Глава 12

Ряды

[233/22%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

12.1 · Исследование сходимости рядов[48/67%]

Задача 4955

Если $\left|u_{n}\right| < \frac{c}{n^{a}}$ , где $c$ — постоянная, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ сходится при $a > 1$ .

Задача 4956

Если $u_{n} > \frac{c}{n^{a}}$ , где $c > 0$ — постоянная, $a \leqslant 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ расходится.

Задача 4957

Если $\left|u_{n}\right| < \frac{c}{n(\ln n)^{a}}$ , где $a > 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ сходится, а если $\left|u_{n}\right| > \frac{c}{n(\ln n)^{a}}$ , где $a \leqslant 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ расходится.

Задача 4958

Обозначим $\ln \ln n = \ln_{2} n$ , $\ln \ln \ln n = \ln_{3} n$ , , тогда ряд $\sum u_{n}$ сходится, если

\left|u_{n}\right| < \frac{c}{n \ln n \ln _{2} n \ldots \ln _{m-1} n(\ln _{m} n)^{a}}, \quad a > 1,

и расходится, если

u_{n} > \frac{c}{n \ln n \ln _{2} n \ldots \ln _{m-1} n(\ln _{m} n)^{a}}, \quad a \leqslant 1.

Задача 4959

Признак Ермакова. Пусть $f(x)$ есть положительная и убывающая функция при $x > x_{0}$ . Если при тех же $x$ имеется неравенство

\frac{e^{x} f(e^{x})}{f(x)} \leqslant \lambda ,

где $\lambda < 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ сходится, где $u_{n} = f(n)$ . Если при тех же условиях $\frac{e^{x} f(e^{x})}{f(x)} \geqslant 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ расходится. Доказать это утверждение.

Задача 4960

Теорема Куммера. Если для данного ряда положительных чисел $\sum u_{n}$ можно найти такую последовательность положительных чисел $c_{n}$ , что при всех $n$ имеем $c_{n} u_{n} - c_{n+1} u_{n+1} > \rho u_{n+1}$ , где $\rho > 0$ — постоянная, то ряд $\sum u_{n}$ сходится. Доказать эту теорему.

Задача 4961

Признак сходимости Куммера. Если члены ряда $\sum u_{n}$ положительны и можно найти такой ряд положительных чисел $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ , что при всех $n > n_{0}$ имеется неравенство:

c_{n} u_{n} - c_{n+1} u_{n+1} \geqslant a u_{n+1},

где $a > 0$ , то данный ряд сходится.

Если же при всех $n > n_{0}$ имеет место неравенство:

c_{n} u_{n} - c_{n+1} u_{n+1} \leqslant 0,

числа $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ положительны, а ряд $\sum \frac{1}{c_{n}}$ расходится, то ряд $\sum u_{n}$ тоже расходится. Доказать это утверждение.

Задача 4962

Признак Раабе. Если $u_{n} > 0$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}} - 1\right) > 1$ , то ряд сходится. Если тот же предел $< 1$ , то ряд расходится. Доказать это утверждение.

Задача 4963

Признак Бертрана для ряда $\sum u_{n}$ , где $u_{n} > 0$ и

\lim _{n \rightarrow \infty } \left(\left(n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}} - 1\right) - 1\right) \ln n\right) = A.

Если $A > 1$ , ряд сходится, а при $A < 1$ он расходится. Доказать это утверждение.

Задача 4964

Признак Гаусса для рядов $\sum u_{n}$ при $u_{n} > 0$ и

\frac{u_{n}}{u_{n+1}} = \lambda + \frac{\mu }{n} + \frac{\theta _{n}}{n^{2}},

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные, а $\theta_{n}$ — ограниченная.

Если $\lambda > 1$ — ряд сходится, если $\lambda < 1$ — расходится. При $\lambda = 1$ ряд сходится, если $\mu > 1$ , и расходится при $\mu \leqslant 1$ . Доказать это утверждение.

Задача 4965

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1}{x^{n}+1}$ , $x > 0$ .

Задача 4966

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{n}}{1+x^{2n}}$ .

Задача 4967

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{n}}{(1+x)(1+x^{2})\ldots (1+x^{n})}$ .

Задача 4968

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{2n}}{1+x^{2n+1}}$ .

Задача 4969

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!} x^{n}$ .

Задача 4970

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = n! \left(\frac{x}{n}\right)^{n}$ .

Задача 4971

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{n^{n}}{n!} x^{n}$ .

Задача 4972

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{n^{2}}}{n!}$ .

Задача 4973

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{\sqrt{n^{n}}}{n!} x^{n}$ .

Задача 4974

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{n!}{(x+1)(x+2)\ldots (x+n)}$ .

Задача 4975

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = n \frac{a(a+1)\ldots (a+n)}{b(b+1)\ldots (b+n)}$ ; $a > 0$ , $b > 0$ .

Задача 4976

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{(a+1)(2a+1)\ldots (na+1)}{(b+1)(2b+1)\ldots (nb+1)}$ ; $a \geqslant 0$ , $b \geqslant 0$ .

Задача 4977

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{\beta (\beta +1)\ldots (\beta +n-1)}{n!} \cdot \frac{1}{n^{\alpha }}$ ; $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ .

Задача 4978

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = (2-\sqrt{e})(2-\sqrt[3]{e})\ldots (2-\sqrt[n]{e})$ .

Задача 4979

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \ln \cos \frac{x}{n}$ .

Задача 4980

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ .

Задача 4981

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x \ln a}{n}\right)^{n}$ .

Задача 4982

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} + \sqrt{n-1}$ .

Задача 4983

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{1}{2n+1}$ .

Задача 4984

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ .

Задача 4985

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n}\right)^{a}$ .

Задача 4986

Исследовать сходимость гипергеометрического ряда:

F(\alpha , \beta , \gamma ; x) = 1 + \frac{\alpha \cdot \beta }{1 \cdot \gamma }x + \frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma +1)}x^{2} + \frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}x^{3} + \ldots

Задача 4987

Исследовать сходимость ряда $\sum u_{n}$ , если $u_{1} = 1$ , а

\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n}}{2}.

Задача 4988

Исследовать сходимость ряда:

\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \ldots

Задача 4989

Исследовать сходимость ряда $\sum u_{n}^{-1}$ , где $u_{n}$ — числа Фибоначчи: $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 2$ , $u_{3} = 3$ , $u_{4} = 5$ , , $u_{n+1} = u_{n}+u_{n-1}$ .

Задача 4990

Исследовать сходимость ряда $1 - \frac{1}{2^{a}} + \frac{1}{3^{a}} - \frac{1}{4^{a}} + \ldots$

Задача 4991

Исследовать сходимость ряда $1 + \frac{1}{2^{a}} - \frac{2}{3^{a}} + \frac{1}{4^{a}} + \frac{1}{5^{a}} - \frac{2}{6^{a}} + \ldots$

Задача 4992

Исследовать сходимость ряда $\sin x - \sin \sin x + \sin \sin \sin x - \ldots$

Задача 4993

Исследовать сходимость ряда $\frac{\sin x}{1} + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \ldots$

Задача 4994

Доказать, что ряд $\nu_{0}^{a}+\nu_{1}^{a}+\nu_{2}^{a}+\ldots$ , где $\nu_{0} = x$ , $\nu_{1} = \sin \nu_{0}$ , $\nu_{2} = \sin \nu_{1}$ , , сходится при $a > 2$ и расходится при $a \leqslant 2$ , если $x \neq 0$ , $\sin x \neq 0$ .

