Интегрирование трансцендентных функций

Интегралы, содержащие функции $\ln \varphi$, $\arctg \varphi$, $\arcsin \varphi$, где $\varphi$ --- некоторая алгебраическая функция от $x$, нередко интегрируют по частям, полагая $u=\ln \varphi$, $u=\arctg \varphi$, $u=\arcsin \varphi$. Этим способом находится интеграл $\int \ln x\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\ln x}{(2x+5)^{3}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \ln (1+x^{2})\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\ln (x-1)}{(x+1)^{3}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\ln (x^{2}-x+1)}{x^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x\ln x}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})\, dx$.

Найти интеграл $\int \ln (x+\sqrt{1+x^{2}})\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\ln \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \arctg x\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{6}\arctg x\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{7}\arctg x\, dx$.

Найти интеграл $\int \arcsin x\, dx$.

Найти интеграл $\int x\arcsin x\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\arcsin x}{x^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x\arcsin x\, dx}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}$.

Интегралы, содержащие произведение полинома на одну из функций $e^{ax}$, $\cos ax$, $\sin bx$, лучше всего берутся по формуле многократного интегрирования по частям, которой можно придать такой вид:

Если $u$ --- полином степени $m$, то последний член обращается в нуль.

Доказать равенства, в которых $f(x)$ --- полином степени $m$:

Доказать равенство

Доказать равенство

Найти интеграл $\int x^{4}e^{-x}\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{5}\cos x\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{3}\sin (2x+3)\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{4}\sin x\, dx$.

Найти интеграл $\int (x^{3}-2x^{2}+5)e^{3x}\, dx$.

Найти интеграл $\int (x^{2}+3x+5)\cos 2x\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{3}e^{5x}\, dx$.

Найти интеграл $\int (x^{3}-x^{2}+x)\sin x\, dx$.

Следующие интегралы, содержащие показательные функции, находятся интегрированием по частям, а также и простыми подстановками. Найти интеграл $\int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{e^{x}+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+e^{x}+1}}$.

Найти интеграл $\int x^{5}e^{-x^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int x(x^{2}+1)e^{-x^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{xe^{x}}{(x+1)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}+3x+3}{x^{4}}e^{-x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}-2x-2}{(x^{2}+x)^{2}}e^{x}\, dx$.

Следующие интегралы удобнее всего находить, пользуясь тем, что формулы интегрирования для функций, содержащих $e^{ax}$, остаются в силе и для комплексных значений $a$. Отделив вещественную и мнимую части, получим равенства с вещественными интегралами. Этим путем находится интеграл $\int e^{ax}\cos bx\, dx$.

Найти интеграл $\int e^{ax}\sin bx\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{2}\sin x\, e^{x}\, dx$.

Найти интеграл $\int x^{2}\cos x\, e^{x}\, dx$.

Ряд дальнейших интегралов относится к типу $\int f(\cos x, \sin x)\, dx$, где $f(u,v)$ --- рациональная функция. Здесь полезно иметь в виду три правила: 1) если $f(\cos x, \sin x)$ умножается на $-1$ от перемены знака перед одной из величин $\cos x$ или $\sin x$, то полезно другую из них обозначить через $t$; 2) если $f(\cos x, \sin x)$ не меняется от перемены знака одновременно перед $\cos x$ и $\sin x$, то полезно положить $\tg x=t$ или $\ctg x=t$; 3) подстановка $\tg \frac{x}{2}=t$ во всех случаях обращает интеграл рассматриваемого типа в интеграл от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Найти интеграл $\int \sin^{3}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \sin^{3}x\cos^{4}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{4}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{2}x\cos^{4}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{3}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{5}x}$.

Найти интеграл $\int \tg^{6}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \ctg^{3}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\cos^{4}x}$.

Найти интеграл $\int \sin^{7}x\cos^{6}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{5}x}{\sin^{3}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{5}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x\cos^{3}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin^{4}x\cos^{4}x}$.

