Интегрирование иррациональных функций

Если в подынтегральной функции содержится корень какой-нибудь степени из дробно-линейной функции $\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }$, то от этой иррациональности можно избавиться подстановкой $\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }=t^{n}$, где $n$ --- соответственно выбранный показатель. С помощью этого приема найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{2x-1}-\sqrt[3]{2x-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(3x-1)\sqrt{3x-1}}$.

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{dx}{x}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt{x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{2+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}+1}\, dx$.

Следующие четыре интеграла, хотя и иного типа, но тоже находятся подстановкой вида $\frac{x-a}{x-b}=t^{n}$. Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^{3}(x-2)}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{7}(x+1)^{2}}}$.

Близкими приемами находятся и следующие три интеграла. Найти интеграл $\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \sqrt[3]{\frac{(x+1)^{5}}{(x-1)^{2}}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(\sqrt{x+2}+1)\sqrt{\sqrt{x+2}-1}}$.

Следующие интегралы имеют вид $\int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}\, dx$, где $m$, $n$ и $p$ --- рациональные числа. Они сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях: 1) если $p$ --- целое, хотя бы и отрицательное (подстановка $x=t^{N}$, где $N$ --- общий знаменатель дробей $m$ и $n$); 2) если $\frac{m+1}{n}$ --- целое (подстановка $ax^{n}+b=t^{M}$, где $M$ --- знаменатель числа $p$); 3) если $\frac{m+1}{n}+p$ --- целое (подстановка $a+bx^{-n}=t^{M}$, где $M$ --- знаменатель числа $p$). Если ни одно из трех чисел $p$, $\frac{m+1}{n}$ и $\frac{m+1}{n}+p$ не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

Вычислить интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt[3]{x}+1)^{2}}$.

Вычислить интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^{2}}(\sqrt[3]{x}+1)^{3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt[3]{x}\, dx}{\sqrt[3]{\sqrt{x}+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{7}\, dx}{\sqrt{x^{2}-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{5}\, dx}{\sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2}}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{6}\sqrt{x^{2}-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt[3]{1+x^{5}}}$.

Найти интеграл $\int x^{7}\sqrt{1+x^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^{3}}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}$.

Найти интеграл $\int \sqrt[3]{x-x^{3}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{x^{6}-1}}$.

Следующие интегралы решаются приемом, подобным применяемому в третьем случае предыдущего типа. Найти интеграл $\int \frac{dx}{(5x^{3}+3)\sqrt[3]{4x^{3}+3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{4}+3)\sqrt[3]{2x^{4}+1}}$.

Во многих случаях при нахождении интегралов от дифференциальных биномов, т.е. интегралов вида $u_{m,p}=\int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}\, dx$, бывает полезно сначала свести интеграл к другому, у которого величины $m$ и $p$ имеют более удобные значения. Это можно сделать с помощью формул приведения. Главнейшие из них имеют такой вид:

С помощью формул приведения найти интеграл $\int \frac{x^{6}\, dx}{\sqrt{x^{2}+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{8}\, dx}{\sqrt{x^{2}-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{7}\sqrt{x^{4}+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}\sqrt{x^{2}+1}}$.

Найти интеграл $\int (x^{2}-1)^{2}\sqrt{x^{2}-1}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{9}\, dx}{\sqrt[3]{x^{3}+1}}$.

В большом количестве дальнейших задач даны интегралы, содержащие корень квадратный из квадратного полинома. Все они могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:

где $x_{1}$ --- корень полинома $ax^{2}+bx+c$.

Однако в большинстве случаев подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. Для их применения следует ознакомиться с тремя основными типами изучаемых интегралов.

I. Интегралы вида $\int \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$, где $f(x)$ --- полином. В большинстве случаев удобен метод неопределенных коэффициентов. При этом пишем предположительное тождество

Вычисляя производную от обеих частей равенства, получаем

Освобождаясь от знаменателя, получим в обеих частях равенства полиномы степени $n$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получим уравнения, из которых коэффициенты $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ находятся один за другим.

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+1)\, dx}{\sqrt{-x^{2}+3x-2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{-x^{2}+x+4}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{\sqrt{x^{2}+2x-1}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}-x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{4}\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

Найти интеграл $\int x^{2}\sqrt{x^{2}+2}\, dx$.

Предыдущие задачи содержали интегралы вида $\int \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$, где $f(x)$ --- полином. Чтобы иметь возможность интегрировать самый общий интеграл вида $\int f(x,y)\, dx$, где $f(x,y)$ --- рациональная функция от $x$ и $y$, а $y=\sqrt{ax^{2}+bx+c}$, важно уметь находить интегралы еще двух видов, которые мы обозначим цифрами II и III.

II. Интегралы вида $\int \frac{f_{m}(x)\, dx}{(x-\alpha )^{n}\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$, где $f_{m}(x)$ --- полином степени $m$, меньшей, чем $n$. Эти интегралы сводятся к интегралам предыдущего класса подстановкой $x-\alpha =\frac{1}{t}$. Если степени полинома $f_{m}(x)$ не меньше, чем $n$, то у дроби $\frac{f_{m}(x)}{(x-\alpha )^{n}}$ следует выделить целую часть.

С помощью этих методов найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x^{3}\sqrt{2x^{2}+2x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}+x-1}{(x-1)\sqrt{x^{2}+2x-1}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}+2x+4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{x^{2}+2x+4}}{(x-1)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x-1)^{2}\sqrt{x^{2}+1}}$.