Задача 4995

$\nu_{1} = \operatorname {arctg} x$ , $\nu_{2} = \operatorname {arctg} \nu_{1}$ , $\nu_{3} = \operatorname {arctg} \nu_{2}$ , Исследовать сходимость ряда $\sum \nu_{m}^{a}$ при $a > 0$ .

Задача 4996

Если члены ряда $\sum_{-\infty }^{\infty } a_{n} x^{n}$ ограничены при $x = x_{0}$ и $x = x_{1}$ , $\left|x_{1}\right| > \left|x_{0}\right|$ , то ряд сходится при $\left|x_{0}\right| < \left|x\right| < \left|x_{1}\right|$ . Доказать это утверждение.

Задача 4997

Функция $f(t)$ называется выпуклой, если при любых $m > 0$ , $n > 0$ имеется неравенство:

f\left(\frac{mx_{1}+nx_{2}}{m+n}\right) \leqslant \frac{mf(x_{1})+nf(x_{2})}{m+n}.

Доказать, что сумма ряда $\sum_{-\infty }^{\infty } a_{n} x^{n}$ , сходящегося при $0 < x_{0} < x < x_{1}$ , где $a_{n} > 0$ , есть выпуклая функция от $t = \ln x$ .

Задача 4998

Доказать теорему Абеля: если $a_{n} > 0$ и $A_{n} = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$ , то ряд $\sum \frac{a_{n}}{A_{n}^{\sigma }}$ сходится при $\sigma > 1$ и расходится при $\sigma \leqslant 1$ .

Задача 4999

Так как среднее геометрическое положительных чисел не больше, чем их среднее арифметическое, то

\alpha _{n-1}\alpha _{n}^{p-1} \leqslant \frac{\alpha _{n-1}+(p-1)\alpha _{n}^{p}}{p}; \quad \alpha _{n-1} > 0; \quad \alpha _{n} > 0.

Пользуясь этим, доказать неравенство

\alpha _{n}^{p} - \frac{p}{p-1}\alpha _{n}^{p-1}a_{n} \leqslant \frac{1}{p-1}\left((n-1)\alpha _{n-1}^{p} - n\alpha _{n}^{p}\right),

где $n\alpha_{n} = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ , а числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ положительны.

Задача 5000

При тех же условиях, что и в задаче 4999 (числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ положительны, $n\alpha_{n} = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ , и установлено неравенство $\alpha_{n}^{p} - \frac{p}{p-1}\alpha_{n}^{p-1}a_{n} \leqslant \frac{1}{p-1}\left((n-1)\alpha_{n-1}^{p} - n\alpha_{n}^{p}\right)$ ), показать, что:

\sum _{n=1}^{m} \alpha _{n}^{p} < \frac{p}{p-1}\sum _{n=1}^{m} \alpha _{n}^{p-1}a_{n}.

Задача 5001

Если числа $a_{\nu }$ и $b_{\nu } > 0$ , $0 < \lambda < 1$ ; $\lambda +\mu = 1$ , то по неравенству Гёльдера

\sum _{\nu =1}^{m} a_{\nu } b_{\nu } \leqslant \left(\sum _{\nu =1}^{m} a_{\nu }^{\frac{1}{\lambda }}\right)^{\lambda } \cdot \left(\sum _{\nu =1}^{m} b_{\nu }^{\frac{1}{\mu }}\right)^{\mu }.

Пользуясь им и результатом задачи 5000, доказать неравенства Харди и Ландау:

\sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}\right)^{p} \leqslant \left(\frac{p}{p-1}\right)^{p} \sum _{n=1}^{\infty } a_{n}^{p},

где $a_{n} > 0$ , а ряд в правой части сходящийся.

Задача 5002

Доказать неравенство Карлемана:

\sum _{n=1}^{\infty } \sqrt[n]{u_{1}u_{2}\ldots u_{n}} \leqslant e\sum _{n=1}^{\infty } u_{n},

где $u_{n} > 0$ , а ряд в правой части сходится.

12.2 · Непосредственное суммирование конечных сумм и бесконечных рядов[78/8%]

Задача 5003

Если $u_{\nu } = v_{\nu +1} - v_{\nu }$ , то имеется тождество:

\sum _{\nu =0}^{n-1} u_{\nu } = v_{n} - v_{0}.

Это замечание и близкие подобные приемы дают решение следующих задач. Доказать тождество:

\sum _{\nu =1}^{n} \nu ^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Задача 5004

Доказать тождество $\sum_{\nu =1}^{n} \nu^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$ .

Задача 5005

Доказать тождество $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots +(2n-1)^{2} = \frac{4n^{3}-n}{3}$ .

Задача 5006

Доказать тождество $1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots +(2n-1)^{3} = 2n^{4}-n^{2}$ .

Задача 5007

Доказать тождество $\sum_{\nu =1}^{n-1} \nu^{2}(n-\nu )^{2} = \frac{n^{5}-n}{30}$ .

Задача 5008

Доказать тождество $1^{4}-2^{4}+3^{4}-\ldots +(-1)^{n-1}n^{4} = (-1)^{n-1}\frac{n^{4}+2n^{3}-n}{2}$ .

Задача 5009

Доказать тождество $s_{5}+s_{7} = 2s_{3}^{2}$ ; $s_{\nu } = 1^{\nu }+2^{\nu }+\ldots +n^{\nu }$ .

Задача 5010

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $1+\cos x+\cos 2x+\ldots +\cos (n-1)x$ .

Задача 5011

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\cos x+\cos 3x+\ldots +\cos (2n-1)x$ .

Задача 5012

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\sin x+\sin 2x+\ldots +\sin nx$ .

Задача 5013

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\sin x-\sin 2x+\ldots -\sin 2nx$ .

Задача 5014

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\sin^{2}x-\sin^{2}3x+\ldots +(-1)^{n-1}\sin^{2}(2n-1)x$ .

Задача 5015

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $x\sin a+x^{2}\sin 2a+\ldots +x^{n-1}\sin (n-1)a$ .

Задача 5016

Доказать равенство $x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+\ldots = \frac{x}{(1-x)^{2}}$ ; $\left|x\right| < 1$ .

Задача 5017

Доказать равенство $1-4x+9x^{2}-16x^{3}+\ldots = \frac{1-x}{(1+x)^{3}}$ ; $\left|x\right| < 1$ .

Задача 5018

Доказать тождество $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\ldots +\frac{1}{(a+n-1)(a+n)} = \frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}$ .

Задача 5019

Доказать тождество

\frac{1}{a(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)}+\ldots +\frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} =

= \frac{1}{2a(a+1)} - \frac{1}{2(a+n)(a+n-1)}.

Задача 5020

Доказать тождество

\frac{1}{a(a+p)}+\frac{1}{(a+1)(a+p+1)}+\ldots +\frac{1}{(a+n-1)(a+p+n-1)} =

= \frac{1}{p}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\ldots +\frac{1}{a+p-1}\right) - \frac{1}{p}\left(\frac{1}{a+n}+\frac{1}{a+n+1}+\ldots +\frac{1}{a+n+p-1}\right).

