Непосредственное суммирование конечных сумм и бесконечных рядов

Если $u_{\nu } = v_{\nu +1} - v_{\nu }$, то имеется тождество:

Это замечание и близкие подобные приемы дают решение следующих задач. Доказать тождество:

Доказать тождество $\sum_{\nu =1}^{n} \nu^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$.

Доказать тождество $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots +(2n-1)^{2} = \frac{4n^{3}-n}{3}$.

Доказать тождество $1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots +(2n-1)^{3} = 2n^{4}-n^{2}$.

Доказать тождество $\sum_{\nu =1}^{n-1} \nu^{2}(n-\nu )^{2} = \frac{n^{5}-n}{30}$.

Доказать тождество $1^{4}-2^{4}+3^{4}-\ldots +(-1)^{n-1}n^{4} = (-1)^{n-1}\frac{n^{4}+2n^{3}-n}{2}$.

Доказать тождество $s_{5}+s_{7} = 2s_{3}^{2}$; $s_{\nu } = 1^{\nu }+2^{\nu }+\ldots +n^{\nu }$.

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $1+\cos x+\cos 2x+\ldots +\cos (n-1)x$.

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\cos x+\cos 3x+\ldots +\cos (2n-1)x$.

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\sin x+\sin 2x+\ldots +\sin nx$.

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\sin x-\sin 2x+\ldots -\sin 2nx$.

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $\sin^{2}x-\sin^{2}3x+\ldots +(-1)^{n-1}\sin^{2}(2n-1)x$.

Пользуясь формулами Эйлера, найти сумму: $x\sin a+x^{2}\sin 2a+\ldots +x^{n-1}\sin (n-1)a$.

Доказать равенство $x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+\ldots = \frac{x}{(1-x)^{2}}$; $\left|x\right| < 1$.

Доказать равенство $1-4x+9x^{2}-16x^{3}+\ldots = \frac{1-x}{(1+x)^{3}}$; $\left|x\right| < 1$.

Доказать тождество $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\ldots +\frac{1}{(a+n-1)(a+n)} = \frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}$.

Доказать тождество

Доказать тождество

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\ldots = \frac{1}{2}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\ldots = \frac{1}{3}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\ldots = \frac{11}{18}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 7}+\frac{1}{3\cdot 9}+\frac{1}{5\cdot 11}+\ldots = \frac{23}{90}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(2n-1)^{2}(2n+1)^{2}} = \frac{1}{8}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = 1$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\frac{1}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}+\frac{1}{5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}+\ldots = \frac{1}{90}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} = \frac{5}{36}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(4n^{2}-1)} = 2\ln 2 - 1$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}} = \frac{1}{8}$.

Пользуясь тождеством

доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \operatorname {arctg}\frac{1}{2n^{2}} = \frac{\pi }{4}$.

Пользуясь тождеством

доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \operatorname {arctg}\frac{1}{n^{2}+n+1} = \frac{\pi }{4}$.

Доказать при $\left|x\right| < 1$ равенство $(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8})\ldots = \frac{1}{1-x}$.

Доказать при $\left|x\right| < 1$ равенство $\frac{x}{1+x}+\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{4x^{4}}{1+x^{4}}+\ldots = \frac{x}{1-x}$.

Доказать при $\left|x\right| < 1$ равенство $\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\ldots = \frac{x}{1-x}$.

Доказать равенство $\frac{1}{2}\operatorname {tg}\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\operatorname {tg}\frac{x}{4}+\frac{1}{8}\operatorname {tg}\frac{x}{8}+\ldots = \frac{1}{x}-\operatorname {ctg}x$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}\cos^{2}\frac{x}{2^{n}}} = \frac{1}{\sin^{2}x} - \frac{1}{x^{2}}$.

Пользуясь равенствами:

доказать, что:

Пользуясь равенствами:

доказать, что:

Доказать равенство $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\ldots = \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln 2$.

Доказать равенство $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\ldots = \frac{5\pi }{12}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1,3,5,\ldots } \frac{(-1)^{\frac{n^{2}-1}{8}}}{n} = \frac{\ln (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(n+\alpha )(n+\beta )} = \frac{1}{\beta -\alpha }\int_{0}^{1} \frac{x^{\alpha }-x^{\beta }}{1-x}\, dx$; $\alpha > -1$, $\beta > -1$, $\alpha \neq \beta$.