III. Третий и наиболее сложный тип представляют интегралы

где корни трехчлена $x^{2}+px+q$ мнимые. Если $p=b=0$, то

Здесь первый интеграл находится подстановкой $ax^{2}+c=u^{2}$, а второй --- подстановкой $a+cx^{-2}=v^{2}$. В общем случае интеграл $I$ сводится к этому простейшему подстановкой $x=\frac{\alpha t+\beta }{t+1}$. При этом получается

где $f_{n}(t)$ --- полином степени $n$, а коэффициенты $B$ и $B_{1}$ имеют такие значения:

Полагая $B=0$, $B_{1}=0$, получим уравнения, дающие для $\alpha$ и $\beta$ вещественные значения при вещественных $p, q, a, b, c$, если хотя бы один из полиномов имеет мнимые корни. При таком выборе чисел $\alpha$ и $\beta$ интеграл $I$ распадается на сумму интегралов двух видов:

которые интегрируются соответственно подстановками:

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}-x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{(x+3)\, dx}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{(2x+3)\, dx}{(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}+2x+4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}+x+2)\sqrt{4x^{2}+4x+3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{(2x+1)\, dx}{(3x^{2}+4x+4)\sqrt{x^{2}+6x-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(3x^{2}+2x+3)\sqrt{4x^{2}-2x+4}}$.

Самый общий интеграл вида $\int f(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})\, dx$, где $f(x,y)$ --- рациональная функция от $x$ и $y$, сводится к интегралам трех предыдущих видов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать функцию $f(x,y)$ к виду $\varphi (x)+\psi (x)y$, где $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ --- рациональные функции от $x$. При этом $\psi (x)y=\frac{\psi (x)y^{2}}{y}=\frac{\psi (x)(ax^{2}+bx+c)}{y}=\frac{\omega (x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$. Таким образом, дело сводится к нахождению интеграла от рациональной функции $\varphi (x)$ и $\frac{\omega (x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$, где $\omega (x)$ --- рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь $\omega (x)$ можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получатся интегралы трех рассмотренных типов. В простых случаях часть этих преобразований отпадает.

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{a-x}{x-b}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}+2}\, dx$.

Найти интеграл $\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x-\sqrt{x^{2}-1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{(x-1)^{2}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{x-\sqrt{x^{2}-x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}\, dx}{2x+1+2\sqrt{x^{2}+x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x^{2}+2x+2}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{3}\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}+2x+4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{3}-x)\sqrt{x^{2}+x+4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}+2x+4}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+x-2)\sqrt{x^{2}+2x+3}}$.

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+1)\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-2x-1}}$.

Подстановкой Абеля иногда называют подстановку $\frac{2ax+b}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}=u$, удобную при нахождении интеграла от функции $(ax^{2}+bx+c)^{-n-\frac{1}{2}}$, где $n$ --- целое число.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{(2x-x^{2})^{3}}}$.

Найти интеграл $\int \frac{dx}{(x^{2}+x+1)^{2}\sqrt{x^{2}+x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{(3x+2)\, dx}{(x^{2}+4x+1)^{2}\sqrt{x^{2}+4x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{(x^{3}+1)\, dx}{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$.

Интегралы $\int f(x,y)\, dx$, где $f(x,y)$ --- рациональная функция, а $y=\sqrt{Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E}$, называемые эллиптическими, вообще говоря не интегрируются в конечном виде, если нет особых соотношений между коэффициентами функции $f(x,y)$ или полинома $Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E$.

В следующих примерах с возвратными полиномами одна из подстановок $x+\frac{1}{x}=u$ или $x-\frac{1}{x}=v$ позволяет сравнительно просто получить интеграл. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\frac{dx}{\sqrt{x^{4}+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\frac{dx}{\sqrt{x^{4}+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-1}{x\sqrt{1+3x^{2}+x^{4}}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{(x^{2}+1)\, dx}{x\sqrt{x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-3x+1}}$.

Найти интеграл $\int \frac{\sqrt{1+x^{4}}}{1-x^{4}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{x+1}{x-1}\frac{dx}{\sqrt{x(x^{2}+x+1)}}$.

Теорема (Абеля). Пусть $y$ --- алгебраическая функция от $x$ степени $n$, т.е. $y$ удовлетворяет уравнению $\varphi (x,y)=0$, где $\varphi (x,y)$ --- полином относительно $x$ и $y$ степени $n$ относительно $y$. Если интеграл $\int f(x,y)\, dx$ от функции $f(x,y)$, рациональной относительно $x$ и $y$, может быть выражен через алгебраические функции, то должно выполняться равенство

где $p_{0}(x), p_{1}(x), \ldots , p_{n-1}(x)$ --- рациональные функции от $x$.

Следствие. Если $y=\sqrt[m]{\varphi (x)}$, где $\varphi (x)$ --- полином степени $n$, и если интеграл $\int \frac{a_{0}x^{\lambda }+a_{1}x^{\lambda -1}+\ldots +a_{\lambda }}{y^{k}}\, dx$ выражается алгебраической функцией, то он должен равняться $f(x)y^{m-k}$, где $f(x)$ --- полином степени $\lambda =n+1$.

Найти следующие алгебраические интегралы. Найти интеграл $\int \frac{3x^{4}+2x^{3}+8x^{2}+6x+2}{\sqrt[3]{(x^{3}+3x+1)^{2}}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{5x^{5}+11x^{3}+3x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3}+3x+1}}\, dx$.

Найти интеграл $\int \frac{5x^{7}+17x^{4}+4x^{3}}{\sqrt[4]{(x^{4}+4x+1)^{3}}}\, dx$.