Задача 5021

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\ldots = \frac{1}{2}$ .

Задача 5022

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\ldots = \frac{1}{3}$ .

Задача 5023

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\ldots = \frac{11}{18}$ .

Задача 5024

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 7}+\frac{1}{3\cdot 9}+\frac{1}{5\cdot 11}+\ldots = \frac{23}{90}$ .

Задача 5025

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(2n-1)^{2}(2n+1)^{2}} = \frac{1}{8}$ .

Задача 5026

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = 1$ .

Задача 5027

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}$ .

Задача 5028

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\frac{1}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}+\frac{1}{5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}+\ldots = \frac{1}{90}$ .

Задача 5029

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} = \frac{5}{36}$ .

Задача 5030

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(4n^{2}-1)} = 2\ln 2 - 1$ .

Задача 5031

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}} = \frac{1}{8}$ .

Задача 5032

Пользуясь тождеством

\operatorname {arctg}\frac{b}{a+n-1} - \operatorname {arctg}\frac{b}{a+n} = \operatorname {arctg}\frac{b}{b^{2}+(a+n)(a+n-1)},

доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \operatorname {arctg}\frac{1}{2n^{2}} = \frac{\pi }{4}$ .

Задача 5033

Пользуясь тождеством

\operatorname {arctg}\frac{b}{a+n-1} - \operatorname {arctg}\frac{b}{a+n} = \operatorname {arctg}\frac{b}{b^{2}+(a+n)(a+n-1)},

доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \operatorname {arctg}\frac{1}{n^{2}+n+1} = \frac{\pi }{4}$ .

Задача 5034

Доказать при $\left|x\right| < 1$ равенство $(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8})\ldots = \frac{1}{1-x}$ .

Задача 5035

Доказать при $\left|x\right| < 1$ равенство $\frac{x}{1+x}+\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{4x^{4}}{1+x^{4}}+\ldots = \frac{x}{1-x}$ .

Задача 5036

Доказать при $\left|x\right| < 1$ равенство $\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\ldots = \frac{x}{1-x}$ .

Задача 5037

Доказать равенство $\frac{1}{2}\operatorname {tg}\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\operatorname {tg}\frac{x}{4}+\frac{1}{8}\operatorname {tg}\frac{x}{8}+\ldots = \frac{1}{x}-\operatorname {ctg}x$ .

Задача 5038

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}\cos^{2}\frac{x}{2^{n}}} = \frac{1}{\sin^{2}x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

Задача 5039

Пользуясь равенствами:

\int _{0}^{1} t^{n-1}\, dt = \frac{1}{n}, \quad \int _{0}^{1} t^{n-1}(1-t)\, dt = \frac{1}{n(n+1)}, \quad \int _{0}^{1} t^{n-1}(1-t)^{2}\, dt = \frac{1}{n(n+1)(n+2)},

доказать, что:

1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \ldots = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi }{\sqrt{3}}+\ln 2\right).

Задача 5040

Пользуясь равенствами:

\int _{0}^{1} t^{n-1}\, dt = \frac{1}{n}, \quad \int _{0}^{1} t^{n-1}(1-t)\, dt = \frac{1}{n(n+1)}, \quad \int _{0}^{1} t^{n-1}(1-t)^{2}\, dt = \frac{1}{n(n+1)(n+2)},

доказать, что:

1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{9} - \frac{1}{13} + \ldots = \frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\pi + 2\ln (\sqrt{2}+1)\right).

Задача 5041

Доказать равенство $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\ldots = \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln 2$ .

Задача 5042

Доказать равенство $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\ldots = \frac{5\pi }{12}$ .

Задача 5043

Доказать равенство $\sum_{n=1,3,5,\ldots } \frac{(-1)^{\frac{n^{2}-1}{8}}}{n} = \frac{\ln (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$ .

Задача 5044

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(n+\alpha )(n+\beta )} = \frac{1}{\beta -\alpha }\int_{0}^{1} \frac{x^{\alpha }-x^{\beta }}{1-x}\, dx$ ; $\alpha > -1$ , $\beta > -1$ , $\alpha \neq \beta$ .

Задача 5045

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{\pi }{8}$ .

Задача 5046

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+m)} = \frac{1}{m}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{m}\right)$ .

Задача 5047

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots = \ln 2 - \frac{1}{2}$ .

Задача 5048

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}-\ldots = \frac{1}{2}(1-\ln 2)$ .

Задача 5049

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}+\ldots = \frac{1}{6}-\frac{1}{4}\ln 3+\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$ .

Задача 5050

Доказать равенство $\frac{1}{1^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{1}{3^{2}\cdot 5^{2}}+\frac{1}{5^{2}\cdot 7^{2}}+\ldots = \frac{\pi^{2}}{16}-\frac{1}{2}$ .

Задача 5051

Доказать равенство $\frac{1}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}+\frac{1}{3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7^{2}}+\frac{1}{7^{2}\cdot 9^{2}\cdot 11^{2}}+\ldots = \frac{3\pi^{2}}{256}-\frac{1}{9}$ .

Задача 5052

Доказать равенство $\frac{1}{1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{1}{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 4^{2}}+\frac{1}{3^{2}\cdot 4^{2}\cdot 5^{2}}+\ldots = \frac{4\pi^{2}-39}{16}$ .

Задача 5053

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{4}-\frac{1}{2x}-\frac{(1-x)^{2}}{2x^{2}}\ln \frac{1}{1-x}$ .

Задача 5054

Доказать равенство

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^{n}}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)} = \frac{5}{24x}-\frac{1}{8x^{2}}+\frac{(1-x)^{2}}{8x^{2}} \cdot R;

R = \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}, \text{ если } x > 0; \quad R = \frac{1}{\sqrt{-x}}\operatorname {arctg}\sqrt{-x}, \text{ если } x < 0.

Задача 5055

Пользуясь биномом Ньютона, доказать, что

1 - \frac{1}{2} + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} + \ldots = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Задача 5056

Пользуясь равенством $\int_{0}^{1} t^{n-1}\, dt = \frac{1}{n}$ , получить, что

\frac{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}{3\cdot 5\cdot 7\ldots (2n+1)} = \int _{0}^{1} (1-t^{2})^{n}\, dt,

и вывести формулу:

\frac{2}{3}+\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}x+\frac{2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}x^{2}+\ldots = \int _{0}^{1} \frac{1-t^{2}}{1-x+xt^{2}}\, dt; \quad \left|x\right| < 1.

Задача 5057

Доказать равенство $\frac{2}{3}-\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}+\frac{2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}-\ldots = 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln (1+\sqrt{2})$ .

Задача 5058

Доказать равенство $\frac{x^{2}}{3}+\frac{2x^{4}}{3\cdot 5}+\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7}x^{6}+\ldots = 1-\frac{\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x}{x}$ ; $\left|x\right| < 1$ .

Задача 5059

Доказать равенство $\frac{1}{4}-\frac{1\cdot 3}{4\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 6\cdot 8}-\ldots = 3-2\sqrt{2}$ .

Задача 5060

Доказать равенство $\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\ldots = \frac{1}{2}$ .

Задача 5061

Замечая, что $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln t\, dt = -\frac{1}{n^{2}}$ ; $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln^{2}t\, dt = \frac{2}{n^{3}}$ ; $n > 0$ , доказать равенство

1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^{2}}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{1}{5^{2}}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{1}{7^{2}}+\ldots = \frac{\pi }{2}\ln 2.

