Разные задачи

Доказать тождество Каталана

и, пользуясь им, показать, что $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$.

Доказать равенства:

где $C$ — постоянная Эйлера, а $\varepsilon_{n}$ и $\eta_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Доказать равенства:

Пусть ряд $\sum u_{n}$ получен из ряда $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots$ перестановкой членов так, что члены одного знака убывают по абсолютной величине, а среди первых $n$ членов отношение числа положительных членов к числу отрицательных стремится к $\sigma$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать равенство: $\sum_{\nu =1}^{\infty } u_{\nu } = \ln \sqrt{4\sigma }$.

Доказать равенства:

Доказать равенство $1+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}-\frac{1}{7}+\ldots = \frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}\ln 2$.

Доказать равенство $1-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+\frac{1}{9}-\ldots = \frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\ln 2$.

Из гармонического ряда $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\ldots$ выброшены члены, в знаменателе которых содержится цифра $9$. Доказать, что полученный ряд сходится, а его сумма меньше $80$.

Доказать равенство $s_{2}+s_{3}+s_{4}+\ldots = 1$; $s_{\nu } = \sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n^{\nu }}$.

Доказать равенство $s_{3}+s_{5}+s_{7}+\ldots = \frac{1}{4}$.

Доказать равенство $s_{2}+\frac{1}{2}s_{4}+\frac{1}{3}s_{6}+\ldots = \ln 2$.

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы. Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{a_{n}-1} = 1$.

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы. Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{a_{n}+1} = \frac{\pi^{2}}{3}-\frac{5}{2}$.

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы, и пусть $b_{m}$ — те из чисел $a_{n}$, которые делятся на $2$. Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{b_{m}-1} = \ln 2$.

Пусть $a_{n}$ — числа натурального ряда, имеющие вид $p^{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, большие единицы, и пусть $b_{m}$ — те из чисел $a_{n}$, которые делятся на $2$. Доказать равенство Эйлера: $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{b_{m}+1} = \frac{\pi^{2}}{12}+\ln 2-1$.

Доказать равенство $\varphi (x)+\varphi (1-x) = \frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln (1-x)$; $\varphi (x) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n^{2}}$.

Доказать равенство $\varphi (1-x)+\varphi \left(\frac{x-1}{x}\right) = -\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$, где $\varphi (x) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n^{2}}$ (та же функция, что и в задаче 5141).

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}\cdot 2^{n}} = \frac{\pi^{2}}{12}-\frac{1}{2}(\ln 2)^{2}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-2)^{n}s_{n}}{n!} = 0$; $s_{n} = 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}$.

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{n^{m}}{n!} = e\cdot p_{m}$, где целые числа $p_{m}$ связаны равенством:

Доказать равенство

здесь $\sigma > n$, $0 < p < 1$, $p+q = 1$.

Доказать, что сумма ряда

равна $\frac{a_{1}}{x}$, если ряд $\sum \frac{1}{a_{n}}$ расходящийся, и равна

если ряд $\sum \frac{1}{a_{n}}$ сходящийся. Числа $x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ положительны.

Доказать равенство $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{n}{(1+2x)(1+3x)\ldots (1+nx)} = \frac{1}{x}$; $x > 0$.

Доказать равенство $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{((n-1)!)^{2}}{(x^{2}+2^{2})(x^{2}+3^{2})\ldots (x^{2}+n^{2})} = \frac{1}{x^{2}}\left(1-\frac{\pi x(x^{2}+1)}{\operatorname {sh}\pi x}\right)$.

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{a^{2}+n^{2}}$.

Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(a^{2}+n^{2})^{2}}$.

Найти сумму ряда $\sum_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x^{4}+n^{4}}$.

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow \infty } \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{2}}{x^{2}+n^{2}} = \frac{\pi }{2}$.

Доказать следующее предложение: если $u_{n} > 0$, $u_{n}-u_{n+1} > 0$, $u_{n}-2u_{n+1}+u_{n+2} > 0$, то

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{1+x}-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{x^{3}}{1+x^{3}}-\ldots \right) = \frac{1}{4}$.

Доказать следующее предложение: если $a_{n} > 0$, $b_{n} > 0$, ряд $\sum a_{n}x^{n}$ расходящийся при $x = 1$, и сходящийся при $\left|x\right| < 1$, и $\frac{a_{n}}{b_{n}} \rightarrow A$ при $n \rightarrow \infty$, то

Доказать следующее предложение: если $\sum a_{n}$ расходится и $\frac{A_{n}}{B_{n}} \rightarrow A$, где $A_{n} = \sum_{\nu =1}^{n} a_{\nu }$, $B_{n} = \sum_{\nu =1}^{n} b_{\nu }$, то

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1-0} (1-x)^{p}\sum_{n=1}^{\infty } n^{p-1}x^{n} = \Gamma (p)$; $p > 0$.