Для интегралов $U_{m,n}=\int \sin^{m}x\cos^{n}x\, dx$ существуют формулы приведения, позволяющие сводить интегралы к другим, у которых значки $m$ и $n$ ближе к нулю. Эти формулы сводятся к четырем основным:

Обозначая через $U_{n}$ интеграл $U_{0,n}$ и через $V_{m}$ --- интеграл $U_{m,0}$ получаем отсюда еще две формулы приведения для интегралов $U_{n}=\int \cos^{n}x\, dx$ и $V_{m}=\int \sin^{m}x\, dx$:

Пользуясь формулами приведения, найти интеграл $\int \sin^{4}x\cos^{2}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \sin^{6}x\cos^{4}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \sin^{2}x\cos^{6}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \sin^{4}x\cos^{6}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \sin^{6}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \sin^{8}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{8}x}{\sin^{2}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\sin^{10}x}{\cos^{4}x}\, dx$.

В дальнейшем приводится ряд интегралов от тригонометрических функций, находимых разными приемами. Найти интеграл $\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx$, сравнив числитель с производной от знаменателя.

Найти интеграл $\int \frac{3\cos x+7\sin x}{5\cos x+2\sin x}\, dx$, представив числитель в виде $Au+Bu'$, где $u=5\cos x+2\sin x$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}$, приведя знаменатель к логарифмическому виду.

Применить такой же прием к интегралу $\int \frac{dx}{a\sin x+b\cos x}$.

Найти интеграл $\int \sqrt{1+\sin x}\, dx$, пользуясь тем, что $1=\cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}$.

Подстановкой $\tg x=t$ найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{\sin^{3}x\cos^{5}x}}$.

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{\sin^{3}x}{\cos^{7}x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}$.

Найти интеграл $\int \sqrt{\tg x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1+\tg x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{4+3\tg x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{1+\tg^{2}x}{(4+\tg^{2}x)\tg^{3}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{1+\tg x}{\sin 2x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{2+3\cos^{2}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sin^{2}x\cos^{2}x}{(\cos^{3}x+\sin^{3}x)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a^{2}-b^{2}\sin^{2}x}$; $a^{2}\neq b^{2}$.

Найти интеграл $\int \frac{2\sqrt{\tg x-1}}{(1+\cos 2x)\sqrt{1+\tg x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos x\, dx}{\sin^{3}x-\cos^{3}x}$.

Найти интегралы. Найти интеграл $\int \frac{\sin 2x\, dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos 2x\, dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sin 2x}{\cos^{3}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\sin 3x}{\cos x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{2}x}{\sin x\cos 3x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{2}x}{\sin 4x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos^{4}x}{\sin 6x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos 2x}{\sin^{4}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos 2x}{\sin^{6}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos 3x}{\cos^{4}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos 3x}{\sin^{5}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{\sin 2x}}\, dx$.

Замечание. Здесь полезна подстановка $\frac{\pi }{4}-x=t$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{a+b\cos x}$ при $a^{2}>b^{2}$ и при $a^{2}<b^{2}$.

Следующие интегралы содержат гиперболические функции. В этих примерах их удобно выразить через показательные функции. Найти интеграл $\int \frac{x+\sh x}{\ch x-\sh x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\ch^{3}x-\sh^{3}x}{\ch^{3}x+\sh^{3}x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \sqrt{\th x}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\th x}{\sqrt{1-\th x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int (\ch x+\sh x)\sqrt{\ch x-\sh x}\, dx$.

В дальнейших примерах удобнее не выражать гиперболические функции через показательные. Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1-\ch x)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(1+\ch^{2}x)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{\ch^{3}x\, dx}{1-\th x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1-\sh^{4}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sh^{3}x}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sh^{3}x\, dx}{\sqrt{\ch x}}$.

Найти интеграл $\int \th^{3}x\, dx$.

Найти интеграл $\int \ch x\ch 2x\ch 3x\, dx$.