Задача 5062

Замечая, что $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln t\, dt = -\frac{1}{n^{2}}$ ; $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln^{2}t\, dt = \frac{2}{n^{3}}$ ; $n > 0$ , доказать равенство

1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^{3}}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{1}{5^{3}}+\ldots = \frac{\pi ^{3}}{48}+\frac{\pi }{4}(\ln 2)^{2}.

Задача 5063

Исходя из равенства $\frac{n!}{a(a+1)\ldots (a+n)} = \int_{0}^{1} (1-t)^{a-1}t^{n}\, dt$ , доказать, что

\frac{1}{a}+\frac{x}{a(a+1)}+\frac{x^{2}}{a(a+1)(a+2)}+\ldots = \int _{0}^{1} (1-t)^{a-1}e^{xt}\, dt; \quad a > 0.

Задача 5064

Доказать, что

\frac{1}{a}+\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{a(a+1)(a+2)}+\ldots = e\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{1!(a+1)}+\frac{1}{2!(a+2)}-\ldots \right).

Задача 5065

Пользуясь тождеством

\frac{n!}{x(x+1)\ldots (x+n-1)} = \frac{n!}{(x-2)x(x+1)\ldots (x+n-2)} - \frac{(n+1)!}{(x-2)x(x+1)\ldots (x+n-1)},

доказать равенство:

\frac{1}{x}+\frac{2!}{x(x+1)}+\frac{3!}{x(x+1)(x+2)}+\ldots = \frac{1}{x+2}; \quad x > 2.

Задача 5066

Доказать равенство Стирлинга:

\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1+n}{x(x+1)(x+2)}+\frac{(1+n)(2+n)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}+\ldots =

= \frac{1}{x^{2}-nx}; \quad x > n.

Задача 5067

Доказать, что

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{(t+n)^{2}} = \frac{1}{t}+\frac{1}{2t(t+1)}+\frac{2!}{3t(t+1)(t+2)}+\ldots

Задача 5068

Доказать, что при $\gamma > \alpha > 0$ , $\left|x\right| < 1$ справедливо равенство

F(\alpha , \beta , \gamma ; x) = \frac{\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\gamma -\alpha )} \int _{0}^{1} u^{\alpha -1}(1-u)^{\gamma -\alpha -1}(1-xu)^{-\beta }\, du,

где

F(\alpha , \beta , \gamma ; x) = 1+\frac{\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }x+\frac{\alpha (\alpha +1)}{1\cdot 2}\frac{\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots

(гипергеометрический ряд Гаусса).

Задача 5069

Доказать, что при $\operatorname {Re}(\gamma -\alpha -\beta ) > 0$ имеется равенство

F(\alpha , \beta , \gamma ; 1) = \frac{\Gamma (\gamma )\Gamma (\gamma -\alpha -\beta )}{\Gamma (\gamma -\alpha )\Gamma (\gamma -\beta )}

( $\operatorname {Re}$ обозначает действительную часть комплексного числа).

Задача 5070

Доказать равенство $1+\frac{a}{b}x+\frac{a(a+1)}{b(b+1)}x^{2}+\ldots = 1+ax\int_{0}^{1} \frac{(1-u)^{b-1}}{(1-ux)^{a-1}}\, du$ ; $b > 0$ .

Задача 5071

Доказать равенство $\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{2}\cdot \frac{1}{6}+\ldots = \frac{2}{\pi }$ .

Задача 5072

Доказать равенство $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\cdot \left(\frac{1}{2\cdot 4}\right)^{2}+5\cdot \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}+\ldots = 1-\frac{2}{\pi }$ .

Задача 5073

Доказать равенство $\varphi (x)+\varphi \left(x+\frac{\pi }{2}\right) = 4\varphi (2x)$ , где

\varphi (x) = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(x-n\pi )^{2}} - \frac{1}{\sin ^{2}x}.

Задача 5074

Пользуясь результатом задачи 5073 (равенством $\varphi (x)+\varphi \left(x+\frac{\pi }{2}\right) = 4\varphi (2x)$ , где $\varphi (x) = \sum_{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(x-n\pi )^{2}} - \frac{1}{\sin^{2}x}$ ), показать, что

\frac{1}{\sin ^{2}x} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(x-n\pi )^{2}}.

Задача 5075

Интегрированием получить равенство Эйлера

\operatorname {ctg}x = \frac{1}{x}+\sum _{n \neq 0}\left(\frac{1}{x-n\pi }+\frac{1}{x+n\pi }\right) = \frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}.

Задача 5076

Интегрируя и переходя от логарифмов к числам, доказать равенство:

\sin x = x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\right). \qquad \text{(Эйлер.)}

Задача 5077

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\operatorname {tg}x = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{2x}{\left(\frac{2n+1}{2}\pi \right)^{2}-x^{2}}$ .

Задача 5078

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\cdot 2x}{x^{2}-n^{2}\pi^{2}}$ .

Задача 5079

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2n-1)\pi }{x^{2}-\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}\pi^{2}}$ .

Задача 5080

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\frac{1}{1-e^{-x}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}+4\pi^{2}n^{2}}$ .

12.3 · Нахождение сумм рядов дифференцированием; некоторые разложения в ряды[45/22%]

Задача 5081

Дифференцированием равенства $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ получить следующую формулу (при $\left|x\right| < 1$ ): $\sum_{n=0}^{\infty } (n+1)x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{2}}$ .

Задача 5082

Дифференцированием равенства $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ получить следующую формулу (при $\left|x\right| < 1$ ): $\sum_{n=0}^{\infty } (n+1)(n+2)x^{n} = \frac{2}{(1-x)^{3}}$ .

Задача 5083

Дифференцированием равенства $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ получить следующую формулу (при $\left|x\right| < 1$ ): $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3!}x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{4}}$ .

Задача 5084

Дифференцированием равенства $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ получить следующую формулу (при $\left|x\right| < 1$ ): $\sum_{n=1}^{\infty } n^{2}x^{n} = \frac{x+x^{2}}{(1-x)^{3}}$ .

Задача 5085

Дифференцированием равенства $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ получить следующую формулу (при $\left|x\right| < 1$ ): $\sum_{n=1}^{\infty } n^{3}x^{n} = \frac{x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{4}}$ .

Задача 5086

Доказать равенство $x+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{9}}{9}+\ldots = \frac{1}{2}\operatorname {arctg}x+\frac{1}{4}\ln \frac{1+x}{1-x}$ .

Задача 5087

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{4n}}{(4n)!} = \frac{1}{4}(e^{x}+e^{-x}+2\cos x)$ .

Задача 5088

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{3n}}{(3n)!} = \frac{1}{3}\left(e^{x}+2e^{-\frac{x}{2}}\cos \frac{x\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Задача 5089

Доказать, что $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{1-x^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty } \tau (n)x^{n}$ ; $\left|x\right| < 1$ , где $\tau (n)$ — число целых делителей $n$ (ряд Ламберта).

Задача 5090

Доказать, что $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{nx^{n}}{1-x^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty } T(n)x^{n}$ ; $\left|x\right| < 1$ , здесь $T(n)$ — сумма делителей $n$ .