Доказать следующее предложение: если $\frac{a_{n}}{n^{p-1}} \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$, то

Доказать следующее предложение: если $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n^{p}} = a$, то

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1-0} \sqrt{1-x}\, (x+x^{4}+x^{9}+\ldots ) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi }$.

Доказать формулу Пуассона:

Доказать равенство $\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty } e^{-\pi n^{2}x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty } e^{-\frac{\pi n^{2}}{x}}\right)$.

Доказать следующее предложение: $\lim_{x \rightarrow 1-0} (x-x^{4}+x^{9}-x^{16}+\ldots ) = \frac{1}{2}$.

Доказать равенство $\sum_{n=-\infty }^{\infty } e^{-\pi a(n+x)^{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\sum_{n=-\infty }^{\infty } e^{-\frac{\pi n^{2}}{a}}\cos 2\pi nx$.

Доказать следующее предложение (теорема Бореля): если ряд $\sum a_{n}$ сходится и имеет сумму $s$ и притом

Доказать следующее предложение: если $R_{1}$ и $R_{2}$ — радиусы сходимости рядов $\sum a_{n}x^{n}$ и $\sum b_{n}x^{n}$, то радиус сходимости ряда $\sum a_{n}b_{n}x^{n}$ не меньше, чем $R_{1}R_{2}$.

Доказать следующее предложение: для сходимости ряда $\sum a_{n}$ с положительными убывающими членами условие $\lim_{n \rightarrow \infty } na_{n} = 0$ необходимо.

Доказать следующее предложение: если $f(x) < M$ при $0 < x < 2\pi$, то для ее коэффициентов Фурье справедливы неравенства:

Доказать следующее предложение: ряды $\sum \frac{\cos x\sqrt{n}}{n^{\sigma }}$ и $\sum \frac{\sin x\sqrt{n}}{n^{\sigma }}$ при $x \neq 0$ сходятся при $\sigma > \frac{1}{2}$ и расходятся при $\sigma < \frac{1}{2}$.

Доказать следующее предложение: ряд $\sum \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n^{\sigma }}$, где $\left[\sqrt{n}\right]$ — целая часть $\sqrt{n}$, сходится при $\sigma > \frac{1}{2}$ и расходится при $\sigma < \frac{1}{2}$.

Пользуясь равенством $\frac{1}{a} = \int_{0}^{1} x^{a-1}\, dx$, $a > 0$, доказать формулу:

Доказать тождество:

Доказать равенство при $\left|q\right| < 1$:

Доказать равенство при $\left|q\right| < 1$:

Доказать равенство при $\left|q\right| < 1$:

Пользуясь предыдущим результатом (задача 5176), получить тождество Якоби:

Заменой переменных из предыдущего результата (задачи 5177) получить тождество Эйлера:

Доказать тождества Якоби (при $\left|q\right| < 1$):

где $q_{0} = \prod_{n=1}^{\infty } (1-q^{2n})$.

Тэта-функции Якоби определяются равенствами (при $\left|q\right| < 1$):

Доказать равенства (при $\left|q\right| < 1$):

где $q_{0}$ имеет прежнее значение (см.задачу 5179): $q_{0} = \prod_{n=1}^{\infty } (1-q^{2n})$.

Полагая

и $f(q) = ABC$, где $\left|q\right| < 1$, доказать, что $f(q) = f(q^{2})$ и, следовательно, $ABC = 1$.

Доказать равенство Якоби: $\vartheta_{1}' = \pi \vartheta_{2}\vartheta_{3}\vartheta_{4}$, где $\vartheta_{2}, \vartheta_{3}, \vartheta_{4}$, $\vartheta_{1}'$ — значения тэта-функций и производной от них при $v = 0$ (см.задачу 5180 для определения тэта-функций).

Доказать равенство $\sqrt{N} = a\left(1+\beta +\frac{1\cdot 3}{2!}\beta^{2}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!}\beta^{3}+\ldots \right)$, где $N = a^{2}+b$; $\beta = \frac{b}{2N}$; $\left|b\right| < N$.

Доказать равенство $\sqrt[3]{N} = a\left(1+\beta +\frac{1\cdot 4}{2!}\beta^{2}+\frac{1\cdot 4\cdot 7}{3!}\beta^{3}+\ldots \right)$, где $N = a^{3}+b$; $\beta = \frac{b}{3N}$; $\left|b\right| < N$.

Проверить равенство $\sqrt{2} = 1{,}41421\ 35623\ 73095\ 04880\ 16885\ldots$

Проверить равенство $\sqrt[3]{2} = 1{,}25991\ 20498\ 94873\ 16476\ 72106\ldots$

Проверить равенство Рамануджана: