}$ .

Задача 3192

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 3193

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 3194

Найти интеграл $\int \frac{(2-x^{3})\, dx}{(1+x^{3})\sqrt{1+x^{3}}}$ .

Задача 3195

Найти интеграл $\int \frac{x+1}{x-2}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{3}}}$ .

Задача 3196

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}-x^{4}}}$ .

Задача 3197

Найти интеграл $\int x\sqrt{\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}}\, dx$ .

Задача 3198

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}-a^{2})\, dx}{x\sqrt{a^{4}+x^{4}}}$ .

Задача 3199

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1+x^{4})\sqrt{\sqrt{1+x^{4}}-x^{2}}}$ .

Задача 3200

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)(2-3x+x^{3})}}$ .

Задача 3201

Найти интеграл $\int \frac{3x^{2}+5x^{6}}{\sqrt{1+x^{4}}}\, dx$ .

Задача 3202

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2k-2}x^{2k}}}$ .

Задача 3203

Найти интеграл $\int \frac{(x^{4}-a^{4})\, dx}{(x^{4}+a^{4})\sqrt{x^{4}+a^{4}}}$ .

Задача 3204

Найти интеграл $\int \frac{1+x^{2}}{1-2x^{2}\cos \alpha +x^{4}}\, dx$ .

Задача 3205

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{(x\sin x+\cos x)^{2}}$ .

Задача 3206

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{(\sin x-x\cos x)^{2}}$ .

Задача 3207

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(a+(ax+b)\tg x)^{2}}$ .

Задача 3208

Найти интеграл $\int \frac{a+x}{x^{2}+ax\ln x}\, dx$ .

Задача 3209

Найти интеграл $\int \frac{1-\ln x}{(x+a\ln x)^{2}}\, dx$ .

Задача 3210

Найти интеграл $\int \frac{1+x\ln x}{x}e^{x}\, dx$ .

Задача 3211

Найти интеграл $\int \left(\frac{1-x}{1+x^{2}}\right)^{2}e^{x}\, dx$ .

Задача 3212

Найти интеграл $\int \frac{1+x^{2}}{(1+x)^{2}}e^{x}\, dx$ .

Задача 3213

Найти интеграл $\int e^{\arctg x}(1+2x)\, dx$ .

Задача 3214

Найти интеграл $\int e^{\sqrt{x}}x\, dx$ .

Задача 3215

Найти интеграл $\int \frac{xe^{x}}{(e^{x}-1)^{3}}\, dx$ .

Задача 3216

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos x-2\tg x}$ .

Задача 3217

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{4}x\cos x}$ .

Задача 3218

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1-\cos^{4}x}$ .

Задача 3219

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x\cos^{2}x}$ .

Задача 3220

Найти интеграл $\int \frac{\ln \tg x\, dx}{\cos^{4}x}$ .

Задача 3221

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{2}x\, dx}{\sin x(1+a^{2}\cos^{2}x)}$ .

Задача 3222

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{2}x\, dx}{3+\sin x}$ .

Задача 3223

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x\sqrt{\cos 2x}}$ .

Задача 3224

Найти интеграл $\int \tg x\sqrt{\cos 2x}\, dx$ .

Задача 3225

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2+3\sin x+\sin^{2}x}}$ .

Задача 3226

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{\sin x}}{1+\sin^{2}x}\, dx$ .

Задача 3227

Найти интеграл $\int (b^{2}-a^{2}\tg^{2}x)^{\frac{3}{2}}\, dx$ .

Задача 3228

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos x\sqrt{\cos 2x}}$ .

Задача 3229

Найти интеграл $\int \arctg \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 3230

Найти интеграл $\int \frac{\arctg x}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$ .

Задача 3231

Найти интеграл $\int e^{a\cdot \arctg x}\frac{x\, dx}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}$ .

Задача 3232

Найти интеграл $\int e^{\sin x}\sin 2x\, dx$ .

Задача 3233

Найти интеграл $\int e^{x}\sin^{2}x\, dx$ .

Задача 3234

Найти интеграл $\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}\, dx$ .

Задача 3235

Найти интеграл $\int \frac{(x+1)\ln (x+1)}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\, dx$ .

Задача 3236

Найти интеграл $\int \ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\, dx$ .

Задача 3237

Найти интеграл $\int \frac{dx}{2^{x}+1}$ .

Задача 3238

Найти интеграл $\int \frac{x+1}{2^{x}}\, dx$ .

Задача 3239

Найти интеграл $\int \frac{\sin x\, dx}{\sqrt{\cos^{3}2x}}$ .

Задача 3240

Найти интеграл $\int \frac{\cos x\, dx}{\sqrt{\cos^{3}2x}}$ .

Задача 3241

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x\sqrt[4]{\cos 2x}}$ .

Задача 3242

Найти интеграл $\int \sin^{n-1}x\cos (n+1)x\, dx$ .

Задача 3243

Найти интеграл $\int \sin^{n-1}x\sin (n+1)x\, dx$ .

Задача 3244

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a+b\cos x+c\sin x}$ .

Задача 3245

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{\ctg x}-\sqrt{\tg x}}{1+3\sin 2x}\, dx$ .

Задача 3246

Найти интеграл $\int x^{\sqrt{2}}\sin \ln x\, dx$ .

Задача 3247

Найти интеграл $\int \frac{\ln (\cos \varphi +\sqrt{\cos 2\varphi })}{1-\cos^{2}\varphi }\, d\varphi$ .

Задача 3248

Найти интеграл $\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^{x}\, dx$ .

Задача 3249

Найти интеграл $\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin^{2}x}e^{x}\, dx$ .

Задача 3250

Найти интеграл $\int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha )}\, dx$ .

Задача 3251

Найти интеграл $\int \frac{a\sin x+b\cos x}{\sqrt{1+\sin x\cos x}}\, dx$ .

Задача 3252

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos x\cos (x-\alpha )}$ .

Задача 3253

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{a+b+(a+2b)\cos x+b\cos 2x}}$ .

Задача 3254

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{3}x+\sin^{3}x}$ .

Задача 3255

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{5}x-\sin^{5}x}$ .

Задача 3256

Найти интеграл $\int x^{2}\sin^{3}x\, dx$ .