Задача 5091

Доказать, что

\left(\sum _{n=1}^{\infty } x^{n^{2}}\right)^{2} = \sum _{n=1}^{\infty } r(n)x^{n}; \quad \left|x\right| < 1,

где $r(n)$ — число различных целых квадратов в разложении $n$ на сумму двух целых квадратов.

Задача 5092

Функция $f(x) = x\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$ четная, т.е. $f(-x) = f(x)$ . Поэтому можно положить: $f(x) = A_{0}+A_{1}x^{2}+A_{2}x^{4}+\ldots$ , где $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots$ — неизвестные коэффициенты. Можно положить, что $A_{n} = \frac{(-1)^{n-1}B_{n}4^{n}}{(2n)!}$ , где $B_{n}$ — другие коэффициенты, называемые числами Бернулли. Разлагая в ряд в написанном неравенстве $e^{x}$ и $e^{-x}$ и выражая $A_{n}$ через числа $B_{n}$ , получим:

\frac{1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots }{1+\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}+\ldots } = B_{0}+\frac{2^{2}B_{1}}{2!}x^{2}+\frac{2^{4}B_{2}}{4!}x^{4}+\ldots

Доказать, что числа Бернулли $B_{n}$ можно получить одно за другим с помощью рекуррентной формулы:

(-1)^{n-1}\frac{4^{n}B_{n}}{(2n)!} + (-1)^{n-2}\frac{4^{n-1}B_{n-1}}{3!(2n-2)!} + (-1)^{n-3}\frac{4^{n-2}B_{n-2}}{5!(2n-4)!} + \ldots + \frac{4B_{1}}{(2n-1)!2!} + \frac{B_{0}}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!}.

Применяя ее, можно получить следующие значения первых чисел Бернулли: $B_{0} = 1$ ; $B_{1} = \frac{1}{6}$ ; $B_{2} = \frac{1}{30}$ ; $B_{3} = \frac{1}{42}$ ; $B_{4} = \frac{1}{30}$ ; $B_{5} = \frac{5}{66}$ ; $B_{6} = \frac{691}{2730}$ ; $B_{7} = \frac{7}{6}$ ; $B_{8} = \frac{3617}{510}$ ; $B_{9} = \frac{43867}{798}$ ; $B_{10} = \frac{174611}{300}$ ; $B_{11} = \frac{854513}{138}$ ; $B_{12} = \frac{236364091}{2730}$ ; и т.д.

Задача 5093

Пользуясь рекуррентной формулой для чисел Бернулли (см.задачу 5092), доказать неравенство: $\frac{4^{n}B_{n}}{(2n)!} < \frac{1}{5^{n}}$ , показывающее, что ряд для функции $x\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$ сходится при $\left|x\right| < \sqrt{5}$ .

Задача 5094

Положив

\frac{1}{\cos x} = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{E_{n}}{(2n)!}x^{2n},

доказать рекуррентную формулу для чисел Эйлера $E_{n}$ :

\frac{E_{n}}{(2n)!} - \frac{E_{n-1}}{2!(2n-2)!} + \frac{E_{n-2}}{4!(2n-4)!} - \ldots + (-1)^{n}\frac{E_{0}}{(2n)!} = 0.

Задача 5095

Исходя из формулы для чисел $E_{n}$ (см.задачу 5094), доказать неравенство: $\left|\frac{E_{n}}{(2n)!}\right| < \rho^{n}$ , где $\rho = \operatorname {ch}1-1 = 0{,}543\ldots$ , и показать, что степенной ряд для $\frac{1}{\cos x}$ сходится при $\left|x\right| < \frac{1}{\sqrt{\rho }}$ .

Задача 5096

Из результата задачи 5092 получить разложение:

\frac{1}{1-e^{-x}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}.

Задача 5097

Сопоставляя результаты задач 5080 и 5096, получить равенство $\sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{1}{\nu^{2n}} = \frac{B_{n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}$ и доказать, что ряд задачи 5096 сходится при $\left|x\right| < 2\pi$ и расходится при $\left|x\right| > 2\pi$ .

Задача 5098

Сопоставляя задачи 5079 и 5094, получить равенство

\sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }}{(2\nu +1)^{2n+1}} = \frac{E_{n}\cdot \pi ^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}

и доказать, что ряд задачи 5094 сходится при $\left|x\right| < \frac{\pi }{2}$ и расходится при $\left|x\right| > \frac{\pi }{2}$ .

Задача 5099

Составив дифференциальное уравнение для соответствующей функции, доказать следующее разложение в ряд ( $\left|x\right| < 1$ ):

\frac{1}{2}\left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{2} = \frac{1}{2}-\left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{x}{3}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\frac{x^{2}}{4}-\ldots

Задача 5100

\left(\frac{\operatorname {arctg}x}{x}\right)^{2} = 1-\left(1+\frac{1}{3}\right)\frac{x^{2}}{2}+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)\frac{x^{4}}{3}-\ldots

Задача 5101

\frac{1}{2}\operatorname {arctg}x\ln (1+x^{2}) = \left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{x^{3}}{3}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\frac{x^{5}}{5}+\ldots

Задача 5102

\cos (m\arcsin x) = 1-\frac{m^{2}}{2!}x^{2}+\frac{m^{2}(m^{2}-4)}{4!}x^{4} - \frac{m^{2}(m^{2}-4)(m^{2}-16)}{6!}x^{6}+\ldots

Задача 5103

\sin (m\arcsin x) = mx-\frac{m(m^{2}-1)}{3!}x^{3}+\frac{m(m^{2}-1)(m^{2}-9)}{5!}x^{5}-\ldots

Задача 5104

\cos (m\arccos x) = A\cos \frac{m\pi }{2}+B\sin \frac{m\pi }{2},

где $A$ и $B$ — ряды двух предыдущих задач, т.е.:

A = 1-\frac{m^{2}}{2!}x^{2}+\frac{m^{2}(m^{2}-4)}{4!}x^{4} - \frac{m^{2}(m^{2}-4)(m^{2}-16)}{6!}x^{6}+\ldots \quad (\text{ряд задачи 5102}),

B = mx-\frac{m(m^{2}-1)}{3!}x^{3}+\frac{m(m^{2}-1)(m^{2}-9)}{5!}x^{5}-\ldots \quad (\text{ряд задачи 5103}).

Задача 5105

Доказать, что в равенствах задач 5102 и 5103 обе части при $\left|x\right| < 1$ можно разложить по степеням переменной $m$ . Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях $m$ , получить разложение при $\left|x\right| < 1$ :

\arcsin x = 2\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(2n)!}{(n!)^{2}(2n+1)} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1}.

Задача 5106

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях $m$ в равенствах задач 5102 и 5103 (см.задачу 5105), получить разложение при $\left|x\right| < 1$ :

(\arcsin x)^{2} = \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{((n-1)!)^{2}}{(2n)!}(2x)^{2n}.

Задача 5107

(\arcsin x)^{3} = 6\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} \cdot \frac{2}{2n+1}\left(1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)^{2}}\right)\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1}.

Задача 5108

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях $m$ в равенствах задач 5102 и 5103 (см.задачу 5105), получить разложение

(\arcsin x)^{4} = 6\sum _{n=2}^{\infty } \frac{4^{n-1}((n-1)!)^{2}}{(2n)!}x^{2n}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots +\frac{1}{(n-1)^{2}}\right).

Примечание.

Разложения $(\arcsin x)^{n}$ при $n > 4$ имеют гораздо более сложный вид.

Задача 5109

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(n!)^{2}}{(2n)!} = \frac{36+2\pi \sqrt{3}}{27}$ .

Задача 5110

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{((2n)!)^{2}}{(4n)!} = \frac{16}{15}+\frac{\pi \sqrt{3}}{27}+\frac{2}{5\sqrt{5}}\ln \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

Задача 5111

Доказать равенство $\ln \frac{2(1-\sqrt{1-x})}{x} = \frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{x^{2}}{4}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{x^{3}}{6}+\ldots$ ; $\left|x\right| < 1$ .

Задача 5112

Доказать равенство

\left(\frac{2(1-\sqrt{1-x})}{x}\right)^{m} = 1+\frac{m}{1}\left(\frac{x}{4}\right)+\frac{m(m+3)}{2!}\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\frac{m(m+3)(m+5)}{3!}\left(\frac{x}{4}\right)^{3}+\ldots ; \quad \left|x\right| < 1.

Задача 5113

Написав интеграл при $0 < x < \pi$ от тождества

\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\ldots +\cos nx = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)x}{\sin \frac{x}{2}}

и применяя интегрирование по частям, получить равенство:

\sum _{\nu =1}^{n} \frac{\sin \nu x}{\nu } = \frac{\pi -x}{2}+\frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right)x}{(2n+1)\sin \frac{x}{2}} + \frac{1}{2n+1}\int _{x}^{\pi } \frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right)u\cos \frac{u}{2}}{2\sin ^{2}\frac{u}{2}}\, du.

Задача 5114

Доказать, что

\sin x+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+\ldots = \begin{cases} \frac{\pi -x}{2}, & \text{при } 0 < x < \pi ; \\ -\frac{\pi +x}{2}, & \text{при } -\pi < x < 0. \end{cases}

Задача 5115

Применяя подобным образом тождество

\cos x+\cos 3x+\ldots +\cos (2n-1)x = \frac{1}{2}\frac{\sin 2nx}{\sin x},

доказать, при $0 < x < \pi$ , разложение:

\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\ldots = \frac{\pi }{4}.

Задача 5116

Исходя из разложения задачи 5115 ( $\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\ldots = \frac{\pi }{4}$ при $0 < x < \pi$ ), доказать формулу Стеклова:

f(x+\pi )-f(x) = -\frac{4}{\pi }\sum _{m=0}^{\infty } \int _{x}^{x+\pi } f(u)\cos \left((2m+1)(u-x)\right)\, du,

где $f(x)$ — функция, дифференцируемая в интервале $(x, \pi +x)$ .

Задача 5117

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\sin nx}{n}$ , заметив, что

\frac{1}{n} = \int _{0}^{1} x^{n-1}\, dx.

Задача 5118

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}$ ; $0 < x < 2\pi$ .

Задача 5119

Найти сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\sin (2n+1)x}{2n+1}$ ; $0 < x < \pi$ .

Задача 5120

Найти сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\cos (2n+1)x}{2n+1}$ ; $0 < x < \pi$ .

Задача 5121

Найти сумму ряда $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{\cos nx}{n^{2}-1}$ ; $0 < x < 2\pi$ .

Задача 5122

Найти сумму ряда $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{\sin nx}{n^{2}-1}$ ; $0 < x < 2\pi$ .

Задача 5123

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\sin nx}{n(n^{2}+a^{2})}$ ; $0 < x < \pi$ .

Задача 5124

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\sin nx}{n(n^{2}+a^{2})}$ ; $-\pi < x < \pi$ .

Задача 5125

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\cos nx}{n^{4}-4}$ ; $-\pi < x < \pi$ .

12.4 · Разные задачи[62/5%]

Задача 5126

Доказать тождество Каталана

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots -\frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}

и, пользуясь им, показать, что $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ .

Задача 5127

Доказать равенства:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n} = C+\ln n+\varepsilon _{n};

1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2n-1} = \frac{C}{2}+\ln \sqrt{4n}+\eta _{n},

где $C$ — постоянная Эйлера, а $\varepsilon_{n}$ и $\eta_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ .

Задача 5128

Доказать равенства:

1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\ldots = \frac{3}{2}\ln 2;

1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\ldots = \frac{1}{2}\ln 2;

1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}-\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{5}-\ldots = 0.

Задача 5129

Пусть ряд $\sum u_{n}$ получен из ряда $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots$ перестановкой членов так, что члены одного знака убывают по абсолютной величине, а среди первых $n$ членов отношение числа положительных членов к числу отрицательных стремится к $\sigma$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать равенство: $\sum_{\nu =1}^{\infty } u_{\nu } = \ln \sqrt{4\sigma }$ .

Задача 5130

Доказать равенства:

1+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\ldots +\frac{1}{4n-3} = \frac{C}{4}+\frac{\pi }{8}+\ln \sqrt[4]{8n}+\varepsilon _{n}; \quad \varepsilon _{n} \rightarrow 0 \text{ при } n \rightarrow \infty .

\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\ldots +\frac{1}{4n-1} = \frac{C}{4}-\frac{\pi }{8}+\ln \sqrt[4]{8n}+\delta _{n}; \quad \delta _{n} \rightarrow 0 \text{ при } n \rightarrow \infty .

Задача 5131

Доказать равенство $1+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}-\frac{1}{7}+\ldots = \frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}\ln 2$ .

Задача 5132

Доказать равенство $1-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+\frac{1}{9}-\ldots = \frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\ln 2$ .

Задача 5133

Из гармонического ряда $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\ldots$ выброшены члены, в знаменателе которых содержится цифра $9$ . Доказать, что полученный ряд сходится, а его сумма меньше $80$ .

Задача 5134

Доказать равенство $s_{2}+s_{3}+s_{4}+\ldots = 1$ ; $s_{\nu } = \sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n^{\nu }}$ .

Задача 5135

Доказать равенство $s_{3}+s_{5}+s_{7}+\ldots = \frac{1}{4}$ .

Задача 5136

Доказать равенство $s_{2}+\frac{1}{2}s_{4}+\frac{1}{3}s_{6}+\ldots = \ln 2$ .

Задача 5137

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$ , где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы. Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{a_{n}-1} = 1$ .

Задача 5138

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$ , где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы. Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{a_{n}+1} = \frac{\pi^{2}}{3}-\frac{5}{2}$ .

Задача 5139

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$ , где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы, и пусть $b_{m}$ — те из чисел $a_{n}$ , которые делятся на $2$ . Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{b_{m}-1} = \ln 2$ .

Задача 5140

Задача 5141

Доказать равенство $\varphi (x)+\varphi (1-x) = \frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln (1-x)$ ; $\varphi (x) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n^{2}}$ .

Задача 5142

Доказать равенство $\varphi (1-x)+\varphi \left(\frac{x-1}{x}\right) = -\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$ , где $\varphi (x) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n^{2}}$ (та же функция, что и в задаче 5141).

Задача 5143

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}\cdot 2^{n}} = \frac{\pi^{2}}{12}-\frac{1}{2}(\ln 2)^{2}$ .

Задача 5144

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-2)^{n}s_{n}}{n!} = 0$ ; $s_{n} = 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}$ .

