Интегрирование рациональных функций

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{2}-3x+2}$, пользуясь тождеством

Найти интеграл $\int \frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}\, dx$, пользуясь тождеством

в котором коэффициенты $A$ и $B$ легко находятся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $x$ после освобождения от знаменателя.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}-1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{3}-1}$.

Найти интеграл $\int \frac{2x^{2}+4}{x^{3}-x^{2}+x-1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}(x-1)}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x+a)(x^{2}+b^{2})}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-x+2}{x^{4}-5x^{2}+4}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}+1}{x^{6}+x^{4}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+x^{2}+2}{x(x^{2}-1)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}-2x^{2}+4}{x^{3}(x-2)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}-1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{x^{3}+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{9x^{2}-14x+1}{x^{3}-2x^{2}-x+2}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}+2x-3}$.

В следующих интегралах для разложения знаменателя на множители удобно прибавить и вычесть слагаемое $ax^{2}$, где $a$ --- соответственно подобранный коэффициент. Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x^{2}+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+2)\, dx}{x^{4}+x^{2}+4}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}+x^{2}+1}$.

Если знаменатели разлагаются на простые множители первой степени, то при разложении дроби на простейшие удобна формула

где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ --- корни полинома $\psi (x)$. Если среди корней есть пара комплексных сопряженных, то в сумме, стоящей в правой части, два соответствующих слагаемых можно заменить одной величиной:

Здесь $\bar{a}=\alpha -\beta i$ --- число комплексно сопряженное с $a=\alpha +\beta i$.

Найти интеграл $\int \frac{6\, dx}{x(x-1)(x-2)(x-3)}$.

Найти интеграл $\int \frac{24\, dx}{x(x^{2}-1)(x^{2}-4)}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2n}+1}$.

Следующие интегралы сводятся к интегралам предыдущих типов после выделения целой части в подынтегральной дроби. Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{2}+3}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{x^{2}-1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{x^{2}+x+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{x^{2}-3x+2}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}+16}{x^{4}-4}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{(x^{2}-1)^{2}}$.

Пользуясь тождеством $4a(ax^{2}+bx+c)-(2ax+b)^{2}=4ac-b^{2}$ и интегрируя по частям интеграл $\int \frac{(2ax+b)^{2}\, dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$, можно доказать формулу приведения

где $u_{n}=\int \frac{dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$.

Следующие интегралы найти с помощью формулы приведения. Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+x+1)^{3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-3x+3)^{2}}$.

Доказать равенство

Доказать равенство

Найти интегралы. Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{(x^{2}+3)^{3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{(x^{2}-5)^{4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{(x^{2}+4)^{4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{(x^{2}-3)^{3}}$.

В следующих задачах подынтегральная функция имеет вид $x^{m}(ax^{n}+b)^{-p}$. В них полезна подстановка $x^{\sigma }=t$, где $\sigma$ --- наибольший общий делитель чисел $m+1$ и $n$. Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{x^{4}+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x^{8}+4)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{x^{8}+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{(x^{12}+1)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x(x^{3}+4)}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{(x^{2}+2)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+1}{x(x^{3}-8)}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{8}-1}{x(x^{8}+1)}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x(x^{6}+1)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{x^{12}-1}$.

В следующих задачах интеграл находится после того, как знаменатель разлагается на множители. Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+4x^{2}+6x}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+2}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{2x^{2}+x+4}{x^{4}+x^{3}+2x^{2}-x+3}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{4x^{3}-x^{2}+10x+5}{x^{4}-x^{3}+4x^{2}+3x+5}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{4x^{3}-17x^{2}+28x-15}{x^{4}-7x^{3}+20x^{2}-27x+15}\, dx$.

Найти алгебраическую часть в интегралах. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x(x^{3}+1)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{2-3x+x^{2}}{(x+1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{4x^{5}-1}{(x^{5}+x+1)^{2}}\, dx$.

Ряд дальнейших задач решается разными специальными приемами, позволяющими избежать разложения дроби на простейшие. Дробно-линейная подстановка вида $\frac{x-a}{x-b}=t$ позволяет удобно найти интеграл $\int \frac{dx}{(x+1)^{2}(x-2)^{3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-x)^{3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x-1)^{2}(x^{2}-1)^{3}}$.

Подстановки вида $x+\frac{1}{x}=u$ и $x-\frac{1}{x}=v$ позволяют с легкостью найти следующие интегралы, содержащие возвратные полиномы и множитель $x^{2}-1$ или $x^{2}+1$. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+3x+1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\frac{dx}{x^{2}+x+1}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}-2x+1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{4}+x^{2}+1}$, воспользовавшись тождествами

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}\, dx$, вычтя и прибавив в числителе величину $x^{2}$.

Найти интеграл $A=\int \frac{dx}{x^{4}+1}$, введя вспомогательный интеграл $B=\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+1}$ и заметив, что интегралы $A+B$ и $A-B$ берутся с легкостью после подстановок $x-\frac{1}{x}=u$ и $x+\frac{1}{x}=v$.

Найти величину интеграла $A=\int \frac{dx}{x^{6}+1}$, введя в рассмотрение интеграл $B=\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{6}+1}$.

Найти интегралы $C=\int \frac{x^{2}\, dx}{x^{8}+1}$ и $D=\int \frac{x^{4}\, dx}{x^{8}+1}$.