Доказать равенство $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{\pi }{8}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+m)} = \frac{1}{m}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{m}\right)$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots = \ln 2 - \frac{1}{2}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}-\ldots = \frac{1}{2}(1-\ln 2)$.

Доказать равенство $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}+\ldots = \frac{1}{6}-\frac{1}{4}\ln 3+\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{1}{3^{2}\cdot 5^{2}}+\frac{1}{5^{2}\cdot 7^{2}}+\ldots = \frac{\pi^{2}}{16}-\frac{1}{2}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}+\frac{1}{3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7^{2}}+\frac{1}{7^{2}\cdot 9^{2}\cdot 11^{2}}+\ldots = \frac{3\pi^{2}}{256}-\frac{1}{9}$.

Доказать равенство $\frac{1}{1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}}+\frac{1}{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 4^{2}}+\frac{1}{3^{2}\cdot 4^{2}\cdot 5^{2}}+\ldots = \frac{4\pi^{2}-39}{16}$.

Доказать равенство $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{4}-\frac{1}{2x}-\frac{(1-x)^{2}}{2x^{2}}\ln \frac{1}{1-x}$.

Доказать равенство

Пользуясь биномом Ньютона, доказать, что

Пользуясь равенством $\int_{0}^{1} t^{n-1}\, dt = \frac{1}{n}$, получить, что

и вывести формулу:

Доказать равенство $\frac{2}{3}-\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}+\frac{2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}-\ldots = 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln (1+\sqrt{2})$.

Доказать равенство $\frac{x^{2}}{3}+\frac{2x^{4}}{3\cdot 5}+\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7}x^{6}+\ldots = 1-\frac{\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x}{x}$; $\left|x\right| < 1$.

Доказать равенство $\frac{1}{4}-\frac{1\cdot 3}{4\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 6\cdot 8}-\ldots = 3-2\sqrt{2}$.

Доказать равенство $\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\ldots = \frac{1}{2}$.

Замечая, что $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln t\, dt = -\frac{1}{n^{2}}$; $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln^{2}t\, dt = \frac{2}{n^{3}}$; $n > 0$, доказать равенство

Замечая, что $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln t\, dt = -\frac{1}{n^{2}}$; $\int_{0}^{1} t^{n-1}\ln^{2}t\, dt = \frac{2}{n^{3}}$; $n > 0$, доказать равенство

Исходя из равенства $\frac{n!}{a(a+1)\ldots (a+n)} = \int_{0}^{1} (1-t)^{a-1}t^{n}\, dt$, доказать, что

Доказать, что

Пользуясь тождеством

доказать равенство:

Доказать равенство Стирлинга:

Доказать, что

Доказать, что при $\gamma > \alpha > 0$, $\left|x\right| < 1$ справедливо равенство

где

(гипергеометрический ряд Гаусса).

Доказать, что при $\operatorname {Re}(\gamma -\alpha -\beta ) > 0$ имеется равенство

($\operatorname {Re}$ обозначает действительную часть комплексного числа).

Доказать равенство $1+\frac{a}{b}x+\frac{a(a+1)}{b(b+1)}x^{2}+\ldots = 1+ax\int_{0}^{1} \frac{(1-u)^{b-1}}{(1-ux)^{a-1}}\, du$; $b > 0$.

Доказать равенство $\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{2}\cdot \frac{1}{6}+\ldots = \frac{2}{\pi }$.

Доказать равенство $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\cdot \left(\frac{1}{2\cdot 4}\right)^{2}+5\cdot \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}+\ldots = 1-\frac{2}{\pi }$.

Доказать равенство $\varphi (x)+\varphi \left(x+\frac{\pi }{2}\right) = 4\varphi (2x)$, где

Пользуясь результатом задачи 5073 (равенством $\varphi (x)+\varphi \left(x+\frac{\pi }{2}\right) = 4\varphi (2x)$, где $\varphi (x) = \sum_{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(x-n\pi )^{2}} - \frac{1}{\sin^{2}x}$), показать, что

Интегрированием получить равенство Эйлера

Интегрируя и переходя от логарифмов к числам, доказать равенство:

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\operatorname {tg}x = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{2x}{\left(\frac{2n+1}{2}\pi \right)^{2}-x^{2}}$.

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\cdot 2x}{x^{2}-n^{2}\pi^{2}}$.

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2n-1)\pi }{x^{2}-\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}\pi^{2}}$.

Доказать равенство Эйлера, дающее разложение в бесконечный ряд дробей функции $\frac{1}{1-e^{-x}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}+4\pi^{2}n^{2}}$.