Задача 5145

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{n^{m}}{n!} = e\cdot p_{m}$ , где целые числа $p_{m}$ связаны равенством:

p_{m+1} = 1+mp_{1}+\frac{m(m-1)}{1\cdot 2}p_{2}+\ldots +p_{m}.

Задача 5146

Доказать равенство

p^{\sigma }+\frac{\sigma }{1}p^{\sigma -1}q+\frac{\sigma (\sigma -1)}{2!}p^{\sigma -2}q^{2}+\ldots +\frac{\sigma (\sigma -1)\ldots (\sigma -n+1)}{n!}p^{\sigma -n}q^{n} =

= \frac{\Gamma (\sigma +1)}{n!\Gamma (\sigma -n)}\int _{0}^{p} x^{\sigma -n-1}(1-x)^{n}\, dx;

здесь $\sigma > n$ , $0 < p < 1$ , $p+q = 1$ .

Задача 5147

Доказать, что сумма ряда

\frac{a_{1}}{a_{2}+x}+\frac{a_{1}}{a_{2}+x}\cdot \frac{a_{2}}{a_{3}+x}+\frac{a_{1}}{a_{2}+x}\cdot \frac{a_{2}}{a_{3}+x}\cdot \frac{a_{3}}{a_{4}+x}+\ldots

равна $\frac{a_{1}}{x}$ , если ряд $\sum \frac{1}{a_{n}}$ расходящийся, и равна

\frac{a_{1}}{x}\left(1-\prod _{\nu =2}^{\infty } \frac{a_{\nu }}{a_{\nu }+x}\right),

если ряд $\sum \frac{1}{a_{n}}$ сходящийся. Числа $x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ положительны.

Задача 5148

Доказать равенство $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{n}{(1+2x)(1+3x)\ldots (1+nx)} = \frac{1}{x}$ ; $x > 0$ .

Задача 5149

Доказать равенство $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{((n-1)!)^{2}}{(x^{2}+2^{2})(x^{2}+3^{2})\ldots (x^{2}+n^{2})} = \frac{1}{x^{2}}\left(1-\frac{\pi x(x^{2}+1)}{\operatorname {sh}\pi x}\right)$ .

Задача 5150

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{a^{2}+n^{2}}$ .

Задача 5151

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(a^{2}+n^{2})^{2}}$ .

Задача 5152

Найти сумму ряда $\sum_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x^{4}+n^{4}}$ .

Задача 5153

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow \infty } \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{2}}{x^{2}+n^{2}} = \frac{\pi }{2}$ .

Задача 5154

Доказать следующее предложение: если $u_{n} > 0$ , $u_{n}-u_{n+1} > 0$ , $u_{n}-2u_{n+1}+u_{n+2} > 0$ , то

\frac{u_{0}}{2} < u_{0}-u_{1}+u_{2}-u_{3}+u_{4}-\ldots < u_{0}-\frac{1}{2}u_{1}.

Задача 5155

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{1+x}-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{x^{3}}{1+x^{3}}-\ldots \right) = \frac{1}{4}$ .

Задача 5156

Доказать следующее предложение: если $a_{n} > 0$ , $b_{n} > 0$ , ряд $\sum a_{n}x^{n}$ расходящийся при $x = 1$ , и сходящийся при $\left|x\right| < 1$ , и $\frac{a_{n}}{b_{n}} \rightarrow A$ при $n \rightarrow \infty$ , то

\lim _{x \rightarrow 1-0} \frac{\sum a_{n}x^{n}}{\sum b_{n}x^{n}} = A.

Задача 5157

Доказать следующее предложение: если $\sum a_{n}$ расходится и $\frac{A_{n}}{B_{n}} \rightarrow A$ , где $A_{n} = \sum_{\nu =1}^{n} a_{\nu }$ , $B_{n} = \sum_{\nu =1}^{n} b_{\nu }$ , то

\lim _{x \rightarrow 1-0} \frac{\sum a_{n}x^{n}}{\sum b_{n}x^{n}} = A.

Задача 5158

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1-0} (1-x)^{p}\sum_{n=1}^{\infty } n^{p-1}x^{n} = \Gamma (p)$ ; $p > 0$ .

Задача 5159

Доказать следующее предложение: если $\frac{a_{n}}{n^{p-1}} \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$ , то

\lim _{x \rightarrow 1-0} (1-x)^{p}\sum _{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n} = a\Gamma (p).

Задача 5160

Доказать следующее предложение: если $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n^{p}} = a$ , то

\lim _{x \rightarrow 1-0} (1-x)^{p}\sum _{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n} = a\Gamma (p+1); \quad p > -1.

Задача 5161

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1-0} \sqrt{1-x}\, (x+x^{4}+x^{9}+\ldots ) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ .

Задача 5162

Доказать формулу Пуассона:

\sum _{n=a}^{b} f(n) = \frac{f(a)+f(b)}{2} + \int _{a}^{b} f(x)\, dx + 2\sum _{n=1}^{\infty } \int _{a}^{b} f(x)\cos 2\pi nx\, dx.

Задача 5163

Доказать равенство $\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty } e^{-\pi n^{2}x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty } e^{-\frac{\pi n^{2}}{x}}\right)$ .

Задача 5164

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1-0} (x-x^{4}+x^{9}-x^{16}+\ldots ) = \frac{1}{2}$ .

Задача 5165

Доказать равенство $\sum_{n=-\infty }^{\infty } e^{-\pi a(n+x)^{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\sum_{n=-\infty }^{\infty } e^{-\frac{\pi n^{2}}{a}}\cos 2\pi nx$ .

Задача 5166

Доказать следующее предложение (теорема Бореля): если ряд $\sum a_{n}$ сходится и имеет сумму $s$ и притом

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}x^{n}}{n!} = f(x), \quad \text{то} \quad \int _{0}^{\infty } e^{-x}f(x)\, dx = s.

Задача 5167

Доказать следующее предложение: если $R_{1}$ и $R_{2}$ — радиусы сходимости рядов $\sum a_{n}x^{n}$ и $\sum b_{n}x^{n}$ , то радиус сходимости ряда $\sum a_{n}b_{n}x^{n}$ не меньше, чем $R_{1}R_{2}$ .

Задача 5168

Доказать следующее предложение: для сходимости ряда $\sum a_{n}$ с положительными убывающими членами условие $\lim_{n \rightarrow \infty } na_{n} = 0$ необходимо.

Задача 5169

Доказать следующее предложение: если $f(x) < M$ при $0 < x < 2\pi$ , то для ее коэффициентов Фурье справедливы неравенства:

\left|a_{n}\right| < 2M-a_{0}; \quad \left|b_{n}\right| < 2M-a_{0}.

Задача 5170

Доказать следующее предложение: ряды $\sum \frac{\cos x\sqrt{n}}{n^{\sigma }}$ и $\sum \frac{\sin x\sqrt{n}}{n^{\sigma }}$ при $x \neq 0$ сходятся при $\sigma > \frac{1}{2}$ и расходятся при $\sigma < \frac{1}{2}$ .

Задача 5171

Доказать следующее предложение: ряд $\sum \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n^{\sigma }}$ , где $\left[\sqrt{n}\right]$ — целая часть $\sqrt{n}$ , сходится при $\sigma > \frac{1}{2}$ и расходится при $\sigma < \frac{1}{2}$ .

Задача 5172

Пользуясь равенством $\frac{1}{a} = \int_{0}^{1} x^{a-1}\, dx$ , $a > 0$ , доказать формулу:

\frac{1}{m}-\frac{n}{m+p}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{m+2p}-\ldots +(-1)^{n}\frac{1}{m+np} =

= \frac{n!p^{n}}{m(m+p)\ldots (m+np)}.

Задача 5173

Доказать тождество:

(1+x)(1+qx)\ldots (1+q^{n-1}x) =

= 1+\frac{q^{n}-1}{q-1}x+\frac{(q^{n}-1)(q^{n}-q)}{(q-1)(q^{2}-1)}x^{2}+\frac{(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{3}-1)}x^{3}+\ldots

Примечание.

При замене $x$ на $qx$ левая часть умножается на $1+q^{n}x$ и делится на $1+x$ .

Задача 5174

Доказать равенство при $\left|q\right| < 1$ :

(1+qx)(1+q^{2}x)(1+q^{3}x)\ldots = 1+\frac{q}{1-q}x+

+\frac{q^{3}}{(1-q)(1-q^{2})}x^{2}+\frac{q^{6}}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}x^{3}+\ldots

Задача 5175

Доказать равенство при $\left|q\right| < 1$ :

(1+qx)(1+q^{3}x)(1+q^{5}x)\ldots = 1+\frac{q}{1-q^{2}}x+

+\frac{q^{4}}{(1-q^{2})(1-q^{4})}x^{2}+\frac{q^{9}}{(1-q^{2})(1-q^{4})(1-q^{6})}x^{3}+\ldots

Задача 5176

Доказать равенство при $\left|q\right| < 1$ :

\prod _{\nu =0}^{n-1} (1+q^{2\nu +1}x)(1+q^{2\nu +1}x^{-1}) = A_{0}+\sum _{\nu =1}^{\infty } A_{\nu }(x^{\nu }+x^{-\nu });

A_{\nu } = q^{\nu ^{2}} \cdot \frac{(1-q^{2n+2\nu +2})(1-q^{2n+2\nu +4})\ldots (1-q^{4n})}{(1-q^{2})(1-q^{4})\ldots (1-q^{2n-2\nu })}.

Задача 5177

Пользуясь предыдущим результатом (задача 5176), получить тождество Якоби:

1+\sum _{\nu =1}^{\infty } q^{\nu ^{2}}(x^{\nu }+x^{-\nu }) = \prod _{\nu =0}^{\infty } (1+q^{2\nu +1}x)(1+q^{2\nu +1}x^{-1})(1-q^{2\nu }).

Задача 5178

Заменой переменных из предыдущего результата (задачи 5177) получить тождество Эйлера:

\sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^{n} q^{\frac{3n^{2}-n}{2}} = \prod _{n=1}^{\infty } (1-q^{n}).

Задача 5179

Доказать тождества Якоби (при $\left|q\right| < 1$ ):

\sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^{n} q^{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}} x^{2n+1} = q_{0} \cdot q^{\frac{1}{4}} \prod _{n=1}^{\infty } (1-q^{2n}x^{2})(1-q^{2n}x^{-2})(x-x^{-1});

\sum _{n=-\infty }^{\infty } q^{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}} x^{2n+1} = q_{0} \cdot q^{\frac{1}{4}} (x+x^{-1}) \cdot \prod _{n=1}^{\infty } (1+q^{2n}x^{2})(1+q^{2n}x^{-2});

\sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^{n} q^{n^{2}} x^{2n} = q_{0} \cdot \prod _{n=1}^{\infty } (1-q^{2n-1}x^{2})(1-q^{2n-1}x^{-2}),

где $q_{0} = \prod_{n=1}^{\infty } (1-q^{2n})$ .

Задача 5180

Тэта-функции Якоби определяются равенствами (при $\left|q\right| < 1$ ):

\vartheta _{1}(v) = 2\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^{n} q^{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}} \sin (2n+1)\pi v;

\vartheta _{2}(v) = 2\sum _{n=0}^{\infty } q^{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}} \cos (2n+1)\pi v;

\vartheta _{3}(v) = 1+2\sum _{n=1}^{\infty } q^{n^{2}} \cos 2\pi nv;

\vartheta _{4}(v) = 1+2\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n} q^{n^{2}} \cos 2\pi nv.

Доказать равенства (при $\left|q\right| < 1$ ):

\vartheta _{1}(v) = 2q_{0} \cdot q^{\frac{1}{4}} \sin \pi v \cdot \prod _{n=1}^{\infty } (1-2q^{2n}\cos 2\pi v+q^{4n});

\vartheta _{2}(v) = 2q_{0} \cdot q^{\frac{1}{4}} \cos \pi v \cdot \prod _{n=1}^{\infty } (1+2q^{2n}\cos 2\pi v+q^{4n});

\vartheta _{3}(v) = q_{0} \cdot \prod _{n=1}^{\infty } (1+2q^{2n-1}\cos 2\pi v+q^{4n-2});

\vartheta _{4}(v) = q_{0} \cdot \prod _{n=1}^{\infty } (1-2q^{2n-1}\cos 2\pi v+q^{4n-2}),

где $q_{0}$ имеет прежнее значение (см.задачу 5179): $q_{0} = \prod_{n=1}^{\infty } (1-q^{2n})$ .

Задача 5181

Полагая

A = \prod _{n=1}^{\infty } (1+q^{2n}); \quad B = \prod _{n=1}^{\infty } (1+q^{2n-1}); \quad C = \prod _{n=1}^{\infty } (1-q^{2n-1})

и $f(q) = ABC$ , где $\left|q\right| < 1$ , доказать, что $f(q) = f(q^{2})$ и, следовательно, $ABC = 1$ .

Задача 5182

Доказать равенство Якоби: $\vartheta_{1}' = \pi \vartheta_{2}\vartheta_{3}\vartheta_{4}$ , где $\vartheta_{2}, \vartheta_{3}, \vartheta_{4}$ , $\vartheta_{1}'$ — значения тэта-функций и производной от них при $v = 0$ (см.задачу 5180 для определения тэта-функций).

Задача 5183

Доказать равенство $\sqrt{N} = a\left(1+\beta +\frac{1\cdot 3}{2!}\beta^{2}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!}\beta^{3}+\ldots \right)$ , где $N = a^{2}+b$ ; $\beta = \frac{b}{2N}$ ; $\left|b\right| < N$ .

Задача 5184

Доказать равенство $\sqrt[3]{N} = a\left(1+\beta +\frac{1\cdot 4}{2!}\beta^{2}+\frac{1\cdot 4\cdot 7}{3!}\beta^{3}+\ldots \right)$ , где $N = a^{3}+b$ ; $\beta = \frac{b}{3N}$ ; $\left|b\right| < N$ .

Задача 5185

Проверить равенство $\sqrt{2} = 1{,}41421\ 35623\ 73095\ 04880\ 16885\ldots$

Задача 5186

Проверить равенство $\sqrt[3]{2} = 1{,}25991\ 20498\ 94873\ 16476\ 72106\ldots$

Задача 5187

Проверить равенство Рамануджана:

\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002^{2}}+\frac{3}{1003^{3}}+\frac{4^{2}}{1004^{4}}+\frac{5^{3}}{1005^{5}}+\ldots =

= \frac{1}{1000}-10^{-440}\cdot 1{,}0125\ldots